Calcul sur les nombres naturels et les nombres décimaux positifs-CRPE

sarah2811 · 08-02-2017 01:50:34

A nouveau, Bonsoir,

Voici un nouveau post pour un nouveau chapitre.
Yoshi, vous m'avez parlé d'une citation de Rabelais ayant dit "Science sans conscience n'est que ruine de l'âme".

Donc je continue avec mes Pourquoi ??

Il y a une Propriété de la soustraction qui me fait un petit peu mal à la tête.

a est plus grand ou égal à b, lui même plus grand ou égal à c
[tex]a-(b-c)=(a-b)+c[/tex]
Pourquoi [tex]+c[/tex] , puisque [tex]b-c[/tex]

C'est ma seule question pour ce chapitre. Ouf heureusement, mais je n'ai pas encore fait les exercices d'entraînements. Si j'ai des doutes, je continuerai sur ce post là donc...

Merci.

Sarah.

yoshi · 08-02-2017 12:54:25

Bonjour,

Là, tu touches un point épineux qui demande une réponse soigneuse parce que je vais être obligé de te résumé trois mois de cours de 5e en quelques lignes, je vais donc être obligé de remonter loin dans les débuts de l'Algèbre...
Mais d'abord un exemple numérique...
12 - (7-5) = 12 - 2 = 10
(12-7)+5 = 5 + 5 = 10
Mais
12-7-5 = 5-5 = 0.
......................................
Au début on crée les nombres relatifs avec (des signes)...
+5 et -5 par exemple...
On apprend à les additionner :
(+5)+(-3)= +2
(+3)+(-4)=-1
(+5)+(+3)= +8
(-5)+(-3)= -8
Si on additionne deux nombre de même signe, le résultat garde le même signe.
Si on additionne deux nombres de même signe, le le signe du résultat sera celui de la plus grande valeur sans signe...
Je regarde mon thermomètre sur ma fenêtre :
Si la t° monte je mets un +, si elle baisse, je mets un -.
Si la t° monte de 5°C puis encore de 3°C, elle est montée de 5+3 : (+5)+(+3)= +8
Si la t° baisse de 3°C puis encore de 4°C, elle a baissé de 3+4 : (-3)+(-4) = -7
Si la t° monte de 5°C puis baisse de 3°C, elle est montée de 5-3 : (+5)+(-3)= +2
Si la t° monte de 3°C puis baisse de 4°C, elle a baissé de 4-3 : (+3)+(-4) = -1

Puis on définit la notion d'opposé
[tex]\text{opp}(+5)=-5\;;\;\text{opp}(-5)=+5[/tex]
Et la soustraction des nombres relatifs pour que la différence a - b de deux nombres relatifs a et b soit toujours le nombre d tel que b + d = a.
Rien de bien nouveau sous le soleil...
Combien de fois les Instits répétaient-ils que pour savoir si une soustraction, par ex 25-13 = 12 était juste, il fallait faire 12 + 13 pour voir si on retrouvait 25 ? Maintenant, je ne sais plus, s'ils disent la même chose. Probablement...
Donc je me pose la question :
(-5) -(-2) = ?
C'est le nombre tel que : ? + (-2) = -5
Là il doit être clair que (-3)+(-2) = -5
donc que :
(-5) - (-2) = (-3)
Et j'arrive à :
(-5) - (-2) = (-5) + (+2) = -3

Et si je cherche :
(-7) - (+3) = ?
Alors je me demande :
? + (+3) = -7
La réponse est -10...
Donc :
(-7) - (+3) = -10
Opération qu'on peut remplacer par :
(-7) - (+3) = (-7) + (-3)

On constate donc qu'il n'est pas nécessaire de donner une règle de soustraction très complexe...
On donne simplement :
Pour soustraire deux nombres relatifs, on ajoute au premier l[tex]'opposé[/tex] du second.

Arrivé là, on se dit que, puisque la soustraction "n'existe pas", qu'il n' y a que des additions, on va donc pouvoir simplifier l'écriture :
- Un nombre négatif conservera toujours son signe,
- Un nombre positif n'a pas besoin de + puisque si ce n'est pas -, c'est forcément + ??? Presque !
Si un nombre positif est seul ou le premier d'une liste, on n'est pas obligé de l'écrire...
Mais
- Entre deux nombres il faut toujours un signe...
Moyennant quoi
- les symboles d'addition entre deux nombres deviennent inutiles et seront sous-entendus
- Les soustractions seront transformées en addition et on appliquera la convention ci-dessus
- Et maintenant, les parenthèses entre les nombres deviennent elles-mêmes inutiles et "sous-entendues".

On écrira donc
(+3)+(-5)-(+2) = (+3)+(-5)+(-2)
Et
(+3)+(-5)+(-2) = 3 -5 -2 = -2 -2 = -4 (N'oublie entre les deux - 2 il y a un + "caché"
ou
(+3)+(-5)+(-2) = 3 -5 -2 = 3 -7 = -4
Et je vais encore simplifier la "règle" de soustraction :
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.

Les parenthèses maintenant servent notamment à imposer une priorité de calcul différente ou un changement de signe en ajoutant un - devant.
Les parenthèses maintenant servent à imposer une priorité de calcul en ajoutant un + ou - devant, notamment.

Ainsi 3 -(5 -4) n'est pas le même calcul que 3 -5 -4, puisque le 5 dans la parenthèse n'est plus -5 mais +5
3 -(5 -4) = 3 -1 = 2

Et 3 -(-5 -4) alors ?
Ce n'est pas le même calcul non plus...
Le -(-5 -4) signifie : opposé de la somme de -5 et -2..
-5 -4 = -9, son opposé est 9 obtenu par 5 +4...
Donc 3 -(-5 -4) = 3 +(5 +4) = 3 +5 +4 = 16

Autre règle :
- Pour supprimer des parenthèses précédées d'un +, on ne change rien : 3 +(-5 -4) = 3 -5 -4
- Pour supprimer des parenthèses précédées d'un -, on change tous les signes nombres de la parenthèse : 3 -(-5 -4) = 3 +5 +4
Autres exemples :
3 -(5 -4) = 3 -5 +4 et 3 -5 +4 = -2 +4 = 2 ou encore 3 -5 +4 = 3 -1 = 2
3 -(-5 +4) = 3 +5 -4 et 3 +5 -4 = 8 -4 = 4 ou encore 3 -5 +4 = 3 +1 = 4
Le - devant la parenthèse c'est donc l'opposé du contenu de la parenthèse...
Avec des lettres, l'opposé de a est noté -a.
a -(b -c) c'est a + l'opposé de b -c et l'opposé de b -c, c'est -b +c.
Donc :
a -(b -c) = a -b +c = (a -b) +c
Entre deux lettres, il faut toujours un signe, parce qu'en Algèbre, par convention [tex]ab[/tex] c'est [tex]a \times b[/tex].
De même entre un nombre et une lettre : [tex]3a[/tex], c'est [tex]3 \times a[/tex] et le nombre se place avant la lettre...

Voilà, qui devrait déclencher une sacrée "tempête sous un crâne"...
Pas d'affolement, et essaie de prendre le temps de chercher les réponses...

@+

Dernière modification par yoshi (08-02-2017 22:25:52)

sarah2811 · 08-02-2017 17:40:39

Bonjour,

D'accord, je lis ça petit à petit.
Du coup je vous pose une petite question, J'ai du mal à saisir ça (-5) - (-2) = (-5) +(-3)...
Est ce que vous pouvez me formuler, avec votre illustration des températures, cette égalité. Pouvez vous, s'il vous plait, faire une phrase pour
(-5)-(-2)
et une pour
(-5)+(-3)

Merci.

Dernière modification par sarah2811 (08-02-2017 17:44:50)

yoshi · 08-02-2017 22:25:35

Re,

Bon, j'avais encore gaffé...
C'est bon, j'ai corrigé.

@+

sarah2811 · 08-02-2017 23:36:18

Bonsoir,

yoshi a écrit :

Et 3 -(-5 -4) alors ?
Ce n'est pas le même calcul non plus...
Le -(-5 -4) signifie : opposé de la somme de -5 et -2..
-5 -4 = -9, son opposé est 9 obtenu par 5 +4...
Donc 3 -(-5 -4) = 3 +(5 +4) = 3 +5 +4 = 16

Deux petites choses que je ne comprends pas,
Le -(-5-4) signifie: opposé de la somme de -5 et -4, non ?
Et, 3+5+4= 12, non ?

Ok sinon merci beaucoup pour cette longue explication, je l'ai lu attentivement.
C'est une leçon qui m'avait plu je m'en rappelle et votre explication m'a tout remis en place, me semble t-il.
Pour en être sûre, vous pouvez me donner un calcul à résoudre, s'il vous plait ?

Je m'en vais poursuivre la leçon, ça se complique avec des histoires de fonctions linéaires et de proportionnalités :-)

yoshi · 09-02-2017 09:39:16

Re,

Oui, 12, pas 16...
Pardon !
Il m'arrive de changer de valeurs de cours de route et parfois j'oublie de rectifier...

Au delà de fonction linéaire (qui est une autre façon de parler de proportionnalité), c'est la notion de fonction qu'il faut comprendre...
Pas de fonctions affines (ça va pourtant avec les fct linéaires) ?

@+

sarah2811 · 09-02-2017 11:27:46

Bonjour,

Hier trop fatiguée je n'ai pas pu poursuivre...Je pense que je reviendrai vers vous dans la soirée avec mes questions...

yoshi · 10-02-2017 17:41:57

Salut,

sarah2811 a écrit :

Du coup je vous pose une petite question, J'ai du mal à saisir ça (-5) - (-3) = (-5) +(+3)...
Est ce que vous pouvez me formuler, avec votre illustration des températures, cette égalité. Pouvez vous, s'il vous plait, faire une phrase pour
(-5)-(-2)
et une pour
(-5)+(-3)

Les analogies pour les soustractions sont souvent bancales....
Ajouter deux pertes, c'est avoir une perte plus grande
Soustraire une dette à une dette, c'est diminuer (en valeur dans signe) la première...
Simplifier l'écriture et calculer :
(-5)-(+3)+(-2)

(+5)-(+3)-(-4)

Suppression de parenthèses :
a -(-b+c)

a-b-(c-d)+e-f

@+

sarah2811 · 11-02-2017 01:14:07

Bonsoir,

Entendu.

Je vous remercie, voici mes réponses...

1) [tex](-5)-(+3)+(-2) = -5-3-2 = -8-2=-10[/tex]

2) [tex](+5)-(+3)-(-4)=5-3+4=6[/tex]

3) [tex]a-(-b+c)=a+b-c[/tex]

4) [tex]a-b-(c-d)+e-f=a-b-c+d+e-f[/tex]

Est-ce bien ça ?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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#5 08-02-2017 23:36:18

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