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tina

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convolution et distributions

Bonjour,
On a $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ et $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$.
La question est de montrer que $T \star \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$. Par définition,
$$
T \star \varphi (x)= \langle T_y, \varphi(x-y)\rangle_{\mathcal{E'},\mathcal{D}}.
$$
étape 1. On montre que $T \star \varphi \in C^\infty(\mathbb{R}^n)$. D'après le théorème de dérivation que je rappelle en bas du message, on a
$$
\langle T_y,\varphi(x-y)\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}} \in C^\infty(\mathbb{R}^n)
$$
et puis que $\mathcal{D} \subset \mathcal{E}$, alors on a:
$$
T \star \varphi(x)= \langle T_y,\varphi(x-y)\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{D}} \in C^\infty(\mathbb{R}^n)
$$
Tout est bon?

étape 2. Montrer que $Supp (T \star \varphi)$ est compact. J'ai fais des recherches, et j'ai trouver que ça revient à montrer que
$$
Supp (T \star \varphi) \subset Supp T + Supp \varphi.
$$
Ça revient à montrer que $C(Supp T+ Supp \varphi) \subset C(Supp(T \star \varphi)).$
Soit $x \in C(Supp T+ Supp \varphi)$.
Dans ce que je lis, il est dit qu'il est clair que $x-y \notin Supp \varphi, \ \forall y \in Supp T.$
Question 1. Ce n'est pas clair pour moi. Pourquoi on a ça?

Ensuite, il est dit qu'on remarque que
$y \in Supp \varphi(x-y) \Rightarrow x-y \in Supp \varphi$.
Question: là aussi je n'arrive pas pourquoi on a ça et d'où on le remarque.
Ensuite, il est dit qu'on a:
$$
x-y \notin Supp \varphi \Rightarrow y \notin Supp \varphi(x-y).
$$
Et de ce qui précède, celà implique que
$$
y \in Supp T \Rightarrow y \notin Supp \varphi(x-y)
$$
Question: pourquoi on a cette dérnière implication?

Donc, pour tout $x \in C(Supp T + Supp \varphi), \ \langle T,\varphi(x-y)\rangle =0= T \star \varphi(x).
ce qui veut dire que $Supp T \star \varphi \subset \Supp T + Supp \varphi$.
Question. Est-ce que $Supp T$ et $Supp \varphi$ compact implique toujours que $Supp T + Supp \varphi$ compact?
Merci par avance pour l'aide.

Rappel: le théorème de dérivation qui dit ceci: Soit $T \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^p)$ et soit $\varphi \in \mathcal{E}(\mathbb{R}^{p+q})$ ($\mathbb{R}^{p+q}= \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q$). La fonction définie par $f(y)= <T_x,\varphi>_{\mathcal{E}'(\mathbb{R}^p), \mathcal{E}(\mathbb{R}^p)}$ est de classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^q)$.

Dernière modification par tina (09-02-2017 20:29:05)

tina

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Re : convolution et distributions

C'est ok, j'ai réussi à régler cette question par moi même. Merci.