Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 20-01-2017 22:28:57
- Nimaga
- Membre
- Inscription : 17-01-2017
- Messages : 4
Théorie de Jeux : Exercices imcompris
Bjr, Etudiant en 4éme année d'économie je me prépare pour la prochaine session , alors je me suis trouvé ce livre :( Formal Models of Domestics Politics ) de Scott Gehlbach , cependant je n'arrive pas comprendre ces deux exercices qui étaient en anglais que j'ai essayé de traduire en francais pour faciliter la compréhension , cependant ceux qui voudront voir l'original je serai disponible .
1.1/Envisagez la compétition à trois partis lors d'une élection régie par une règle de ruissellement(runoff rule): si aucun parti ne reçoit la majorité des voix lors du premier tour de scrutin, il y a un deuxième tour de scrutin. Au deuxième tour, les électeurs choisissent parmi les deux premiers votants au premier tour. Si tous les trois partis reçoivent le même total de voix au premier tour, deux partis sont choisis selon une règle de probabilité égale pour participer au second tour (de sorte que la probabilité qu'un parti entre au second tour soit égal aux deux tiers). Si deux parties s'enchaînent pour la deuxième place au premier tour, alors une des parties liant est choisie par un tirage au sort juste pour participer au deuxième tour. Supposons que les parties ne peuvent pas changer de position entre la première et la deuxième ronde. Les électeurs ont des préférences euclidiennes par rapport aux politiques sur la ligne numérique réelle, avec des points idéaux distribués de telle sorte qu'il existe un point idéal médian idéal Xm · Parties maximiser leur probabilité de gagner.
Disons que c'est un équilibre de Nash pour tous les trois partis de choisir la position médiane Xm, Expliquer pourquoi un tel équilibre existe sous la règle de ruissellement, mais pas de règle de pluralité.
2.1/Considérons la généralisation suivante des modèles d'Hotelling-Downs et de Wittman, où les partis recherchent et recherchent des politiques. L'environnement est identique à celui présenté dans la section 1.2, avec l'exception suivante: chaque partie P = L, R reçoit un avantage exogène v> 0 de l'élection. Ainsi, la partie L résout:
max(Xl) π(-xL,xR )(-|xL|+v)+[1-π(xL,xR )](-|xR|)
alors que la partie R resout :max(XR) π(xL,xR )(-|xL|-1)+[1-π(xL,xR )](-|xR-1|+v)
Complétez les étapes suivantes pour montrer que (xL, XR) = (xm, xm) est l'équilibre unique de Nash de ce jeu.
(A) Existence: Montrer que (xL, XR) = (xm, Xm) est un équilibre de Nash de cejeux
( B) Unicité: Montrer qu'aucun autre (xL, XR) n'est un équilibre de Nash de ce jeu en examinant les trois cas mutuellement exclusifs et exhaustifs suivants, en montrant que pour chaque cas, une partie a une incitation à dévier
(1) L'une des parties gagne avec certitude. (Notez que ceci implique qu'au moins un parti P a adopté un certain xp (=/)Different Xm)
(2) Les parties L et R gagnent chacune avec une probabilité de moitié, avec XL = XR=/(diferent) Xm ·
(3) Les parties L et R gagnent chacune avec une probabilité de moitié, avec XL et XR une certaine distance delta(delta on eitheir side of xm) de part et d'autre de Xm.
Merci d'avance et j'espere qu'on pourra en debattre pour me rendre les idées claires car la je ne comprends plus malgré j'ai beaucoup essayé
Dernière modification par Nimaga (21-01-2017 18:37:57)
Hors ligne
#2 21-01-2017 09:36:11
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Théorie de Jeux : Exercices imcompris
Salut,
avant même que je regarde ton sujet, enlève stp ton adresse mail, les échanges se feront sur le forum, pour que tout le monde en profite.
Merci !
@+
PS : comme ta traduction est un peu incertaine, merci aussi de donner le texte en anglais, c'est une langue assez fine que beaucoup ici savent le lire et ça facilitera notre compréhension du sujet.
Dernière modification par freddy (21-01-2017 09:42:55)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
Hors ligne
#4 22-01-2017 19:51:46
- Nimaga
- Membre
- Inscription : 17-01-2017
- Messages : 4
Re : Théorie de Jeux : Exercices imcompris
Bonjour , La version Original des exercices
Exercice1
Consider three-party competition in an election governed by a runoff rule: if no party receives a majority of votes in the first round of voting, then there is a second (runoff) round ofvoting. In the second round, voters choose among the top two vote-getters in the first round. If ail three parties receive the same vote total in the first round, then two parties are chosen using an equal-probability rule to compete in the second round (so that the probability that any party enters the second round equals two-thirds). If two parties tie for second in the first round, then one of the tying parties is chosen by a fair coin toss to compete in the second round. Assume that parties cannot change their positions between the first and second rounds. Voters have Euclidean preferences over policies on the real number line, with ideal points distributed such that there is a unique median ideal point Xm. Parties maximize their probability of winning.
Argue that it is a Nash equilibrium for ail three parties to choose the median position Xm, Explain why such an equilibrium exists under the runoff rule but not plurality rule.
Exercice2
Consider the following generalization of the Hotelling-Downs and Wittman models, where parties are both oflice-seeking and policyseeking. The environrnent is identical to that presented in Section 1.2, with the following exception: each party P = L, R receives an exogenous benefit v > 0 from election. Thus, party L solves max(Xl) π(-xL,xR )(-|xL|+v)+[1-π(xL,xR )](-|xR|) whereas party R solves
max(XR) π(xL,xR )(-|xL|-1)+[1-π(xL,xR )](-|xR-1|+v)
Complete the following steps to show that (xL, XR) = (xm , xm) is the unique Nash equilibrium of this game.
(a) Existence: Show that (xL,XR) = (xm ,Xm) is a Nash equilibrium of this gi'me.
(b) Uniqueness: Show that no other (xL, XR) is a Nash equilibrium of this game by examining the following three mutually exclusive and exhaustive cases, showing that for each case some party has an incentive to deviate:
(1) One of the parties wins with certainty. (Note that this implies that at least one party P has adopted some x p ,le Xm-)
(2) Parties L and R each win with probability one-half, with XL= XR # Xm·
(3) Parties L and R each win with probability one-half, with XL and XR some distance tl.. on either side of Xm.
Bonne journée à tous .
Hors ligne
#5 23-01-2017 08:11:33
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Théorie de Jeux : Exercices imcompris
Salut,
OK et merci. A l'origine, Hotelling a publié dans les années 30 une théorie de localisation optimale de la firme en économie spatiale, qui reste un sujet encore assez rarement étudié. L'idée est d'établir qu'en cas de duopole concurrentiel, chaque firme, pour maximiser sa zone d'influence (ou aire d'attraction), doit s'installer "au milieu" du "terrain". Pour mieux voir, prendre l'image d'une longue plage type celle de La Baule et chercher où un marchand de glace à intérêts à se placer en présence d'un second marchand de glace qui commercialise les mêmes produits (duopole concurrentiel). Qu'il arrive de la droite ou de la gauche, il est certain d'être au plus près de ses clients d'un côté, et cherche à capter une autre partie des clients de l'autre côté. A la fin du raisonnement, on établit que le meilleur endroit est le milieu de la plage. C'est le même raisonnement qui aboutit à l'observation selon laquelle, par exemple, deux fastfood de marque différentes seront installés très près l'un de l'autre, ou alors le nombre de pizzéria installées les unes aux côtés des autres dans certaines rues de Nice.
A la fin des années 70, est apparu le "théorème de l'électeur médian" en économie publique et choix sociaux, qui s'appuyait sur le modèle de Hotelling. Ce théorème énonce qu'un parti politique, pour gagner des élections, doit avoir le discours le plus proche possible de celui qui clive le moins et démontre qu'un parti qui tient un discours "extrémiste = qui n'intéresse qu'une partie marginale de l'électorat" est, pour cette raison, systématiquement voué à rester à l'écart de la vie des affaires publiques.
Ceci posé, est-il possible que tu exposes simplement les formules et notations utilisées, car contrairement à toi, ce sont des sujets inconnus du plus grand nombre (en clair, nous n'avons ni ton cours ni tes références bibliographiques sous les yeux, donc difficile d'échanger ensemble) ?
D'avance, merci.
@+
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
Hors ligne
#6 23-01-2017 17:39:06
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Théorie de Jeux : Exercices imcompris
Re,
et si tu pouvais écrire les rares formules avec Latex (voir le lien ci-dessous, les balises ne sont pas très compliquées à gérer), ce serait un peu plus lisible.
Code Latex
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
Hors ligne