Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 11-02-2017 01:16:36

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Calculs

Bonsoir,

Je crée une nouvelle discussion car le titre que j'ai donné précédemment ne correspond pas au chapitre entier. En effet, il s'agit plutôt de calculs en tout genre.

Donc, pour l'instant j'ai l'impression de suivre la logique. Mais j'ai tout de même des petites questions d'ordre pratique que je vais m'empresser de poser maintenant, afin de poursuivre ma lecture tranquillement.

1) Au moment d'écrire certaines opérations dans le langage de fonction, il y a des écritures que je ne sais pas comment traduire.
Par exemple pour la Soustraction dans [tex]\mathbb{N}[/tex]
=[tex]\mathbb{N}\times\mathbb{N}[/tex] flèche [tex]\mathbb{N}[/tex]
  (a,b) flèche (avec un trait qui signifie un début) a-b

Questions: étant donné que les flèches sont différentes, que veulent elles dire ?
Pourquoi mettons un signe de multiplication entre [tex]\mathbb{N}[/tex] et [tex]\mathbb{N}[/tex] alors qu'il s'agit d'une soustraction ?


2) Pouvez vous m'expliquer cette simplification:

[tex]\frac{5\times3\times5}{6\times7\times2}=\frac{5\times5}{2\times7\times2}[/tex]

Qu'a-t-on fait du 3 d'en haut et du 6 d'en bas ? Pourquoi est ce qu'on la remplacé par un 2 ?

Merci....

Hors ligne

#2 11-02-2017 08:46:01

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Bonjour,

Je me demande si les concepteurs de vos programmes ont bien conscience des changements intervenus dans les programmes de Collège et Lycée depuis 40 ans...
certaines des notions auxquelles il est fait appel, je les avais enseignées en Collège (5e/4e) : elles ont maintenant disparu des prog. de Collège et ne se voient même pas en 2nde...
Le problème est qu'une définition mathématique traîne avec elle, une bibliothèque d'autres définitions, théorèmes, censés être sus et assimilés.
Dans ton programme, tel qu'il est - apparemment - rédigé, il semble qu'il y ait beaucoup de non-dits.
Tes formateurs, comme les "élèves" subissent...
D'un point de vue éthique, ça me dérange, mais à partir du moment où tu es là, que tu demandes et reçois des explications, c'est (un peu) moins gênant pour toi ;-)...
C'était mon coup de gueule du matin...

sarah2811 a écrit :

Pourquoi met-on un signe de multiplication entre [tex]\mathbb{N}[/tex] et [tex]\mathbb{N}[/tex] alors qu'il s'agit d'une soustraction ?

C'est une notation qui traduit la définition :
on appelle différence de deux nombres entiers naturels a et b le nombre entier naturel c, s'il existe; tel que b+c = a. On note c = a-b...
Décryptage.
2 ou 5-3 sont deux écritures de la différence de 5 et 3.
écrire que 5 - 3 = 2 par contre c'est faire une soustraction..
La flèche simple [tex]\rightarrow[/tex] s'utilise entre deux ensembles et signifie "dans"
(a,b) est un couple qui appartient à [tex]\mathbb{N}\times \mathbb{N}[/tex].

Le X entre deux ensembles n'indique pas une multiplication au sens numérique du terme, c'est le ici le symbole pour le "produit cartésien" de deux ensembles.
Soit l'ensemble E  tel que [tex]E=\{1,2,3\}[/tex]
Produit cartésien de E par lui-même :
[tex]E\times E=\{1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3),(3,3)\}[/tex].
Note bien que dans un couple l'ordre compte : [tex](1,2)\neq (2,1)[/tex]...
Imagine maintenant que tu fais la même chose avec [tex]\mathbb{N}[/tex] au lieu de [tex]E[/tex]

Au couple (7,3) , par exemple, de [tex]\mathbb{N}\times \mathbb{N}[/tex] :
- l'application "Addition" permet de faire correspondre le nombre 10 de [tex]\mathbb{N}[/tex]
- l'application "Soustraction" permet de faire correspondre le nombre 4 de [tex]\mathbb{N}[/tex]
- l'application "Multiplication" permet de faire correspondre le nombre 21 de [tex]\mathbb{N}[/tex]

10 est l'image de (7,3) par l'addition ; mais (7,3) est un antécédent de 10...
Pourquoi un (article indéfini) ? Parce que si 10 via l'addition c'est aussi l'image (article défini, dans ce sens le résultat est unique), il y a des antécédents de 10 "en pagaille" :
(0,10),(10,0), (1,9),(9,1),(2,8),(8,2)... etc..

On pourrait noter,  par exemple [tex](3,7)  \overset{+}\longmapsto 10[/tex] pour montrer qu'il y a une correspondance entre le couple (3,7) et son image...
Quant à  :  [tex]\mathbb{N}\times \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex], sans barre c'est réservé entre les ensembles...
N'y vois pas malice ; c'est juste un problème de notation...

------------------------------------------------------

2) Pouvez vous m'expliquer cette simplification:

[tex]\frac{5\times3\times5}{6\times7\times2}=\frac{5\times5}{2\times7\times2}[/tex]

Qu'a-t-on fait du 3 d'en haut et du 6 d'en bas ? Pourquoi est ce qu'on la remplacé par un 2 ?

One more time ;
Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre (non nul)...

Dans un produit, l'ordre n'importe pas. Pour que tu comprennes mieux, je vais écrire ta fraction ainsi :
[tex]\frac{3 \times 5\times 5}{6\times7\times 2}[/tex],
donc :
[tex]\frac{3 \times 5\times 5}{6\times7\times 2}=\frac{3 \times 5\times 5}{3 \times 2 \times7 \times 2}[/tex]
Et maintenant si je divise le numérateur et le dénominateur par 3, j'obtiens :
[tex]\frac{3 \times 5\times 5}{6\times7\times 2}=\frac{3 \times 5\times 5}{3 \times 2 \times7 \times 2}=\frac{1 \times 5\times 5}{1 \times 2 \times7 \times 2}=\frac{5\times 5}{2 \times7 \times 2}[/tex]

Ça te va ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#3 12-02-2017 15:30:21

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Re,

Parfait merci pour ces explications, j'ai compris.


Je poursuis ma leçon sur le calcul des racines carrées. J'ai un peu de mal à comprendre leur intérêt.
Comme définition, on me dit que:
a étant un nombre réel positif,
[tex]\sqrt{a}[/tex] est le nombre positif dont le carré est égal à [tex]a:[/tex] [tex](\sqrt{a})^2[/tex] [tex]= a[/tex]
Donc si [tex]\sqrt 9=3[/tex] , est ce que ça veut dire que la racine carrée sert à faire le chemin inverse d'un nombre au carré. Ah oui, en écrivant je me rends compte que le mot "racine" a en fait cette explication, c'est la racine du carré !
Ainsi si je dis 81, ça reste 81, mais si je dis [tex]\sqrt81[/tex], je parle en fait du chiffre 9.


Mais comment on en arrive là.... [tex]\sqrt{(-3)^2}[/tex] fait 3 ? Est ce que, c'est [tex](-3)\times(-3)=9[/tex], et la racine est égale à 3.

Y-a-t-il des nombres qui n'ont pas de racines carrées ?

Dans un entraînement, on me demande d'extraire du radical le plus grand entier possible:
Exemple: [tex]\sqrt12[/tex]=[tex]\sqrt4\times3[/tex]=[tex]2\sqrt3[/tex]
Je comprends les deux premières étapes mais pas la troisième.
Car avec [tex]2\sqrt3[/tex], moi je comprends, que je dois trouver la racine carrée de 3, c'est à dire 9... Je multiplie par 2, ça fait 18.
Donc forcément, ce n'est pas ça... Vous pouvez m'expliquer s'il vous  plait ?


Sarah.

Dernière modification par sarah2811 (12-02-2017 17:17:46)

Hors ligne

#4 12-02-2017 22:25:55

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Calculs

Salut Sarah

la racine carrée de 3 n'est surtout pas égale à 9 ... tu dois fatiguer ! Par contre, la racine carrée de 9 est bien égale à 3.
A quoi servent les racines ??? A résoudre des équations polynomiales du second degré par exemple.
Oui, tous les nombres négatifs n'admettent pas de racine carrée (d'ailleurs, c'est donné dans la définition évoquée).
Ensuite, quand tu as $\sqrt{12}$ tu peux écrire $\sqrt{2^2\times 3}=2\sqrt{3}$  et c'est tout.
En retour, tu as bien $\left(2\sqrt{3}\right)^2=12$.
Enfin, quand tu attaques les racines carrées, tu mets un pied dans les nombre irrationnels, c'est à dire les nombres qui ne s'expriment pas comme le quotient de deux nombres entiers relatifs. Ce qui signifie que tu es en train de construire la droite réelle (mais attention, il y a plus que des irrationnels, il y a des nombres encore plus compliqués et bizarres, comme $\pi$ par exemple)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#5 13-02-2017 13:30:56

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Bonjour,

Peut-être que le souci Sarah est seulement celui-ci :
de même que [tex]2\times x[/tex] s'écrit [tex]2x[/tex], [tex]2\times \sqrt 3[/tex] se note plus simplement [tex]2\sqrt 3[/tex].
et [tex](2\sqrt 3)^2 = 2\sqrt 3 \times 2\sqrt 3 = 2\times \sqrt 3 \times 2\times \sqrt 3 = 2 \times 2 \times \sqrt 3\times \sqrt 3 =2^2 \times (\sqrt 3)^2 = 4 \times 3 = 12[/tex]

si je dis \sqrt{81}, je parle en fait du chiffre 9.

Mais comment on en arrive là.... [tex]\sqrt{(−3)^2}[/tex] fait 3 ? Est ce que, c'est (−3)×(−3)= 9, et la racine est égale à 3.

1. Pas chiffre, nombre !
2. [tex]\sqrt{(−3)^2}[/tex] fait 3 ? oui. [tex]\sqrt{(-3)^2}=\sqrt 9 = 3[/tex]

Y-a-t-il des nombres qui n'ont pas de racines carrées ?

Oui tous les nombres strictement négatifs...

Car avec [tex]2\sqrt 3[/tex] , moi je comprends, que je dois trouver la racine carrée de 3, c'est à dire 9... Je multiplie par 2, ça fait 18.
Donc forcément, ce n'est pas ça... Vous pouvez m'expliquer s'il vous  plait ?

9 est le carré de 3 pas sa racine carrée..
La racine carrée de 3 est un nombre non rationnel (ne peut s'écrire sous la forme d'une fraction).
[tex]\sqrt 3 \approx 1.7320508075688772...[/tex]

Au passage, lorsque j'étais élève de 4e, on m'avait fait apprendre une méthode de calcul de la racine carrée d'un nombre avec crayon et papier en usant d'une disposition type division ! Les jeunes profs - en principe - ne la connaissent pas : ça ne s'enseigne plus...

He tg'expédie un document résumé que je distribuais et qui identifiait les savoirs exigibles fin 3e...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#6 13-02-2017 15:45:24

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Bonjour,

Ah oui je me rends compte sue je me suis mélangée les pinceaux quand j'ai dit que \sqrt3 est égal à 9, ce n'est pas du tout ce à quoi je pensais.

Je comprends toutes vos explications mais je me rends compte que ça ne concorde pas avec ce qui est écrit dans mon livre. En effet, il est écrit que [tex]\sqrt12[/tex] = [tex]2\sqrt3[/tex] ??? Si je me fie à ce que vous avez écrit tous les deux, c'est faux, ai-je tort ? Car moi je comprends que [tex]2\sqrt3[/tex] est égal à 3,46410161514 ?


yoshi dit:
He tg'expédie un document résumé que je distribuais et qui identifiait les savoirs exigibles fin 3e...

Je n'ai pas bien compris cette phrase...


Je vous fais part maintenant de mes incompréhensions concernant le sous chapitre: Multiples, diviseurs, nombres premiers.

Voilà comme vous (Prof Yoshi) vous m'avez appris à décomposer des nombres et à me servir du PGCDet du PPCM (d'ailleurs vous m'avez toujours pas dis si j'avais donné une réponse dans mon sujet Nombre rationnels...Ok je patiente); on me donne comme dans votre dico comment savoir si tel ou tel nombre est divisible par tel ou tel nombre premier.
On me demande lors d'un entrainement de démontrer les propriétés pour les divisibilité par 5 et par 3.
Du coup on me dit de prendre un nombre [tex]n[/tex] écrit avec quatre chiffres, soit [tex]n=mcdu[/tex] (avec un trait long sur mcdu)

Donc on me dit:[tex] n=mcdu[/tex]=[tex]m\times10^3[/tex]+[tex]c\times10^2[/tex]+[tex]d\times10+u[/tex]

Jusque là tout va bien. C'est l'étape suivante que je ne comprends pas.

Pour démontrer les propriétés pour la divisibilité par 5, on me dit que l'étape suivante est:
[tex]n=10(10^2m+10c+d)+u[/tex]

Et pour démontrer les propriétés pour la divisibilité par 3, on me dit que l'étape suivante est:
[tex]n=1000m+100c+10d+u[/tex]

Je ne comprends pas pour quelles raisons d'une même opération de base, on part dans deux directions différentes ? Je ne comprends pas pour quelles raison on fait ça pour 5 et ça pour 3. Qu'est ce qu'il se passe ?


Ensuite, je me pose une question concernant les nombres premiers et les décompositions.
Voilà, pouvons nous arrêter à 19 (par exemple) pour tenter de décomposer un nombre. Vous coyer ce que je veux dire ? Admettons je suis face à un nombre énorme, j'ai besoin de le décomposer. Par 2, ça ne marche pas,  par 3 ça ne marche pas, par 5 ça ne marche pas, par 7 ça ne marche pas.....Je dois aller jusqu'à combien ?


Enfin , il y a une formule dont l'intérêt est flou.

Je vous écris ce qui m'est présenté.

Chercher le nombre de diviseurs d'un nombre n.
#Trouver le nombre de diviseurs de 60.
1.Décomposer le nombre n en produit de facteurs premiers =   [tex]60=2^2\times3^1\times5^1[/tex]

2. Utiliser la formule suivante: Appliquons la formule:
Le premier facteur est 2+1 soit 1 de plus que l'exposant de 2 dans la décomposition (déjà ça je ne comprends pas)
Le deuxième facteur est 1+1 soit 1 de plus que l'exposant de 3 dans la décomposition (je ne comprends pas).
Le troisième facteur est 1+1 soit 1 de plus que l'exposant de 5 dans la décomposition (je ne comprends pas).
Le nombre de diviseurs de 60 est:
[tex](2+1)\times(1+1)\times(1+1)=3\times2\times2=12[/tex]

Si la décomposition de n en facteurs premiers est : [tex]a^p\times b^q\times c^r[/tex]
le nombre de diviseurs de n est égal à:
[tex](p+1)\times(q+1)\times(r+1)[/tex]

Déjà je ne comprends pas la formule à partir de la décomposition car pour moi les facteurs renvoient à des multiplications, je ne comprends pas les additions.
Ensuite, est ce que 12 veut dire que 60 est divisible par 12 nombres ? A quoi ça sert de savoir ça ?

Voilà j'arrête mes question ici.
Merci pour votre aide.
Sarah.

Dernière modification par sarah2811 (13-02-2017 15:48:35)

Hors ligne

#7 13-02-2017 19:31:10

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Bonjour,

D'abord sur les racines.
Tout le monde a raison [tex] 2\sqrt 3[/tex] est une écriture simplifiée de [tex]\sqrt{12}[/tex] : dans les 2 cas  il s'agit d'une valeur exacte, tout comme [tex]\frac 2 3[/tex] est la valeur exacte du quotient de 2 par 3 et 0.66666666... une valeur approchée.
Je t'ai écrit :
[tex]\sqrt 3 \approx 1.7320508075688772...[/tex]
La double vague, \approx, est là pour signaler une valeur approchée...
[tex]2 \times \sqrt 3 \approx  2\times 1.7320508075688772...\approx 3.4641016151377544...[/tex]
et [tex]\sqrt{12}\approx 3.4641016151377544...[/tex]
Pourquoi n'as tu pas essayé de tester ça à la calculette ?

Divisibilité.
2 et 5 vont ensemble, et ce n'est pas tout à fait comme ça que je je fais.
Le surlignement d'un nombre s'obtient par \overline{nombre}
Donc soit un nombre [tex]\overline{abcd}[/tex]
[tex]\overline{abcd} = \overline{abc0}+d =\overline{abc}\times 10 +d = \overline{abc}\times 2 \times 5 +d[/tex]
Maintenant que voit-on ?
1. [tex]\overline{abc}\times 2 \times 5[/tex] se divise toujours par 2 et par 5.
2. En conséquence si l'on veut que [tex]\overline{abcd}[/tex], ou encore [tex]\overline{abc}`\times 2 \times 5 +d[/tex] se divisent par 2 ou par 5, il faut et il suffit que d se divise par 2 ou 5.
Donc
divisibilité par 2 : terminaison 0, 2, 4, 6 ou 8
divisibilité par 5 : terminaison 0 ou 5.

4 et 25 (ça va ensemble)
Soit un nombre [tex]\overline{abcd}[/tex]
[tex]\overline{abcd} = \overline{ab00}+\overline{cd} =\overline{ab}\times 100 +\overline{cd} = \overline{ab}\times 4 \times 25 +\overline{cd}[/tex]
Maintenant que voit-on ?
1. [tex]\overline{ab}\times 4 \times 25[/tex] se divise toujours par 2 et par 5.
2. En conséquence si l'on veut que [tex]\overline{abcd}[/tex], ou encore [tex]\overline{abc}\times 2 \times 5 +d[/tex] se divisent par 2 ou par 5, il faut et il suffit que d se divise par 4 ou 25.
Donc
divisibilité par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres doit se diviser par 4.
divisibilité par 25 : le nombre formé par les deux derniers chiffres doit se diviser par 25, donc terminaisons 00, 25, 50 ou 75...

3 et 9. Ça va ensemble.
[tex]\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c+d[/tex]
[tex]1000a + 100b + 10c+d= (999+1)a+(99+1)b+(9+1)c +d = 999a+a+99b+b+9c+c+d  [/tex]
Soit
[tex]\overline{abcd}= 999a+a+99b+b+9c+c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)[/tex]
Que constate-t-on ?
1. [tex]9(111a+11b+c)[/tex] est un toujours un multiple de 9 (et de 3)
2. Pour que[tex] \overline{abcd}[/tex] de divise par 9 (ou par 3); il faut et il suffit que a+b+c+d soit un multiple de 9 ou de 3.

Quant au nombre de diviseurs, je ne connaissais pas ces formules (ou alors, j'ai oublié) ça ne m'a jamais empêché de faire mon boulot et je n'ai jamais eu besoin de ça pour trouver tous les diviseurs d'un nombre : il suffit d'en trouver la moitié et l'autre moitié en découle...
Je faisais comme ça : \mathcal{D}(720)= ?
[tex]720 =2^4\times 3^25 \times 5[/tex]

J'écris les nombres de chaque moitié l'un sous l'autre
  1     2      3     4
720  360  240  180
Les produits verticalement sont tous égaux à 720
figureront dans la première moitié 1, 2, 3 et 5 mais aussi puisqu'il y a [tex]2^4[/tex] 4, 8 et 16 mais aussi pour [tex]3^2[/tex]..
Donc aussi 3 x, et 9 x les multiples de 2,, et le leurs produits par 5 :
  1     2      3     4     5     6     8    9   10
720  360  240  180 144  120  90  80  72
Jusque là c'est assez simple...
Ensuite 11 ? non
12 ? oui, 4 x 3
413, 14 non !
15,  oui, 3 x 5
16 oui
17 non.
18, oui 9 x 2
19, non
20, oui 4 x 5 
  1     2      3     4     5     6     8    9   10  12  15  16  18  20
720  360  240  180 144  120  90  80  72  60  48  45  40  36
on n'est pas loin d'avoir fini...
Il reste 24 (3 x 8), 30 (2 x 3 x 5) :
  1     2      3     4     5     6     8    9   10  12  15  16  18  20  24
720  360  240  180 144  120  90  80  72  60  48  45  40  36  30
inutile d'aller plus loin : 30 est déjà dans la deuxième moitié...
Et écrit ça comme ça :
[tex]\mathcal{D}(720)=\{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,30,36,40,45,48,60,72,80,90,120,144,180,240,360,720\}[/tex]
Autre disposition : pas plus de 3 facteurs premiers différents, sinon c'est illisible.
Horizontalement : multiplications par 2,
Verticalement : multiplications par 3
En diagonale : multiplications par 5.


   5 -------- 10 -------- 20 ------- 40 -------- 80
  /|         /|          /|         /|           /|            
 / |        / |         / |        / |          / |          
1 -------- 2 --------- 4 -------- 8 ---------- 16 |
|  |       |  |        |  |       |  |         |  |      
|  15 ------- 30 ------- 60 ------- 120 -------- 240
| /|       | /|        | /|       | /|         | /|            
|/ |       |/ |        |/ |       |/ |         |/ |          
3 -------- 6 --------- 12 ------ 24 --------- 48  |
|  |       |  |        |  |       |  |         |  |
|  45 ------- 90 --------180 ------ 360 -------- 720                    
| /        | /         | /        | /          | /
|/         |/          |/         |/           |/
9 -------- 18 -------- 36 --------72 -------- 144

Ce qui ne m'empêchera pas d'examiner ça de plus près...
Pas ce soir : j'ai le nez comme une pastèque et la tête dans le sac !

@+

[EDIT] Je ne t'ai pas répondu ?
En principe, si !
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=9336&p=1 post #25 bas de pagee.
Ce n'est pas de  ça dont tu parles ?

Dernière modification par yoshi (13-02-2017 19:43:51)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#8 14-02-2017 11:17:59

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Salut m'dame,


Voilà, pouvons nous arrêter à 19 (par exemple) pour tenter de décomposer un nombre. Vous coyer ce que je veux dire ? Admettons je suis face à un nombre énorme, j'ai besoin de le décomposer. Par 2, ça ne marche pas,  par 3 ça ne marche pas, par 5 ça ne marche pas, par 7 ça ne marche pas.....Je dois aller jusqu'à combien ?

J'avais oublié de te répondre.
Bonne question.
Soit le nombre 327...
Division par 2, 3, 5, 11 à éliminer...
Et 7 ? 327 = 7 * 46 + 5...     Note dans un coin de ta tête q = 46   et   q >d
13 ? 327 = 13 * 25 + 2...     Note dans un coin de ta tête q = 25   et   q >d
17 ? 327 =17 * 19 + 4         Note dans un coin de ta tête q = 19   et   q >d
On continue ou pas ? Voyons cela :
19 ? 327 = 19 * 17 + 4        Maintenant, tu constates que q < d !!!!
Supposons qu'avant la division ne se soit pas terminée et que maintenant si !
Tu vois tout de suite que c'est impossible (très flagrant dans cet exemple)

En conclusion, on pouvait s'arrêter à la division par 17 : les divisions ne s'étant pas terminées jusque-là, elle ne se termineront pas après...
Tu vois donc que oui, il y a bien un test d'arrêt...
Tiens regarde [tex]\sqrt{327}\approx 18.083141320025124[/tex]
Le voilà, le test d'arrêt :
on effectue les divisions jusqu'au nombre premier immédiatement inférieur (ou égal) à la racine carrée du nombre que tu testes...

Exemple de 7919.
La partie entière de [tex]\sqrt{1919}[/tex] est 88, le nombre premier immédiatement inférieur à 88 est 83...
Donc pour savoir si 7919 est premier, il faudra te farcir les divisions par :
7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83
Rappel. Pour la divisibilité par 11 :
7919  ---> (9+9)-(7+1)=18 - 8 = 10 pas multiple de 11...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#9 15-02-2017 00:01:07

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Bonsoir,

Ok pour [tex]2\sqrt3[/tex] , je ne sais pas ce que j'ai fichu mais je me suis vraiment embrouillée.

Ensuite c'est une question que je voulais poser quand on faisait les systèmes de positions déjà, mais il reste à quoi ce trait sur les nombres. J'ai lu que c'était pour faire la différence entre un nombre et un produit ? Produit= multiplication ?

Autre point: d'accord pour [tex]\overline{abcd}[/tex] mais je ne comprends toujours pas les différentes directions, que vous prenez à partir d'une même formule.
Bon, si je comprends le cas du 2 et 5 et du 4 et 25 , SAUF que je ne comprends pas pourquoi, admettons pour 2 et 5; pourquoi lorsque vous remplacez dans [tex]\overline{abcd}[/tex] le d par le 0, vous ne supprimez pas à l'étape suivante le d. Pourquoi le garder, alors qu'on la remplacer ?
Du coup c'est la même question que je me pose pour 4 et 25.
Là où je ne comprends rien c'est pour 3 et 9....Comment en venez vous à [tex]1000a+100b+10c+d[/tex], d'où ils sortent eux ?

Autre point: concernant le nombre de diviseurs, ma compréhension est médiocre. J'y reviendrai demain soir, peut être que je serai plus réceptive. Toutefois je viens de regarder la formule que vous avez oublié, je la trouve simple appliquer, c'est juste que je ne comprends pas le pourquoi. Pourquoi rajouter +1 à l'exposant ? Bizarre ...

Merci pour votre second post, j'ai bien compris.

Non je parle de l'exercice que vous m'avez donné au post #21 et auquel j'ai répondu au post #22 dans le sujet: Nombres rationnels et décimaux Nombres réels CRPE. (désolée je ne sais pas mettre le lien).


Enfin, et là c'est un tout nouveau type de calcul. Punaise lorsque je vois ce nouveau titre, j'ai l'impression que c'était lors d'une autre vie quand j'ai eu à faire à elles (!) : Notion de fonction numérique, Fonction linéaire et fonction affine. Non mais ! c'est du charabia ! Je suis désolée pour le prof de math que vous êtes mais c'est du charabia :-) :-)
(Au fait je suis partie voire dans le dico, y a rien sauf sur les affines, mais du coup j'y reviendrai demain)
Déjà on me demande de tester mes connaissances, et pour la première fois, je n'ai pu répondre à: NOTHING
Bon, d'abord, fonction numérique (un pas après l'autre)
Concrètement, pourquoi parle t-on de relation entre deux ensembles ? Cela renvoie à quoi ?
Et concrètement, pourquoi parle t-on d'image, tel que [tex]x[/tex][tex]\to[/tex][tex]f(x)[/tex]

Je m'arrête là pour aujourd'hui...Bonne soirée...Bonne journée... merci

Dernière modification par sarah2811 (15-02-2017 00:41:34)

Hors ligne

#10 15-02-2017 08:31:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Bonjour,


Là où je ne comprends rien c'est pour 3 et 9....Comment en ven


Bon, si je comprends le cas du 2 et 5 et du 4 et 25 , SAUF que je ne comprends pas pourquoi, admettons pour 2 et 5; pourquoi lorsque vous remplacez dans \overline{abcd} le d par le 0, vous ne supprimez pas à l'étape suivante le d. Pourquoi le garder, alors qu'on la remplacer ?
et 3Du coup c'est la même question que je me pose pour 4 et 25.

Je ne remplace pas le d par un zéro : c'est une illusion...
Ne jamais perdre de vue que [tex]\overline{abcd}[/tex] est un nombre à 4 chiffres.
Prenons 7968.
J'ai simplement écrit que [tex]7968 = 7960 + 8 = 796 \times 10 + 8 =796 \times 2 \times 5 +8[/tex]
Et là, j'ai montré  que 7960 est multiple de 2  et de 5...
Donc 7968 se divisera ou par 2 ou par 5 si le "chiffre" des unités, ici le 8, se divise par 2 ou par 5...
Par 2, c'est ok mais 8 n'est pas multiple de 5, donc 7968 ne se divise pas par 5.
Voyons [tex]\overline{abc?}[/tex] où ? est à à prendre parmi [tex]\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex],
je vois bien que les seules terminaisons qui permettent la division par 5 sont 0 ou 5.

Pour 4 et 25 c'est le même procédé, étendu aux 2 derniers chiffres :
[tex]7968 = 7900 + 68 = 796 \times 100 + 68 =79 \times 4 \times 25 +68[/tex]

Mais, d'un point de vue mathématique, ce que je viens de faire là avec un exemple, n'est valable que pour cet exemple précis.
Si je veux faire ça avec des chiffres je dois traiter de la même façon  tous les nombres compris entre 1000 et 9999  et comme ce ne serait pas raisonnable je préfère écrire un nombre générique [tex]\overline{abcd}[/tex] et prendre a, b, c, d dans [tex]\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex], puisqu'ils remplacent des chiffres...

[tex]\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d[/tex] d'où sortent 1000, 100 et 10 ???

Je te renvoie la question :
quand tu as signalé dans ton post précédent que [tex]\overline{mcdu}=1000m+100c+10d+u[/tex] pourquoi n'as-tu pas posé la question, ça change quoi ?
Je n'ai pas voulu réutiliser [tex]\overline{mcdu}[/tex], avec m chiffre des milliers, c chiffre des centaines, d des dizaines, u celui des unités : j'ai trouvé choquant d'écrire ultérieurement [tex]\overline{mcdu}=\overline {mcd}\times 10 + u[/tex] parce que dans [tex]\overline {mcd}[/tex] m esr passé au rand de chiffre des centaines.
Alors j'ai opté pour le plus neutre : [tex]\overline{abcd}[/tex].
Revenons à 7968 :
[tex]7968 = 7000+900+60+8 = 1000\times 7+100\times 9+10\times 6+8 = (999+1)\times 7+(99+1)\times 9+(9+1)\times 6+8 =\cdots[/tex]

Quant au charabia, c'est le vocabulaire mathématique, net et précis : on y appelle un chat, un chat et non encore un minet, un minou, un  matou, un greffier... C'est contraignant, sec... mais ô combien sécurisant quand on a pris l'habitude !

Pour les fonctions affines, je t'envoie un topo que j'avais rédigé pour mes 3e pour lesquels le vocabulaire était un mur infranchissable si on n'offrait pas d'échelle...
Ce n'est pas un cours, ça arrivait après cours et exercices d'application : une dernière chance de monter dans le bon waggon en quelque sorte.
Tout y est quand même mais amené de façon plus "ludique".

Je vais déjeuner...

@+
la fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine qui passe par l'origine des coordonnées


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#11 15-02-2017 10:13:25

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Bonjour Prof Yoshi,

Mais si bien sûre que si je m'étais questionnée là dessus dans le post #6

sarah2811 a écrit :

Pour démontrer les propriétés pour la divisibilité par 5, on me dit que l'étape suivante est:
n=10(102m+10c+d)+un=10(102m+10c+d)+u
Et pour démontrer les propriétés pour la divisibilité par 3, on me dit que l'étape suivante est:
n=1000m+100c+10d+u

Ainsi je vous disais que je ne comprenais pas pourquoi pour 3 on utilisait telle décomposition et pour 5 telle autre décomposition.


Merci pour le fichier, je vais m'empresser de le faire imprimer et de le lire attentivement ce soir. Faut que je fasse du français avant....

Hors ligne

#12 15-02-2017 10:45:27

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Salut,

Ainsi je vous disais que je ne comprenais pas pourquoi pour 3 on utilisait telle décomposition et pour 5 telle autre décomposition.

La question que, moi, je me pose en pareille circonstance est plutôt : comment est-ce qi'on a été amené à penser qu'il fallait faire comme ça ?
Pour 2,3,4,5,9,25 ce n'est pas trop difficile.0
Au déopar c'est juste de l'observation :
on s'est rendu compte que  0,4,8 était des multiples de 4, puis on est passé à 2 chiffres :
12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48... etc..

Et là on a vu qu'avec le seul chiffre des unités, la conjecture n'était pas fiable en passant à deux...
Par contre, après avoir recensé tous les nombres à deux chiffres multiples de 4, on s'est demandé ce que ça allait donné en ajoutant des centaines, des milliers, des dizaines de mille...
Et c'est là qu'est arrivée l'idée de la séparation :
[tex]\overline{abcd}=\overline{ab}\times 100+\overline{cd}[/tex]...

Ainsi je vous disais que je ne comprenais pas pourquoi pour 3 on utilisait telle décomposition et pour 5 telle autre décomposition.

Bin, désolé, la formulation de ta question n'était pas claire, parce que probablement, tu n'avais pas identifié très précisément ce qui te gênait :
Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement,
et les mots pour le dire arrivent aisément.
(Boileau).

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#13 15-02-2017 12:27:09

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Calculs

Salut Sarah

je m'immisce 5 secondes pour répondre à ta question du nombre de diviseur d'un nombre.
C'est un petit sujet de combinatoire.

On considère $31.500=2^2\times 3^2\times 5^3\times 7$
En appliquant la règle donnée, on dit que ce nombre admet $3\times 3\times 4\times 2=72$ diviseurs.

Ce résultat provient de la considération suivante : avec le nombre $2$, j'ai trois possibilités $\{1,2,4\}$ ; avec le nombre $3$, j'ai aussi trois possibilités $\{1,3, 9\}$ ;  avec le nombre $5$, j'en ai quatre  : $\{1,5,25,125\}$ et enfin avec le nombre $7$, j'en ai deux : $\{1,7\}$.

En les combinant toutes ensembles, j'en ai donc $3\times 3\times 4\times 2=72$

Le $+1$ vient donc du fait que 1 est toujours diviseur de n'importe quel nombre.

Bon courage.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#14 15-02-2017 16:36:45

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Re,

Oui Prof Yoshi vous avez raison je n'ai pas su exprimer clairement mon incompréhension. Merci pour l'explication.

Ah génial Merci Freddy c'est très clair maintenant, j'ai compris !

Hors ligne

#15 16-02-2017 12:46:28

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Bonjour,

@Maître freddy

Ce résultat provient de la considération suivante : avec le nombre 2, j'ai trois possibilités[tex] \{1,2,4\}[/tex] ; avec le nombre 3, j'ai aussi trois possibilités [tex]\{1,3,9\}[/tex] ;  avec le nombre 5, j'en ai quatre  : [tex]\{1,5,25,125\}[/tex] et enfin avec le nombre 7, j'en ai deux : [tex]\{1,7\}[/tex].
(...)
Le +1 vient donc du fait que 1 est toujours diviseur de n'importe quel nombre.

Cette explication m'avait sautée aux yeux dès la fin de la mise en page de mon tableau en 3D des diviseurs de 720 (je salue la mémoire de feu nerosson, qui avait demandé cette variante de la balise code, que je détourne allègrement de l'usage pour laquelle elle a été conçue. M%ais c'est très long : 1 h pour un pareil tableau 3D).
Mais quelque chose me chiffonnait.
En effet 1 est diviseur de n'importe quel nombre, certes, mais je voyais que (x+1)(y+1)=xy+x+y+1 > xy... et le x+y+1 provient de ce que 1 est un diviseur de [tex]a^x[/tex] et et [tex]b^y[/tex] : en tenir compte avec x+1  et y+1 me gênait...
Alors j'ai essayé de voir si je pouvais dire ça autrement.
Prenons [tex]2^x\times 3^y[/tex]
de 1 à [tex]2^x[/tex], il y a x+1 diviseurs : [tex]\mathcal{D}(2^x)=\{1,2,4,8,...2^x\}[/tex]
de 1 à [tex]3^y[/tex], il y a y+1 diviseurs : [tex]\mathcal{D}(3^y)=\{1,3,9,27,...3^y\}[/tex]
Et l'ensemble des diviseurs de [tex]2^x\times 3^y[/tex] n'est rien d'autre que l'ensemble des produits [tex]a\times b[/tex] des composants de chaque couple (a,b) où a parcourt tous les diviseurs de [tex]2^x[/tex] et b parcourt tous les diviseurs de [tex]3^y[/tex] ; l'ensemble de ces couples (a,b) constituant le produit cartésien [tex]\mathcal{D}(2^x)\times \mathcal{D}(3^y)[/tex].
Ce produit cartésien comporte donc  (x+1)(y+1) couples, et l'ensemble des diviseurs cherchés, (x+1)(y+1) produits, donc diviseurs...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#16 20-02-2017 08:34:19

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Bonjour,

@Prof Yoshi,

Juste pour vous dire que je n'ai pas déserté et que je n'ai pas baissé les bras. Je ne me souviens plus si dans mon tout premier message je vous avez dit que j'étais maman d'un bébé de 6 mois qui n'aime pas trop les siestes, et c'est pour cela que je travaille surtout le soir. Bref, depuis 4 jours je n'ai pas pu travailler mais je m'y remets dès aujourd'hui... A très vite pour de nouvelles questions....

Sarah.

Hors ligne

#17 22-02-2017 00:15:31

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Bonsoir,

Me voilà de retour avec ma tonne de question sur le dos.

Tout d'abord, je vous remercie une nouvelle fois pour votre topo sur les fonctions affines. Il m'a permis de mettre les pieds dans le plat avec plus de légèreté.
Une fois avoir bien compris votre explication (hormis une petite chose, j'y reviens après), je me suis penchée avec un peu moins d'appréhension sur mon livre, et là les incompréhensions se sont enchaînées.

Je commence alors ma liste d'interrogations....

1) Sur votre, topo, ceux sont les derniers mots qui me posent problème. Je ne comprends pas comment [tex]g(x)-f(x)=2[/tex]
En effet [tex]{-}\frac{x}{340}+5[/tex][tex] -[/tex] [tex]\frac{x}{340}[/tex]

2)Si [tex]f(x)[/tex] est l'image de x, et si [tex]f(3)=9\pi[/tex], pourquoi [tex]9\pi[/tex] est l'image de 3 par la fonction de f. Est ce que image peut correspondre à un sens comme de l'autre ?

3)On me demande de compléter un tableau. Le voici compléter, Je ne comprends strictement rien à la logique.Je ne vois pas comment calculer avec  \pi, est ce que si je trouve un multiplicateur ou son contraire pour une colonne, est ce qu'il doit être le même pour la colonne suivante ?

[tex]x[/tex]         [tex]0[/tex]   [tex]1[/tex]     [tex]2.5[/tex]       [tex]3[/tex]         [tex]\sqrt2[/tex]     [tex]7.5[/tex]           [tex]10[/tex]

[tex]f(x)[/tex]   [tex]0[/tex]    [tex]\pi[/tex]    [tex]6.25\pi[/tex]    [tex]9\pi[/tex]          [tex]2\pi[/tex]        [tex]56.25\pi[/tex]   [tex]100\pi[/tex]

EDIT: Je viens de comprendre ce matin. En fait, le résultat est mis au carré à chaque fois et \pi doit être multiplié à chaque fois. Du coup c'est un calcul qui nous permettrait de connaître l'aire d'un cercle, si je ne me trompe pas....

4) Il y a une simplification que je ne saisis pas,

[tex]x^2-4\times\frac{x^2}{16}[/tex][tex]=[/tex][tex]x^2-\frac{x^2}{4}[/tex]
En effet [tex]4\times16=64[/tex], donc je ne vois pas.

5) Enfin, sur un repère orthonormé, pouvez vous m'expliquer comment vous placeriez cette fonction: [tex]g(x)=x^2-1[/tex]
J'ai la réponse sous les yeux, mais je ne parviens pas à comprendre pourquoi ça fait une courbe... Je vous l'aurais bien montré mais je ne sais pas comment faire un tableau ici.

D'ailleurs, lorsque je ferai de la géométrie, comment vais je pouvoir vous communiquer des formes géométriques ou autres ?


Je vous remercie pour votre aide...

Sarah.

Dernière modification par sarah2811 (22-02-2017 10:39:47)

Hors ligne

#18 22-02-2017 13:47:15

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Bonjour,

Dans l'ordre...
Exercice corrigé de la dernière page de mon topo Fct Affines..
L'émetteur E, comme son nom l'indique, émet un son n°1 en direction du Récepteur et un son n°2 en sens opposé; vers le mur (l'obstacle) et ricoche pour être récupéré ensuite par le récepteur.
La fonction f a été définie comme celle qui à la distance $x$ entre l'émetteur et le récepteur associe le temps mis par le son n°1, à 340 m/s, pour parcourir cette distance. Ce temps est l'image de $x$ par la fonction f, il est noté [tex]f(x)[/tex].
J'ai montré que [tex]f(x)=\frac{x}{340}[/tex]. Au passage, cette fonction est un cas particulier de fonction affine nommé fonction linéaire (c'est la proportionnalité)...

La fonction g a été définie comme celle qui à la distance $x$ entre l'émetteur et le récepteur associe le temps mis par le son n°2, à 340 m/s, pour parcourir la distance E--> M --> R. Ce temps est l'image de $x$ par la fonction g, il est noté [tex]g(x)[/tex].
J'ai montré que [tex]g(x)=-\frac{x}{340}+5[/tex].

Pour tracer la "courbe" (guillemets mis pour toi *) représentant la variation de valeurs de [tex]f(x)[/tex] quand $x$ varie de 0 à 850,
on place plusieurs points sur le graphique). Comme on sait qu'il s'agit d'une portion de droite (segment) deux suffiraient, mais je recommande trois : il y a toujours une droite passant par deux points donnés, pour trois, ce n'est pas toujours vrai ; on peut ainsi repérer plus facilement une erreur de calcul...
J'ai donc besoin d'une abscisse, $x$, et d'une ordonnée $y$ qui n'est autre que la valeur correspondante de [tex]f(x)[/tex].
Tableau

x    0      340          850
y    0       1           2,5

Je place alors les points de coordonnées (0;0); (340;1)  et (850;2,5), je prends ma règle et je trace...
Même procédé pour  la "courbe" représentative de g.

Ceci posé, rappel de la question :

3. a) Représenter graphiquement les fonctions f et g ainsi obtenues
    b) Le récepteur reçoit l'écho deux secondes après le 1er son. Lire sur le graphique la distance qui sépare
l'émetteur et le récepteur.

Autrement dit le son n°2 qui ricoche sur le mur, est récupéré ensuite par le récepteur deux secondes après l'arrivée du son direct.
Autrement dit encore (temps mis pour le trajet E-->M-->R) - (temps mis pour le trajet E-->M) =
Ou enfin (avec les notations rappelée) : [tex]g(x)-f(x) = 2[/tex]
Si je veux résoudre :
[tex] -\frac{x}{340}+5 -\frac{x}{340}=2[/tex]
Là, je recommandais de tout mettre sur le même dénominateur :
[tex] -\frac{x}{340}+\frac{5\times 340}{340}-\frac{x}{340}=\frac{2\times 340}{340}[/tex]
Soit :
[tex] -\frac{x}{340}+\frac{1700}{340}-\frac{x}{340}=\frac{680}{340}[/tex]
Soit encore :
[tex]\frac{-x+1700-x}{340} =\frac{380}{340}[/tex]
Si deux fractions de même dénominateur sont égales alors les numérateurs aussi :
[tex]-x+1700- x=680[/tex]
soit :
[tex]-x-x=680-1700[/tex]
[tex]-2x = -1020[/tex]
[tex]x=\frac{-1020}{-2}=510[/tex]

Point n°2.
Le cas que tu cites est de la proportionnalité : [tex]f(x)=3\pi x[/tex]
Si à 3 la fonction f associe à ce 3 la valeur 9\pi, alors on note [tex]f(3)=9\pi[/tex].
Relis mon topo, si [tex]f(a)=b[/tex], a est l'antécédent et f(a) est l'image de a par f.
On va dire que f est ton APN (appareil photo numérique). Tu photographies ta fille : elle est l'antécédent (comme en français = placé avant) et tu en obtiens une... image !
Ce n'est pas réversible, sauf dans certains cas en maths, où on peut prendre l'image b comme antécédent et moyennant une fonction (appelée alors fonction réciproque) et obtenir comme image, le précédent antécédent a...
Si  je nomme cette fonction g alors [tex]g(b)[/tex] = a...
[tex]f(x)=y[/tex] est simplement la notation mathématique des phrases suivantes :
* y est l'image de x par la fonction f
* f est la fonction qui associe à x le nombre y
f(x) est la notation mathématique de :  [tex]image de x par la fonction f[/tex]

Pont n°3.
Oui, ton tableau représente
en 1ere ligne des valeurs de x
en 2e ligne les valeurs de f(x) telles que [tex]f(x)=\pi x^2[/tex]
Oui, si $x$ désigne un rayon, [tex]\pi x^2[/tex] désigne l'aire du disque de rayon $x$

Point n°4.
N'as-tu pas vu la multiplication des fractions ? d'une fraction par un nombre ?
[tex]\frac a b \times \frac c d =\frac{a \times c}{b\times d}[/tex]
Supposons que b = 1.
Alors
[tex]\frac a 1 \times \frac c d =\frac{a \times c}{1\times d}[/tex]
ou encore :
[tex]a \times \frac c d =\frac{a \times c}{ d}[/tex]
Donc ici :
[tex]4\times \frac{x^2}{16}=\frac{4 \times x^2}{16}=\frac{4 \times x^2}{4 \times 4}=\frac{x^2}{4}[/tex]

Point n°5

170222012948860459.png

*
Colonne A : des abscisses $x$ allant de 1 en 1 de -6 à +6
Colonne B : les ordonnées y égales à [tex]x^2-1[/tex]
J'ai demandé à mon tableur de m'afficher les points correspondants (ici des petits carrés).
Je constate que ces points se répartissent selon une courbe...
Ce type de courbe avec $x^2^$ se somme parabole
Avec [tex]x[/tex] : c'est une droite.
Il y a bien d'autres types de courbes qui ne sont ni des droites, ni des paraboles...
Si j'essayais d'aller plus loin que le simple constat, cela risquerait de nous entraîner un peu loin...

Enfin : afficher un dessin, une image...
D'abord des recommandations :
N'utiliser la couleur qu'en cas de nécessité, sinon --> N&B
Les images ou dessins doivent être au format .jpg ou .png
Essayer de ne pas utiliser d'images (par ex brutes de sorties de smartphones) qui souvent sont des "draps de lit" genre 1 m x 0,70 m : moi, je les retouche systématiquement...
A titre informatif, l'image ci-dessus a été obtenue en appuyant sur la touche [tex]Impr écran[/tex] (Prnt Scr parfois) du clavier. Cet appui provoque le transfert dans le presse-papiers (une mémoire de stockage temporaire) de l'ordi d'une copie de l'écran.
J'ai ouvert mon logiciel de retouche d'image, j'ai recadré mon image autour de ce qui m'intéressait : j'avais alors une image de 350 points de hauteur et - en gardant les proportions - j'ai descendu la hauteur à 250 pts.
Puis j'ai enregistré mon image dans un endroit précis (pour la retrouver facilement) sous le nom de Tableur courbe x²-1.png.
Ceci fait et dit :
1. Je me suis rendu sur le site www.casimages.com
2. J'ai cliqué sur Sélectionner des Images
3. J'ai navigué dans mon disque sur jusqu'à trouver l'image
4. Je l'ai sélectionnée, puis cliqué sur Ouvrir
5. Le nom de l'image apparaît alors dans la zone "Sélectionner des images". Tu cliques dans le bleu à côté sur upload (la réciproque de download ^_^)
6. Une fenêtre codes de partage apparaît.
7. Là je choisis "Pour un forum"  et Grande taille : et je sélectionne la partie entre les seules balises [ IMG] et [ /IMG] (balises comprises) et je copie.
8. Je colle ensuite dans mon post.
Solution alternative :
Te rendre sur http://www.cjoint.com/ et suivre les instructions...

(*) Guillemets mis pour toi. La notion de courbe mathématique inclut les droites. On parle globalement de "Courbe représentative des variations" d'une fonction quelle qu'elle soit.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#19 22-02-2017 17:13:40

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Re,

Parfait, merci pour vos explications. (le site que vous m'avez communiqué n'est pas accesible)

Voici la suite de mes questions.


1) Fonction Linéaire:
Je ne comprends pas la formule qui va avec cette phrase:
La pente de la droite représente aussi la variation de l'ordonnée lorsque l’abscisse augmente de 1.
[tex]f(x+1)-f(x)=a(x+1)-ax=a[/tex]

2) Je ne vois pas comment représenter graphiquement cette droite d'équation: [tex]y=\frac{3}{2}x[/tex]
Donc si je comprends bien je peux donner n'importe quelle valeur à x.
Si je lui donne 2.
Ça me fait, [tex]y=2\times\frac{3}{2}[/tex] mais est ce que ça veut dire que je dois faire [tex]2\times1,5[/tex] ?

Si je comprends bien cette équation me fera un point sur le graphique. Et il me faut une autre équation comme [tex]y={-}\frac{3}{2}x[/tex] pour faire le second point ?

3) Comment fait on dans l'autre sens ? A partir de points de coordonnées, comment réussit-on à déduire une équation.
Ainsi, si j'ai [tex](0;0)[/tex] et [tex](4;10)[/tex]
J'ai le résultat [tex]a=\frac{5}{2}[/tex] , mais ça ne ressemble pas à une fonction linéaire ça et en plus je ne vois pas comment en on vient là...

4)Ensuite, j'ai un exercice où on me demande d'écrire une fonction linéaire d'un triangle équilatéral. Bon sans surprise, j'ai buggé .... Mais là n'est pas la question. Je me demandais en fait quel était l'intérêt de cette demande ? Et plus généralement, quel est l'intérêt des fonctions numériques ? Dans la vie de tous les jours, qui se sert de ces fonctions ? Est ce comme votre machine à calculer, on les retrouve dans nos appareils du quotidien ?


5) Quand on nous donne des points de coordonées, est ce qu'il faut les poser sur un graphique, pour savoir à quel type de fonction (linéaire ou affine) nous avons à faire ? Car si on me demande de les traduire en équation, cette dernière n'a pas la même base si j'ai à faire à l'une ou l'autre.

6) Voilà je suis face à un graphique que je ne comprends pas.
Il y a deux intitulés et deux graphiques qui correspondent à ces deux intitulés.
Je comprends le résultat du premier mais pas du deuxième. Alors qu'ils commencent de la même manière, ils ne donnent la même chose sur le graphique.

L'intitulé du premier est le suivant: [tex]f[/tex] est  une fonction croissante, la pente est égale à 2 et l'ordonnée à l'origine à -3.
Je lis sur le graphique correspondant, un point placé à [tex](2;1)[/tex] et l'autre[tex] (0;-3)[/tex]. Là tout va bien, je comprends.
L'intitulé du deuxième est le suivant: [tex]g[/tex] est une fonction croissante, la pente est égale à 2 et l'ordonnée à l'origine à 1. Et là je lis sur le graphique un point qui correspond à (-1;-1) et un autre à (0;1)
Pourquoi les points palcés ne correspondent pas à l'intitulé... ?

Je vous remercie, beaucoup de questions mais c'est parce que ces fonctions m'ont larguées. A Chaque fois, que je débute un nouveau chapitre, je me dis "punaise mais j'aurai pas dû me plaindre avec le précédent!" :-)


Sarah.

Dernière modification par sarah2811 (22-02-2017 17:19:03)

Hors ligne

#20 23-02-2017 11:18:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Bonjour,

Je n'avais pas vu ta réponse...
http://www.cjoint.com/

Prenons une droite quelconque tracée dans un repère.
Tous les points de cette droite présente une caractéristique commune : il existe la même relation entre l'abscisse $x$ et l'ordonnée $y$ de chaque point....
Dans le cas que tu cites si je prends n'importe quelle valeur de x , je peux trouver l'ordonnée correspondante du point de la droite :
[tex]y=\frac 3 2 x[/tex]
si x = 0,  alors y = 0
si x =1, alors [tex]y =\frac 3 2=1,5[/tex]
si x = 2, alors [tex]y =\frac 3 2 \times 2 =3[/tex]
.............................
si x = -3, alors [tex]y =\frac 3 2 \times (-3)= -\frac 9 2 = -4,5[/tex]

Si tu places sur un graphique les points de coordonnées :
(-3;-4,5), (0;0), (1;1,5), (2,3) et que tu les joins, tu obtiens la droite d'équation [tex]y = \frac 3 2 x[/tex]
/!\ Si tu changes d'équation tu changes de droite !

Mais cette équation, connaissant l'ordonnée d'un point de la droite, permet de retrouver l'abscisse de ce point...
Exemple : quelle est l'abscisse du point de la droite précédente si son ordonnée est [tex]\frac{15}{4}[/tex] ?
[tex]\frac 3 2 x = \frac{15}{4}[/tex]
On multiplie les deux membres par la fraction inverse de [tex]\frac 3 2[/tex] c'est à dire [tex]\frac 2 3[/tex] :
[tex]\frac 3 2 x \times \frac 2 3= \frac{15}{4}\times\frac 2 3[/tex]
soit :
[tex]\frac{3\times 2}{2 \times 3}x= \frac{15\times 2}{4\times 3}[/tex]et tu obtiens :
[tex]1x=\frac{5}{2}[/tex]
La réponse est donc :
le point de la droite d'ordonnée [tex]y=\frac{15}{4}[/tex] a pour abscisse [tex]x = \frac 5 2[/tex]...

Pour ton point 1. je ne vois pas de raison objective de se limiter à 1...
Une fonction linéaire est de la forme[tex] f(x) = ax[/tex] où a est une constante, i.e. un nombre dont on connaît la valeur, mais qui te ne t'es pas communiquée, et x une variable...
Je vais répondre pour augmentation de 1.
Si j'augmente l'abscisse $x$ de 1, j'obtiens $x+1$
Pour cette abscisse $x$ l'ordonnée est [tex]y_1 = ax[/tex]
Pour l'abscisse $x+1$ l'ordonnée est [tex]y_2 = a(x+1)[/tex]
Calculons [tex] y_2-y_1[/tex] :
[tex] y_2-y_1=a(x+1)-a=ax+a-ax=a[/tex]
Quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée augmente de a, c'est à dire de la valeur de la pente...
Et moi j'ajoute :
Quand l'abscisse diminue de 1, l'ordonnée diminue de a, c'est à dire de la valeur de la pente...
Donc, il faudrait parler de variation.

Je vais te faire un calcul théorique sans aucun chiffre, accroche-toi bien (même s'il ne faut pas en exagérer la difficulté)
Je vais prendre deux points A et B sur la droite représentant la fonction linéaire [tex]f(x)=ax[/tex]...
L'équation de cette droite est [tex]y  = ax[/tex]
Je vais noter $x_A$ et $y_A$ les coordonnées de A on a :  [tex]y_A=ax_A[/tex].
Je vais noter $x_B$ et $y_B$ les coordonnées de B on a :  [tex]y_B=ax_B[/tex].
Que vaut la différence d'ordonnées [tex]y_B-y_A[/tex] ?
Avec ce qui est écrit plus haut, je trouve :
[tex]y_B-y_A=ax_B-ax_A=a(x_B-x_A)[/tex]
Qu'est-ce que je fais de cette égalité :
[tex]a(x_B-x_A)=y_B-y_A[/tex]
J'en tire a  en divisant les deux membres par [tex](x_B-x_A)[/tex]
[tex]a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}[/tex]
Le quotient de la variation des ordonnées entre deux deux points et la variation des abscisses de ces deux mêmes points est la valeur de la pente...

Exemple
Je prends les points A(1;-3)  et B(-4;12). Quelle est la pente de la droite (AB) ?
La formule ci-dessus permet de répondre : on cherche  le quotient des variations des ordonnées par le quotient des variations des abscisses...
J'ai donc
$x_A = 1$  et  $y_A=-3$
$x_B = -4$  et  $y_B=12$
[tex]a=\frac{12-(-3)}{-4-1}=\frac{15}{-5}=-3[/tex]
L'équation de la droite (AB) est donc [tex] y = -3x[/tex]
La fonction linéaire $f$ représentée par cette droite est donc [tex]f(x)=-3x[/tex]

Tu peux noter que l'ordre des points n'importe pas :
[tex]a=\frac{-3-12}{1-(-4)}=\frac{-15}{5}=-3[/tex]

Et on rejoint la Géométrie : La droite (AB) ou la droite (BA), c'est la même droite...

Ensuite, j'ai un exercice où on me demande d'écrire une fonction linéaire d'un triangle équilatéral.

Là, je ne saisis pas : dit comme ça, ça n'a pas de sens...

Dans la vie de tous les jours, qui se sert de ces fonctions ?

Mais toi, si tu dois choisir pour ton mobile entre  deux offres :
un forfait plus un un pénalité à la seconde en cas de forfait ou un tarif sans forfait, mais payable à la seconde. Je suis chesz ma fille ; je supervise le remplacement de ses deux Velux. Je te trouverai des ex plus précis à mon retour...

On cherche à faire des citoyens responsables qui on un minimum de culture générale commune...
J'ai entendu cette question :
ça va me servir à quoi, je veux être plombier ?
Je commençais par une réponse cynique : à me fournir du boulot !
Puis :
imagine un monde où chacun ne sache tenir une conversation que dans sa spécialité ? Tu vois des profs de Maths incapables de parler d'autre chose que de Maths ? L'horreur intégrale...

Q6
Les fonctions affines sont toutes de la même forme : [tex] f(x)=ax+b[/tex] où a et b sont deux nombres réels :
a est le coefficient directeur (terme générique), moi, j'ai appris que l'on ne disait pente que si le coefficient directeur était positif,
b l'ordonnée à l'origine : ordonnée.... à ... l'origine : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Les coordonnées du ce point d'intersection sont (0;b).
Je rentre et je complète...

A suivre...


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#21 23-02-2017 13:37:39

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Re,

Lorsque l'ordonnée à l'origine b =0, le point d'intersection a pour coordonnées (0;0)  : la droite passe par l'origine...
La fonction affine correspondante a pour équation générique [tex]f(x)=ax[/tex],
Dans ce cas on l'appelle de façon plus précise : fonction linéaire...
La formule que je t'ai montrée reste valable.
[tex]f(x)=ax+b[/tex]
pente a = 2 ordonnée à l'origine b=-3.
équation de la droite : y = 2x-3  et fonction $f$ : [tex]f(x)=2x-3[/tex]

[tex]g(x) = ax+b[/tex]
pente a = 2
ordonnée à l'origine b = 1
équation de la droite : y = 2x+13  et fonction $g$ : [tex]g(x)=2x+1[/tex]
Les points qu'on t'a donnés sont-ils sur la droite ?
(-1;-1)  : abscisse -1  --> calcul de l'ordonnée correspondante [tex]y=2\times(-1)+1=-2+1=-1[/tex]
C'est bien celle du point.
Si ton calcul avait donné une valeur supérieure en partant de l'abscisse donnée, le point aurait été au-dessus de la droite, et si ton calcul avait donné une valeur inférieure en partant de l'abscisse donnée, le point aurait été au-dessous de la droite,

(0;1) ce sont les cordonnées du point où la droite coupe l'axe vertical. On peut le vérifier par le calcul :
[tex]y = 2 \times 0 + 1 =1[/tex] ça colle...
Il ne faut pas confondre coordonnées d'un point et les notions de pente et d'ordonnée à l'origine...

Je te joins une intro aux fct affines que je distribuais pour que tous soient concentrés sur ce qui se faisait au tableau et puissent suivre sur
le polycope. J'y ai rajouté à ton intention des commentaires en bleu, qui ne figuraient pas sur l'original...
Tu verras que les fonctions affine se nichent parfois dans des endroits inattendus.
Quant aux fonctions linéaires, les relations de proportionnalité, tu les rencontres à chaque achat que tu dois faire peser, par ex.
Là, la pente, le coefficient directeur a ne sont rien d'autre que le prix au kg ou dans un tableau de proportionnalité, le coefficient de... proportionnalité...

Je ne sais pas si j'ai répondu à tout...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#22 24-02-2017 14:52:04

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Bonjour,

Il y a certaines choses que je ne saisis pas.

Yoshi a écrit :

Dans le cas que tu cites si je prends n'importe quelle valeur de x , je peux trouver l'ordonnée correspondante du point de la droite :

...
...
...
...

Si tu places sur un graphique les points de coordonnées :
(-3;-4,5), (0;0), (1;1,5), (2,3) et que tu les joins, tu obtiens la droite d'équation [tex]y=\frac{3}{2}x[/tex] [tex]y=\frac{3}{2}x[/tex]
/!\ Si tu changes d'équation tu changes de droite !

J'ai dessiné mon graphique, maiiis je ne vois pas où vous lisez [tex]y=\frac{3}{2}x[/tex].



Yoshi a écrit :

Exemple : quelle est l'abscisse du point de la droite précédente si son ordonnée est [tex]\frac{15}{4}[/tex] ?
[tex]\frac{3}{2}x[/tex][tex]=\frac{15}{4}[/tex]
On multiplie les deux membres par la fraction inverse de [tex]\frac{3}{2}[/tex]  c'est à dire [tex]\frac{2}{3}[/tex] :

Pourquoi faut il le multiplier par son inverse ? il me semblait que l'on faisait ça uniquement quand il s'agissait de division ... ?


En effet, il y a des choses que je ne perçois pas clairement et je pense que j'ai confondu les termes coordonnées et pente/ordonnée à l'origine.
Vous m'avez fourni des réponses très détaillées, je vous en remercie, je vais les relire, je ne bâcle pas, mais j'ai deux petites questions avant du coup. En effet je me rends compte que je ne ets pas les bonnes choses sur le vocabulaire précis. Du coup je ne comprends pas certaines choses.

Sur un graphique, nous pouvons lire plusieurs points de coordonnées.
Mais nous pouvons lire qu'une seule pente, et qu'une ordonnée d'origine. Comment les lit on ?
Si vous avez déjà répondu, désolée, je n'ai pas dû comprendre.
Ah si je sais ! c'est l'équation de la droite qui permet de déterminer la pente et l'ordonnée d'origine ???? C'est a et b ? Du coup, est ce que je suis obligée de trouver l'équation pour définir la pente et l'ordonnée d'origine ? Ou est ce que je peux le lire directement sur le graphique ?

Dernière modification par sarah2811 (24-02-2017 15:57:49)

Hors ligne

#23 24-02-2017 19:22:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Bonjour,

La solution cherchée est de la forme :
[tex]x = ..[/tex], c'est à dire [tex]1x = ...[/tex]
Mais comment passer de [tex]\frac 3 2 x = ...[/tex] à  [tex]1x = ...[/tex]
Normalement, on répond : en divisant les 2 membres par [tex]\frac 3 2[/tex]...
Mais ce que je t'ai dit est la même chose :
1. Diviser par un nombre c'est multiplier par son inverse : [tex]6 \div 6 = 6\times \frac 1 6 = 1[/tex]
2  Pour diviser deux fractions, on multiplie la fraction Dividende (ou numérateur) par l'inverse de la fraction diviseur (ou dénominateur)
  [tex]\dfrac{\frac 4 5 }{\frac 2 3} =\frac 4 5 \times \frac 3 2[/tex]          [tex]\dfrac{\frac 3 2}{\frac 3 2} =\frac 3 2 \times \frac 2 3 =1[/tex]

Tu ne vois pas le  [tex]\frac 3 2[/tex] ?
Regarde mieux :
17022406525599097.png
Dans un escalier
- la marche est la partie horizontale
- la contre-marche est la partie verticale
Maintenant, sur le dessin, imagine un escalier : le coefficient directeur a (la pente) sera le quotient des longueurs d'une contre-marche et de sa marche :
[tex]\frac{LD}{LC}=\frac{12}{8}=\frac 3 2=1,5[/tex]
[tex]\frac{B'B}{B'O}=\frac{1,5}{1}=1,5=\frac 3 2[/tex]
[tex]\frac{C'C}{C'O}=\frac{3}{2}=1,5[/tex]
[tex]\frac{D'D}{D'O}=\frac{7,5}{5}=\frac{15}{10}=1,5=\frac 3 2[/tex]
Si j'appelle F le point d'intersection de (AA') avec (DD') :
[tex]\frac{DF}{FA}=\frac{7,5}{5}=\frac{15}{10}=1,5=\frac 3 2[/tex]
Pour le signe, il y a deux explications :
* Sur la droite (AD) quand je me déplace de A vers D, je monte donc [tex]+\frac 3 2[/tex] : il faut toujours se déplacer horizontalement dans le sens positif (gauche --> droite) : si le point D était en dessous de la droite (AA'), là, je descendrais et le signe de a serait -.
* Je pars d'un point de la droite et je déplace horizontalement dans le sens positif (gauche --> droite) : les x augmentent.
   Je m'arrête où je je veux puis j'effectue un déplacement vertical pour rejoindre la droite : si ce faisant les y diminuent (je descends !), la fonction est décroissante et  le coefficient directeur a est négatif ; si les y augmentent alors la fonction est croissante et a est positif...

Donc oui, on peut lire la pente a sur le graphique.
Quant à l'ordonnée à l'origine b, c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical.
On peut donc aussi la lire sur un graphique...
Avec mon dessin, ce point est O, d'ordonnée.
Si je traçais une parallèle à ma droite passant par le point L, je dessinerais l'escalier de même pente partant de L et je chercherais à rejoindre la droite en me dirigeant vers l'axe vertical.
Départ de L :
on descend de 1,5 puis on se déplace horizontalement de 1 vers la gauche de 1 et tu recommences jusqu'à traverser l'axe vertical : l'ordonné du point 'intersection est l'ordonnée à l'origine cherchée...
On peut aller plus vite :
Descente 3 et déplacement vers la gauche 2
Descente 4,5 et déplacement vers la gauche 3
Descente 6 et déplacement vers la gauche 4..

Quelle serait cette ordonnée à l'origine ?
N-B : en général, on la calcule... La lecture graphique dans un examen, un devoir, n'est jamais considérée comme une réponse valable, sauf si elle est demandée explicitement.
J'ai toujours conseillé à mes zèbres de maîtriser la lecture graphique qui peut servir de vérification aux calculs...
D'autre part, si on connaît la réponse, il est plus facile d'y arriver...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#24 26-02-2017 11:46:01

sarah2811
Membre
Inscription : 17-01-2017
Messages : 59

Re : Calculs

Bonjour,

Merci, je crois que ça commence à s'éclaircir...Je relis une nouvelle fois ma leçon, je fais quelques exercices pour voir comment je 'en sors. Je reviens certainement avec des questions...

L'ordonnée à l' origine est -4,5 ?

Dernière modification par sarah2811 (26-02-2017 11:47:27)

Hors ligne

#25 26-02-2017 15:11:11

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : Calculs

Re,

L'ordonnée à l' origine est -4,5 ?

Oui.
Tiens, exo de Brevet des Collèges (j'ai mis des points pour mieux matérialise les graduations des axes).
J'ai donné une équation (même si tu aurais pu la trouver par élimination).
170226033020872503.jpg

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Pied de page des forums