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#3 23-01-2017 08:25:29
- kritikos
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- Messages : 41
Re : inégalité des accroissements finis
Salut chama . par rapport a ton exercice . utilise la formule: arctgx - arctgy = arctg((x-y)/(1+xy)) et la tu simplifie l'expression de Un
Tu obtiendras Un = arctg(a/(1+n^2 + na) <= arctg(a/(1+n^2)) car la fonction arctg est croissante sur son DF
Soit f(y) = arctg(y). Soit x pris dans [0, infini] . poson I= [0, x] f est continue et dérivable sur I et pour tout y pris dans I ,
f'(y) <= 1 donc f(x) - f(0) <= 1(x-0) ce qui donne f(x)<=x.
Donc pour notre cas, arctg(a/(1+n^2))<= a/(1+n^2) et donc
Un <= a/(1+n^2).
Dernière modification par kritikos (23-01-2017 08:28:40)
Hors ligne
#4 23-01-2017 09:50:58
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : inégalité des accroissements finis
Bonjour,
Je pense que la solution évoquée est plus simple que ça : l'inégalité des accroissements finis dit que si $|f'(x)| \le M$ sur $I$ pour un certain $M > 0$ alors $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$.
Ici, $I=[n,+\infty[$ (je suppose $a \le 0$) et $f(x)=\arctan(x)$, soit $f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$et donc $f'(x) \le \dfrac{1}{1+n^2}$ sur $I$.
P.S. L'identité remarquable de l'arc tangence est un peu plus compliquée. Voir ici au paragraphe "Formule remarquable"
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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