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tina

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edo à variables séparées

Bonjour,
on considère le problème de Cauchy $$
\begin{cases}
y'=2x \sqrt{y-1},\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$ La question est de calculer la solution de ce problème.

Voici ce que j'ai fait. On remarque que l'edo est d'ordre 1 à variables séparables.
On commence par étudier l'existence et l'unicité de la solution de ce problème.
On pose $f(x,y)=2 x \sqrt{y-1}$, et on a que $f$ est de classe $C^1$ par rapport à $y$ sur l'intervalle $]1,+\infty[$. On conclut par le théorème de Cauchy Lipschitz (formulation faible), que pour tout $(x_0,y_0)$, ce problème admet une solution unique à valeurs dans $]1,+\infty[$.

Mes deux questions sont   1. Pour le cas où $y$ est identique à 1, on n'a pas unicité de la solution ? Dans ce cas là, il peut y avoir des solutions t.q il existe $x_i: y(x_i)=1$. Comment faire dans ce cas ?

2. dans le cas du problème
$$
\begin{cases}
y'=y^2\\
y(0)=2
\end{cases}
$$
comment savoir si $y$ ne s'annule pas seulement en quelques points? Et qu'est ce qui va nous permettre d'écrire l'edo sous la forme équivante:
$
\dfrac{1}{y^2}y'=1
$?
S'il vous plaît.
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par tina (11-02-2017 00:35:19)

aviateur

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Re : edo à variables séparées

Réponse à la première question. vous avez raison mais plus précisément  le th de C-L dit qu'il existe pour tout (x_0,y_0) avec
y_0>1, une solution locale unique qui vérifie y(x0)=y_0.
Maintenant pour un point (x_0,y_0=1) le théorème ne s'applique pas. Tout peut se produire.
Mais on peut répondre au moins sur un exemple qu'il n'y a unicité de solution passant par ici par exemple en (x_0,y_0)=(1,1)
Il y a la déjà la fonction y(x)=1, forall x.
considérons le fonction y(x)=1, si x<=1 ey y(x)=5/4-x^2/2+x^4/4 si x>1.
Si mes calculs sont bons cette deuxième fonction est solution sur R-{1} et c'est un exercice
facile pour vérifier qu'elle continue, dérivable  en x=1 et vérifie l'equadif en x=1. Donc c'est une seconde solution
qui passe par (1,1).

aviateur

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Re : edo à variables séparées

question 2. D'abord au point (x0_,y_0)=(0,2) le théorème de Cauchy Lips. s'applique et il existe une unique solution locale pasant par (0,2).
Maintenant cette solution se calcule facile (variables séparées). On trouve y(x)=2/(1-2x).  Cette fonction n'est pas définie
x=1/2.  Mais c'est une solution sur  ]-infty, 1/2[. Sur cette ensemble c'est la seule solution qui passe par (0,1) en vertu de CL. Elle ne s'annule pas non plus.
Mais aussi
toute solution globale   sur ]-infty, 1/2[ ne recoupera pas cette fonction car maintenant on peut appliquer Cauchy L.P  en tout x<1/2.