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#1 27-01-2017 21:39:33

tina
Membre
Inscription : 27-03-2014
Messages : 285

question sur un opérateur

Bonjour,

Soit $m \in \mathbb{N}$. On pose $$A=\sum_{|\alpha|\leq m} (-1)^{|\alpha|} D^{2 \alpha}$$ défini de
H^m(\mathbb{R}^n) \to H^{-m}(\mathbb{R}^n)$$  est bijective, donc surjective et injective.

Voici ce que j'ai fait
Je lis dans un livre, qu'on remarque que  $||Au||_{H^{-m}}= ||u||_{H^m}$, et il a dit que celà signifie que $A$ garde les distance, donc A est mesurable et c'est mieux qu'un morphisme. Je ne comprend pas bien cette remarque.

A est injectif car $u=0$ implique que $||u||=0$ donc $||Au||=0$.

Il reste à montrer que A est surjectif. Pour ca, j'ai trouvé la preuve suivante:
Soit $T \in H^{-m}$, alors il existe un unique $u \in H^{-m}$ t.q $\forall v \in H^m: <T,v>_{H^{-m},H^m}= (u,v)_{H^m} = <Au,v>_{H^{-m},H^m}$
on en conclut que $T= Au$.
Je n'ai vraiment pas réussi à comprendre cette preuve de la surjectivité. Qu'est ce qu'ils essayent de faire?

Merci par avance de m'aider à comprendre ce point.

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#2 19-02-2017 19:05:26

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : question sur un opérateur

Pour l'injectivié c'est le contraire: il faut dire Au=0 implique u=0!!
Pour la surjectivité il faut  comprendre les objets manipulés:
[pour simplifier l'écriture je remplace H^m par V  et H^_m par V' et puis alpha par a. et puis L^2(R^m) par H
c'est dire que par exemple    pour u\in V, v\in v'    <D^(2 a) u, v>_V,V'=(-1)^a < D^a u,D^a v> _H,H
Donc <Au,v>=sum <D^a u,D^a v>_H,H.   En particulier pour u\in v 
<Au,u>=sum <D^a u,D^a u>_H,H, mais ça c'est par def le carré de la norme de u dans V. (i.e (u,u)_H^m).

Maintenant la solution proposée :  Pour T \in H-m il existe un unique u \in H ^m (et non H^-m) tel que
<T,v>_V,V'=(u,v)V,V cela vient du théorème de représentation de Riesz (qu'il faut admettre ici). En gros il dit
qu'un élément du dual de V, c'est à dire est représenter de façon unique par un élément de V.

Ici T est une forme linéaire  sur V      <T,v> est une écriture simplifiée de T(v).    D'autre par pour u\in V  l'application
v->(u,v)_V,V est une forme linéaire. Le th de R dit qu'il existe   un u\in v  tel que  T(v)=(u,v) \forall v \inV.

Une fois cela compris le reste de ce qui est écrit est correct. Finalement  <T,v>=<Au,v>   forall v veutvient dire T=Au? D'où la surjectivité

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