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#1 18-01-2017 09:11:10

sarah2811
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Systèmes de numération CRPE

Bonjour, Voilà je me présente, je suis candidate au concours externe pour devenir professeur des écoles et je dois préparer mon écrit d'admissibilité en maths.
Ayant de grosses difficultés de bases, les maths sont pour moi un vrai casse tête mais je m'accroche. J'ai découvert hier par le plus grand des hasards votre site et je suis vraiment contente de voir que les personnes répondant aux questions sont pédagogues.

Donc voici les premières petites questions que j'ai à poser, je pense qu'il y en aura un peu chaque semaine, car il  y a des choses sur lesquelles je n'arrive vraiment pas avancer.

Mes questions concernent donc dans un premier temps les systèmes de numération.

1)   existe t-il une base a de numération de position dans laquelle 82a = 3 x 28a

Pourquoi l'étape suivante est elle celle là : 8a 2 = 3 x ( 2a +8) Cela correspond il à une formule ?
donc 8a + 2 = 6 a + 24
donc 2a = 22 Comment est ce que l'on arrive là ??




2) il s'agit du vocabulaire, je ne comprends pas les "cinquaines" et les "vingt cinquaines lorsque l'on fait des additions ou multiplication, ou soustraction ...

Par exemple dans ce résumé:

Quand on multiplie deux nombres de base « B », il ne faut pas oublier que la retenue
« 1 » est égale à « 1 cinquaine », « 1 vingt-cinquaine », etc. suivant son rang.
Pour le reste,
on pose la multiplication comme une multiplication classique.
Ex : On veut multiplier 2135et 3    5


        2 1 3
   x         3
---------------
    1 1 4  4

3 x 3 = 9. Or, 9 = 14    Je pose donc 4 et je retiens « 1 cinquaine ».                   Pourquoi on appelle ça une cinquaine ICI
1 x 3 = 3 cinquaines. On ajoute la retenue : 4 cinquaines. On pose donc 4           Et LA AUSSI ,
2 x 3 = 6 vingt-cinquaines, c'est-à-dire 11    5                         Pourquoi on appelle ça une vingt cinquaine ?

La multiplication est donc égale à 1144 5       


Sur schéma je comprends mais lorsque je pose, je ne comprends rien.



3) Peut être que ma question du desus est en lien avec cette question ci. Je viens de m’apercevoir que je savais pas expliquer pourquoi dans une soustraction, lorsque l'on doit mettre des retenues pourquoi rajoute-on une dizaine en haut et une unité en bas ?



4) Comme dans mon exemple cité en haut et dans pleins d'autres exemples d'addition et de soustraction pourquoi commence t-on le nombre du dessus pour faire l'opération au lieu de partir par le nombre d'en bas ?

exemple 213 x 3 = nous disons 3 x 3
                            PUIS 1 x 3
                            PUIS 2 x 3     Est ce vraiment important ?


Voilà petites questions par ci par là, en espérant avoir des réponses pour pouvoir avancer s'il vous plait.
Je vous remercie, très bonne journée à vous...

sarah2811

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#2 18-01-2017 13:53:19

yoshi
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Messages : 13 349

Re : Systèmes de numération CRPE

Bonjour,

Bienvenue à bord !

3) Peut être que ma question du desus est en lien avec cette question ci. Je viens de m’apercevoir que je savais pas expliquer pourquoi dans une soustraction, lorsque l'on doit mettre des retenues pourquoi rajoute-on une dizaine en haut et une unité en bas ?


Tout à fait, c'est fondamental...
Voyons cela de plus près.
Il faut revenir à notre système de numération où ion écrit les chiffres les uns à côté des autres et où c'est la position du chiffre dans le nombre qui détermine sa valeur.
Nos calculons d'habitude en base dix.
Dans le système de numération de position à base dix, une unité d'un ordre quelconque vaut (et peut être remplacé par) dix unités de l'ordre immédiatement inférieur
ou dix unités d'un ordre quelconque peuvent être remplacés par une unité de l'ordre immédiatement supérieur :
34278 c'est :
8 unités du 1er ordre
7 unités du 2e ordre
2 unités du 3e ordre
4 unités du 4e ordre
3 unités du 5e ordre
En relation avec ce qui précède, je peux dire que 3 unités du 5e ordre représentent 10×3=30
unités du 4e ordre
Chaque unité du 4e ordre vaut 10 unités du 3e ordre,
or j'en ai 30, donc 10×30=300   =10×300=3000 unités du 2e ordre =30000 unités du 1er ordre...
Il vient donc que :
[tex]34278=30000+4000+200+70+8=10^4×3+10^3×4+10^2×2+10^1×7+8[/tex]

Donc si j'écris
[tex]\overline{4213}^5[/tex]
c'est
3 unités du 1er ordre (appelées aussi unités simples)
1 unité du 2e ordre ou 1 "cinquaine"
2 unités du 3e ordre ou 2 "cinquaines de cinquaines", soit 2 "vingt-cinquaines"
4 unités du 4e ordre ou encore 4 "cent vingt-cnquaines"
Voilà pourquoi si  je veux convertir ce nombre en base dix, je fais :
125×4+25×2+5×1+3=558

Supposons que j'aie beaucoup beaucoup  de billes par terre, et que je veuille écrire leur nombre  en base n, je commence par grouper
- mes billes par paquets de n billes : j'aurais alors un nombre de billes non rangées par paquets de n, compris entre 0 et n-1, j'appelle x ce nombre,
- paquets de n billes en sacs de n paquets chacun : j'aurais alors un nombre de paquets de billes non rangées par sacs de n paquets, compris entre 0 et n-1, j'appelle x ce nombre,
- sacs de n paquets de n billes en cartons de n sacs chacun : je suppose que  je ne peux pas aller plus loin et que je dispose de z cartons...
Le nombre s'écrit en base n : [tex]\overline{zyx}^n[/tex]

Application.
Comment écrire 467 en base cinq ?
Je suppose que j'ai 467 billes étalées par terre.
- Je vais faire des paquets de cinq, i.e je les groupe par cinq ce qui correspond à la division :
   467 divisé par 5 : 93 groupes et 2 billes non rangées
- Maintenant je vais grouper mes 93  paquets de cinq en sacs (chaque sac contiendra cinq paquets)
   93  divisé par 5 : 18 groupes et il reste 3 paquets hors sacs...
- Je répartis alors mes 18 sacs de 5 paquets par cartons de 5 sacs :
   18 divisé par 5 : 3 groupes et il reste 3 sacs  hors cartons. Avec mes 3 cartons, je peux pas faire mieux...
Le nombre s'écrit donc [tex]\overline{3332}^5[/tex]


Parenthèse.

1)   existe t-il une base a de numération de position dans laquelle 82a = 3 x 28a

Pourquoi l'étape suivante est elle celle là : 8a 2 = 3 x ( 2a +8) Cela correspond il à une formule ?
donc 8a + 2 = 6 a + 24
donc 2a = 22 Comment est ce que l'on arrive là ??

Déjà il faudrait ne pas mélanger a et a...
En fonction de ce qui précède :
[tex]\overline{82}^a[/tex] c'est 8 unités du 2e ordre + 2 unités du 1er ordre.
Dans la base a, chaque unité d'un ordre quelconque  vaut a unités de l'ordre immédiatement inférieur
[tex]\overline{82}^a=8a+2[/tex]
De même [tex]\overline{28}^a = (2a+8)\times 3=6a+24[/tex]
On peut donc écrire ;
[tex]8a+2=6a+24[/tex]
Soit  [tex]8a-6a = 24 - 2[/tex]
Et [tex]2a = 22[/tex]
D'où [tex]a = 11[/tex]
Pas de formule magique, juste le retour à la définition  (et la compréhension) de la façon d'écrire les nombres...

Il te manque (et à ceux qui te forment aussi ?) un petit quelque chose...
A l'école primaire, on fait apprendre par cœur les tables d'addition et de multiplication, ce n'est pas pour embêter les gosses, mais pour gagner du temps.
Cela étant, c'est vrai, on perd facilement de vue le pourquoi !...
C'est la raison pour laquelle une piqûre de rappel s'impose de temps en temps (et je ne m'en privais pas en 6e, à ceci près que les changements de bases ne sont pas dans le prog de 6e) !)
Faute de savoir par cœur (normal !) les tables en base 5, on les reconstruit


+ |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
1 |  2 |  3 |  4 | 10 |
--|----|----|----|----|
2 |  3 |  4 | 10 | 11 |
--|----|----|---|-----|
3 |  4 | 10 | 11 | 12 |
--|----|----|----|----|
4 | 10 | 11 | 12 | 13 |

[tex]4+4=8 = 5 + 3 --> \overline{10 + 3}^5=\overline{13}^5[/tex]


x |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
1 |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
2 |  2 |  4 | 11 | 13 |
--|----|----|---|-----|
3 |  3 | 12 | 14 | 22 |
--|----|----|----|----|
4 |  4 | 13 | 22 | 31 |

En base dix, pourquoi [tex]8 \times 3 = 24[/tex] ?
8 est le multiplicande, 3 le multiplicateur, en foi de quoi on écrit :
[tex]8 \times 3 = \underbrace{8+8+8}_{3 \text{ nombres } 8}[/tex]
[tex]8+8+8 = (8+2)+6+8 = (8+2)+(6+4)+4[/tex] = 2 dizaines et 4 unités...

       2 1 3
   x       3
---------------
     1 1 4 4

* 3 x 3 = ?
- soit je vais dans ma table, je vois = 14 et je dis : je pose 4 et je retiens 1
- soit je dis 3 \times  3 = 3 + 3 + 3 = (3 + 2)+ 1 + 3 = (3 + 2) + 4, soit 1 unité du 2e ordre et 4 unités du 1er ordre : 14. Et je dis  : je pose 4 et je retiens 1.
Ne pas oublier que 3+ 2 c'est 1 paquet (de cinq), et dans la numération de position on n'écrit qu'un chiffre par colonne.
Et j'écris donc dans la colonne des unités simples le nombre 4.
Ce faisant, je n'oublie que j'ai garde sous le code 1 paquet (de cinq).
* Je continue [tex]1 \times 3[/tex] = 1 paquet + 1 paquet + 1 paquet = 3 paquets de (cinq) et c'est là que je ressors de dessous mon coude le paquet de cinq qui provient de la précédente multiplication : 3 + 1 = 4, 4 paquets (de cinq). Je ne n'ai pas d'unité du 3e ordre à garder sous le coude
* Je termine :
- [tex]2 \times 3 = 2 + 2 + 2 = (2+2+1) + 1 = \overline{11}^5[/tex]
- soit je prends ma table et je vois que [tex]\overline{2 \times 3 = 11}^5[/tex]
Dans les 2 cas, je constate avoir 1 unité du 3e ordre (1 sac de cinq paquets de cinq unités du 1er ordre) et 1 unité du 4e ordre (1 carton de cinq sacs de cinq paquets de cinq unités du 1er ordre).
On écrit finalement comme résultat 1144

Concernant ces problèmes de retenue, tu dois avoir alors du mal à expliquer les opérations en  h min s (base soixante + base dix !)...
Il y a bien longtemps, les écoles étaient dotées de "blocs logiques", de petits cubes emboîtables sur les 6 faces : c'était pour moi indispensable à la compréhension des mécanismes.
On groupait les petits cubes en "bâtons" de 10 (de cinq dans ton cas), puis les bâtons en plaques carrées de 10 bâtons chacune (cinq bâtons de cinq cubes dans ton cas) puis les plaques en cubes de 10 plaques...
Etc..
J'explique tout ça en repartant de la notion de base de retenues sur additions et soustractions et je termine avec  les h min s : pdf de 6 pages avec des dessins en 3D.
Cela t'intéresse-t-il ?

  235
- 148
-----
=

Imagine que tu doives retirer  148 € d'une somme de 235 €
148 € composés de 1 billet de 100, 4 billets de 10 € et 8 pièces de 1 €
235 € composés de 2 billet de 100, 3 billets de 10 € et 5 pièces de 1 €
et que tu n'aies pas le droit d'échanger billets de 100  contre billets de 10 et billets de 10 € contre pièces  - pièces que j'ajoute aux 5 pièces déjà possédées : 15 - 8 = 7...
Mais je n'ai pas commencé à soustraire 148 de 235, mais 148 de de 230+(5+10), soit 2450
Le résultat va être faussé...
En effet  donc, si je continuais comme si de rien n'était, j'aurais retiré 148 €  de 245 € : il resterait 10 € de trop...
Je vais donc rajouter 10 € sous la forme d'un billet de 10 € aux 4 billets (de 148) : je veux donc prélever 5 billets de 10 €...
MAIS comment prélever 5 billets quand on n'en a que 3 ?

Je suis obligé de rajouter 10 billets de dix aux 3 billets de dix (de 235)...

Ce faisant la somme n'est plus ni 235, ni 230+(5+10), mais 2 centaines 2 centaines 13 dizaines et 15 unités (soit 345)...
Cette fois, j'ai augmenté la somme de départ de 10 billets de dix... soit (1 centaine) et je vais bien devoir rétablir l'équilibre en ajoutant 1 billet de 100 à la somme à retirer... ce 1 billet rajouté en bas, c'est encore ma retenue...
Donc ma soustraction :

  235
- 148
-----
=

est devenue :

      2    (10+3) (10+5)
            /      /
           /      /
          /      /
         /      /
        /      /
    (1+1)  (4+1)   8
--------------------------
      0      8     7

 

Si je procédais comme pour les h min s, je ferais :


      12
  1    2  15  
  2    3   5
- 1    4   8
------------
= 0    8   7      

J'enlève une dizaine à 3  que  je rajoute sous forme de  10 unités à 5 ---> 15 - 8 = 7
J'enlève une centaine à 2 que  je rajoute sous forme de  10 dizaines à 2 (*) ---> 12 - 7 = 8
(*) J'avais enlevé une dizaine à 3, il n'y en avait donc plus que 2.
Avec cette méthode, il n'y aurait pas de retenues...

Questions ?

@+

Dernière modification par yoshi (19-01-2017 08:07:42)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 19-01-2017 23:41:10

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonsoir,

J'ai lu attentivement votre réponse et je vous remercie pour votre investissement et votre pédagogie.
Je vous réponds à mon tour.

J'ai compris l'explication des diférents ordres, merci c'est clair.

J'ai compris cette histoire de vocabulaire grâce à 4212 en base de cinq. Du coup je mle demandais, en bas de trois, le ot cinquaine devient quoi ? Et pour transformer en base de 10, il faudra que je multiplie successivement chaque ordre par 3, 9, 27, 81 ?

Merci pour l'exemple des billes. Je peux trouver 3332 en base d 5 par division successives n'est ce pas ?

Pour 82a = 3 x 28a toujours quelques petits pbs
Aurait on pu dire au lieu de 8a 2 , ceci 8 + 2a ?

Le a lié à 82 n'est il pas le même que 8a + 2 ? pOURquoi dîtes vous qu'il ne faut pas les mélanger ?


Aussi je suis surprise que vous passiez de 8a + 2 = 6a + 24
                                                          à
                                                           8a - 6a = 24 - 2

4+4=8=5+3−−>10+3¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯5=13¯¯¯¯¯5     Là je suis perdue

D'où vient le 10 + 3 en base 5 ??
A dire vrai, même le tableau d'en dessous je ne le comprends pas.

Ainsi que:
8+8+8=(8+2)+6+8=(8+2)+(6+4)+48+8+8=(8+2)+6+8=(8+2)+(6+4)+4 = 2 dizaines et 4 unités...

Ce que je ne comprends pas c'est comment passez vous du 8+8+8 au (8+2)+6+8

Du coup puisque je ne comprends pas ça, je ne comprends pas non plus pourquoi vous passez du 3+3+3 au (3+2)+1+3.


Oui je ne vous dirai pas non pour une aide supplémentaire concernant l'explication h min s car je me demande comment l'expliquer de manière rigoureuse.


Merci pour l'explication des retenues à travers les billets, c'est concret et du coup très compréhensible.




Question nouvelle concernant nos fameuses bases de numération (j'attaque ce week end les nombres rationnels et décimaux, je pense que cela fera l'objet d'un nouveau post après y avoir travailler)

Existe t-il une base b de numération de position dans laquelle 23b + 53b = 80b


Au secours je ne sais pas même par où commencer, la correction me dit que non, mais même le corrigé s'érige en pb.


Ah oui dernière petite question, j'ai trouvé dans certains exercices l'exposant placé en bas à droite ! On le nommerait indice :-) . Mais qu'est ce que cela signifie, j'ai cherché et cherché je ne sais que faire de cet indice par rapport à ce qui le précède.

Merci pour votre patience....


Sarah.

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#4 20-01-2017 12:11:34

yoshi
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonjour,


Moi, j'ai choisi une convention, celle d'écrire [tex]\overline{432}^5[/tex], Wikipedia par exemple, lui,  écrit [tex]{432}_5[/tex], quelle importance ? Le tout est de le savoir !

J'ai compris cette histoire de vocabulaire grâce à 4212 en base de cinq. Du coup je mle demandais, en bas de trois, le ot cinquaine devient quoi ? Et pour transformer en base de 10, il faudra que je multiplie successivement chaque ordre par 3, 9, 27, 81 ?

[tex]\overline{12122}^3 = 3^4\times 1 + 3^3\times 2 + 3^2\times 1+3^1\times 2+2= 81\times 1 + 27\times 2 + 9\times 1+3\times 2+2=81+54+9+6+2=152[/tex]
Vérification :


152 | 3  
 02 | 50 | 3  
  2 | 20 | 16 | 3
       2 |  1 | 5 | 3
                2 | 1    

Voilà qui devrait répondre à un certain nombre de questions...
Si j'ai un gros tas de pièces de 1 €, écrire le nombre de pièces en base n, c'est faire des tas de [tex]n \text{ pièces }(=n^1)[/tex], puis de [tex]n \times n\; (=n^2)[/tex], puis de [tex]n \times n\times n\; (= n^3)[/tex], etc..
En base 5, le chiffre 5 utilisé pour écrire ce nombre de croix : xxxxx n'existe pas...
En effet, xxxxx, c'est [tex]\fbox{xxxxx}[/tex] soit 10 1 paquet de cinq tout seul...
Alors quand tu écris : 8a2 c'est gênant...

8a2
* C'est 8a2 ? Ça n'a pas de sens : en algèbre 8a, c'est l'écriture simplifiée de [tex]8 \times a[/tex] (ou [tex]a \times 8[/tex])
   Alors 8a2 serait 8\times a \times 2 = 16\times a = 16a
* C'est le nombre \overline{8a2}^{10} (ou encore 8a210) ? a représentant la base... Voilà qui pose un autre problème :
   si a est le nombre représentant la base et que cette base est supérieure ou égale à 10, en base 10, elle s'écrit avec 2 chiffres...
   Donc en base 10, si [tex]a \leqslant 10[/tex], a n'est pas un chiffre ! Alors quel est le sens de 8a2 ???
* C'est le nombre [tex]\overline{8a2}^a[/tex] (ou encore 8a2a) ? a représentant la base...
   Dans ce cas : seize, de même, pour écrire seize, on utilise 2 chiffres : 10...
* Quel sens a l'espace lorsque tu proposes d'écrire [tex]8a\;2[/tex] ???
   [tex]\overline{82}^a[/tex] (ou en encore 82a) c'est 2 unités du 1er ordre et 8 unités du 2e ordre.
   Si cela représente le nombre pièces de 1 € étalées sur ma table, je peux donc faire 8 paquets contenant chacun a pièces et j'aurais 2 pièces non rangées : [tex]a \times 8 + 2[/tex] avec une addition...

Lorsqu'on s'écrit [tex]a \times b[/tex], c'est une autre façon de représenter la somme [tex]\underbrace{a\,+\,a\,+\,a\,+\,\cdots,+\,a}_{b\text{ nombres }a}[/tex].
a est le multiplicande : la quantité que l'on multiplie,
b est le multiplicateur :  la quantité par laquelle on multiplie.
En général, on n'y fait pas attention parce que la multiplication a cette propriété que [tex]a \times b = b \times a[/tex]
[tex] 8\times 3 = 8\,+\,8\,+\,8\, =\,24[/tex]
[tex] 3\times 8 = 3\,+\,3\,+\,3\,+3\,+\,3\,+\,3\,+3\,+\,3\, =\,24[/tex]
Ca marche aussi pour l'addition mais pas pour la soustraction et la division...

Donc, revenons à nos moutons
[tex]\overline{82}^a[/tex] (ou en encore 82a) c'est 2 unités du 1er ordre et 8 unités du 2e ordre.
Ce qui s'écrit en base dix : [tex]a \times 8 + 2[/tex] dont l'écriture simplifiée est  [tex]8a+2[/tex]

[tex]\overline{28}^a[/tex] (ou en encore 28a) c'est 8 unités du 1er ordre et 2 unités du 2e ordre.
Ce qui s'écrit en base dix : [tex]a \times 2 + 8[/tex] dont l'écriture simplifiée est  [tex]2a+8[/tex]
Et  [tex]\overline{28}^a \times 3 = (a \times 2 + 8)\times 3 = (2a+8)\times 3[/tex], ou encore à cause des conventions de simplification d'écritures (qu'on voit en 5e) : [tex]3(2a+8)=6a+24[/tex]

Donc on se retrouve à devoir résoudre l'équation [tex]8a+2 = 6a+24[/tex].
On dit que lorsqu'un terme change de membre, il change de signe.
N-B : les termes sont les composants d'une somme. 8a+2 est une somme de 2 termes 8a et 2, 6a+24 aussi...
Lorsqu'un terme change de membre, il change de signe.
Et pourquoi donc ?
Il faut te représenter une équation sous la forme d'une balance qui doit rester à l'équilibre
\8a + 2/  Π \6a + 24/
Ce que tu fais sur l'un des plateaux, tu dois donc le faire aussi sur l'autre.
Dans le cas de la balance a est une masse marquée de valeur inconnue.
Pour résoudre une équation, il faut commencer par n'avoir que les inconnues d'un côté et toutes les valeurs connues de l'autre ...
Dans le cas de la balance, cela revient à dire :
les 6 masses marquées de valeur a (côté droit) doivent "disparaître"...
Les 2 masses connues du côté gauche doivent "disparaître"...
Donc on va dire qu'on les enlève du côté droit...
Oui mais je vais créer un déséquilibre, pour éviter cela, je les enlève aussi côté gauche :
\8a + 2 -6a/  Π \24/  puis
\8a -6a/  Π \24-2/ et
\2a/  Π \22/

Dans une équation, algébriquement donc, il se passe en réalité ceci
8a + 2 = 6a + 24
8a + 2 -6a = 6a + 24 -6a
Et si j'écris :
8a + 2 -6a =  24
Je vois que je devrais dire :
Tout se passe comme si, on avait le droit de changer un terme de membre (de côté) à condition de changer son signe.
Qu'on prend l'habitude de résumer en : Lorsqu'un terme change de membre, il change de signe qui est un abus de langage - en principe (!) - dont on a conscience en le faisant.
C'est pourquoi, si je le fais en une fois, je passe de :
8a + 2 = 6a + 24
à
8a - 6a = 24 - 2
Soit 2a = 22 qui donne a = 11

Quant à :
23b + 53b = 80b
23b c'est 2 unités du 2e ordre et 3 unités du 1er ordre, soit 2 paquets de b unités + 3 unités ; en base dix :  2b+3
53b c'est 5 unités du 2e ordre et 3 unités du 1er ordre, soit 5 paquets de b unités + 3 unités ; en base dix :  5b+3
80b c'est 8 unités du 2e ordre et 0 unité du 1er ordre, soit85 paquets de b unités + 0 unité ; en base dix :  8b
D'où l'équation à résoudre :
2b+3+5b+3 = 8b que l'on réduit d'abord en
7b+6 = 8b
Je rassemble les inconnues du côté où il y en a le plus :
6 = 8b - 7b
Soit 6 = b...
Et là, tu vas te dire.... bin, y a pourtant une solution !!! c'est 6.
Oui, il y a une solution .... à l'équation.
MAI
cette solution doit être refusée :  il n'y a pas de réponse à la question posée qui était :Peut-on trouver une base b telle que 23b + 53b = 80b ?
La réponse est bien non !
Ça se voit ici
80b serait en fait 806...
Et alors ?
Bin, si en base dix, il y a dix chiffres [tex] \{0,1,2,3,4,5,6,7 8,9\}[/tex]
en base six, il n'y a que six chiffres  [tex] \{0,1,2,3,4,5\}[/tex] pas de 6, et donc a fortiori, pas de 8 : l'écriture [tex]\overline{80}^6[/tex] n'aurait pas de sens, le chiffre 8, n'existant pas en base six !
N-B : en base deux, on n'utilise que les chiffres [tex] \{0,1\}[/tex]

4 + 4 = 8 = 5 + 3 : là, je reste en base dix et je fais deux tas, un tas de 5 et un tas de 3...
Pourquoi un tas de 5 et pas de 6 ?
Parce que je ne perds pas de vue qu'en base cinq, je vais fais faire des paquets de cinq, puis des sacs de cinq paquets, puis des cartons de cinq sacs de cinq paquets.
J'ai donc la représentation suivante :
[tex]\fbox{xxxxx}[/tex] xxx*
Soit 1 paquet de cinq croix et 3 croix toutes seules...
1 paquet de cinq croix, c'est une unité du deuxième ordre qu'on écrit 10 en base cinq...
Donc, j'ai écrit :
[tex]\underbrace{4\, +\, 4\, =\, 5\, +\, 3}_{\text{ base dix }}[/tex] ---> [tex]\underbrace{10\,+\,3\,=\,13}_{\text{ base cinq }}[/tex]
xxxx + xxxx = xxxxx + xxx ---> [tex]\fbox{xxxxx}[/tex]  xxx

Là, il s'agissait d'un calcul en base dix
[tex]8+8+8=(8+2)+6+8=(8+2)+(6+4)+48+8+8=(8+2)+6+8=(8+2)+(6+4)+4 = 2 dizaines et 4 unités.[/tex]


xxxxxxxx  |    xxxxxxxxxx   |    xxxxxxxxxx
xxxxxxxx  |>   xxxxxx       |>   xxxxxxxxxx
xxxxxxxx  |    xxxxxxxx     |    xxxx

Soit, avec mes boîtes de dix
[tex]\fbox{xxxxxxxxxx}\\
\fbox{xxxxxxxxxx}[/tex]
xxxx
8 + 8 + 8 = 8 + (26) + 8 = (8 + 2) + 6 + (4 + 4) =  (8 + 2) + (6 + 4) + 4 = 10  + 10 + 4
Soit deux dizaines et 4 unités --> 24 ...

Questions ?

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#5 23-01-2017 23:22:41

sarah2811
Membre
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Messages : 59

Re : Systèmes de numération CRPE

Merci génial j'ai tout saisi sauf ça :




x |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
1 |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
2 |  2 |  4 | 11 | 13 |
--|----|----|---|-----|
3 |  3 | 12 | 14 | 22 |
--|----|----|----|----|
4 |  4 | 13 | 22 | 31 |


En retard dans mes révisions, d'où l'absence de post sur les nombres réels :-(

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#6 24-01-2017 06:57:47

freddy
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Re : Systèmes de numération CRPE

Salut,

j'ai corrigé une infime coquille.


x |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
1 |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
2 |  2 |  4 | 11 | 13 |
--|----|----|---|-----|
3 |  3 | 11 | 14 | 22 |
--|----|----|----|----|
4 |  4 | 13 | 22 | 31 |

Bon courage.


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#7 24-01-2017 08:57:02

yoshi
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Re : Systèmes de numération CRPE

Salut,


Ah...
C'est un tableau à double entrée.
C'est ce qu'on appelle une table de Pythagore.
Ici, table de multiplication en base 5.
D'ailleurs, je vois une erreur et je corrige :


x |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
1 |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
2 |  2 |  4 | 11 | 13 |
--|----|----|----|----|
3 |  3 | 11 | 14 | 22 |
--|----|----|----|----|
4 |  4 | 13 | 22 | 31 |

Par exemple; je cherche à savoir combien fait [tex]4 \times 3[/tex] en base 5.
Ligne du 4 : je prends la case intersection avec la colonne du 3 et je trouve 22
Donc [tex]\overline{4}^5 \times \overline{3}^5 = \overline{22}^5[/tex]
L'autre table c'est celle d'addition...

   234
x    4
-------

Je commence  :

Je pose 1 et je retiens 3 :


    3
   234
x    4
-------
     1

Et maintenant :
[tex]\overline{4}^5 \times \overline{3}^5 = \overline{22}^5[/tex]
[tex] \overline{22}^5 + \overline{3}^5\text{ (retenue)} =\, ?[/tex]
--------------------------------------------------
Je vais donc voir ma table d'addition.


+ |  1 |  2 |  3 |  4 |
--|----|----|----|----|
1 |  2 |  3 |  4 | 10 |
--|----|----|----|----|
2 |  3 |  4 | 10 | 11 |
--|----|----|----|----|
3 |  4 | 10 | 11 | 12 |
--|----|----|----|----|
4 | 10 | 11 | 12 | 13 |

   

   22
+   3
------
=

Unités du 1er ordre : --> (ligne du 3, colonne du 2)    [tex] \overline{2}^5 + \overline{3}^5= \overline{10}^5[/tex]
Soit 0 et je retiens 1.
Unités du 2e ordre : [tex]\overline{2}^5+ \overline{1}^5\text{ (retenue)} = \overline{3}^5[/tex]
Donc :

   22
+   3
-----
=  30

------------------------------------
Je reviens à ma multiplication :
[tex] \overline{22}^5 + \overline{3}^5\text{ (retenue)} = \overline{30}^5[/tex]
Je pose 0 et je retiens  3 :


   33
   234
x    4
-------
=   01

Et enfin :
[tex]\overline{4}^5 \times \overline{2}^5+ \overline{3}^5\text{ (retenue)} =\, ?[/tex]
Table de x : [tex]\overline{4}^5 \times \overline{2}^5 = \overline{13}^5[/tex]
Table de + : [tex]\overline{13}^5+ \overline{3}^5 =\overline{21}^5[/tex]
Ma multiplication est terminée :

   234
x    4
-------
= 2101

Et pour terminer, je vais te poser la question que j'attendais et à laquelle tu n'as pas pensé...
J'ai écrit :
En base deux, on utilise [tex]deux[/tex] chiffres [tex]\{0,1\}[/tex]
En base cinq, on utilise [tex]cinq[/tex] chiffres [tex]\{0,1,2,3,4\}[/tex]
...............................
En base dix, on utilise [tex]dix[/tex] chiffres [tex]\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex]

Et en base seize (d'utilisation courante en informatique) ???  ;-)

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#8 24-01-2017 13:11:40

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

parfait, merci, j'ai pigé :-)

J'imagine qu'on utilise d'autres signes, comme alpha, beta ........ ?

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#9 24-01-2017 17:20:54

freddy
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Re : Systèmes de numération CRPE

sarah2811 a écrit :

parfait, merci, j'ai pigé :-)

J'imagine qu'on utilise d'autres signes, comme alpha, beta ........ ?

Salut,

presque : on prend A, B, C ... jusqu'à ?


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#10 26-01-2017 13:11:30

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

Jusqu' à 15 ??? :-)

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#11 26-01-2017 13:29:26

freddy
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Re : Systèmes de numération CRPE

Re,

Oui, bien sûr, mais quelle lettre ?

Domaine d'application directe : les adresse IPv6 (va voir sur Wiki, c'est bien expliqué).


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#12 26-01-2017 22:58:19

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonsoir,
Je crois que vous avez surestimé mon niveau de compréhension niveau chiffre découlant d'un langage informatique. Pas très compréhensible pour moi (ou je  ne suis pas bien concentrée vu l'heure) , mais je visualise mieux les bases qui sont souvent utilisées en informatique.

Si A = 10 alors je dirais que nous utilisons toutes les lettres jusqu'à G (=15) ??

Dernière modification par sarah2811 (26-01-2017 22:59:22)

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#13 27-01-2017 06:40:08

yoshi
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Re : Systèmes de numération CRPE

Salut,

Oui, freddy a placé la barre un peu haut...
En base seize, on va de A à F : 10, 11, 12 , 13, 14, 15...
Ainsi FF --> 16*15+15 = 255 en base dix...
Le même 255 écrit en base deux est : 11111111

Je reviendrai sur la base 16, tout à l'heure : tu l'as déjà utilisée dans tes messages, sans t'en rendre compte...

@+


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#14 27-01-2017 07:55:32

yoshi
Modo Ferox
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Re : Systèmes de numération CRPE

Re,

Alors voilà... Post #3 tu as écrit :

Ah oui dernière petite question, j'ai trouvé dans certains exercices l'exposant placé en bas à droite ! On le nommerait indice :-) . Mais qu'est ce que cela signifie, j'ai cherché et cherché je ne sais que faire de cet indice par rapport à ce qui le précède.

Mais tu n'as pas regardé de près la balise color utilisée  :
color=#1CE33B.
Pour simplifier, disons que les couleurs sur ton écran sont établies à partir de 3 couleurs fondamentales, Rouge Vert Bleu :  1C  E3   3B
Ces 3 nombres sont écrits en base seize !!!
Pour que ton écran sache interpréter cette base seize, il faut le lui dire, d'où la présence du # qui le lui signale : attention base seize !
Si tu modifies l'une des 3 valeurs (ou deux, ou trois) en restant entre 00 et FF, tu vas modifier la couleur affichée...

@+


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#15 27-01-2017 21:19:59

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

yoshi a écrit :

Salut,

Oui, freddy a placé la barre un peu haut...
En base seize, on va de A à F : 10, 11, 12 , 13, 14, 15...
Ainsi FF --> 16*15+15 = 255 en base dix...
Le même 255 écrit en base deux est : 11111111

Je reviendrai sur la base 16, tout à l'heure : tu l'as déjà utilisée dans tes messages, sans t'en rendre compte...

@+


Bon je ne sais pas trop quoi penser du fait que je ne comprenne rien...Pourquoi FF, c'est F x F ? Je bloque, j'ai beau analyser, je ne comprends pas ça ce soir.

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#16 29-01-2017 09:08:27

yoshi
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonjour,

Je vois que j'avais oublié de répondre.
En base seize, on dispose de 16 symboles pour représenter les seize premiers nombres entiers :
[tex]\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F\}[/tex]
qui valent respectivement en base dix :
[tex]\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}[/tex]

[tex]\overline{FF}^{16}[/tex] c'est F unités du 1er ordre et F unités du 2e ordre, soit F paquets de 16 et F unités, soit encore :
[tex]16 \times 15 + 15= 240+15 = 255[/tex]
Je n'ai écrit nulle part que FF c'était [tex]F \times F[/tex]
[tex]\overline{EA9B}^{16}[/tex], c'est
* B unités du 1er ordre
* 9 unités du 2e ordre  (9 paquets de 16)
* A unités du 3e ordre (A sacs de 16 paquets de 16, soit 10 sacs de 16 paquets de 16, soit [tex]16 \times  16 \times 10[/tex])
* E unités du 4 ordre (E cartons de 16 sacs de 16 paquets de 16, soit 14 cartons de 16 sacs de 16 paquets de 16, soit [tex]16 \times 16 \times  16 \times 14[/tex])
Donc [tex]\overline{EA9B}^{16}[/tex], c'est en base dix le nombre :
[tex]16^3 \times 14 + 16^2\times 10+ 16\times 9+15 = 4096\times 14 +  256\times 10+ 16 \times 9 + 15=57344+2560+144+15=60063[/tex]

Qu'est ce que ça change au niveau procédure par rapport à la base cinq ? Rien...
On procède à l'identique....

C'est clair, cette fois ?

Pour le plaisir (parce que ça n'a pas grand intérêt), j'ai écrit un petit programme qui peut transformer n'importe quel nopmre écrit en une base comprise ente 2 et soixante-deux, en base dix et inversement.
Pour la base soixante-deux :
* j'utilise les dix chiffres de 0 à 9
* j'utilise les lettres de A à Z (26 lettres)
* j'utilise les lettres de a à z (26 lettres)
On pourrait aller plus loin en utilisant d'autres symboles...

@+


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#17 29-01-2017 11:07:51

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonjour,

Oui c'est clair hormis une petite chose. Pourquoi dans EA9B en base 16, au moment de la décomposition, votre B= 15 alors que pour c'est égal  à 11 si je me réfère aux signes succédant le 9 ....

Sinon,  je manque clairement d'entraînement, et mon incompréhension le prouve puisque, il me semblait que j'avais tout compris.  Donc il faut que je me trouve des exercices pour ne pas oublier la logique de tout ça. En effet je fais une nouvelle leçon et hop j'oublie un peu la méthodologie de la numération.

Merci pour votre patience (je sais qu'il en faut beaucoup avec moi).

Dernière modification par sarah2811 (29-01-2017 11:10:35)

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#18 29-01-2017 11:35:39

yoshi
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Re : Systèmes de numération CRPE

Re,

Désolé, erreur de ma part :
J avais fait avec EA9F puis oublié de corriger quand j'ai choisi plutôt EA9B...
B c'est bien 11...
Avec EA9B c'est 60059 et non plus 60063...

La patience est une vertu cardinale pour un prof, sinon, il faut changer de métier...
Je prévenais :
Posez-moi des questions tant que vous n'avez pas compris ou n'êtes pas satisfaits... Bon, à la 10e fois que vous poserez la même, il est probable que je montrerai "un peu" d'agacement...
Mettez-vous à l'abri, et, le calme revenu, reposez votre question une 11e fois, je vous répondrai !

De la patience avec toi ? Bof ! Pas plus qu'avec les autres...
Au début de ma carrière, j'ai travaillé dans le cadre de la PST (Promotion Sociale du Travail) avec des adultes obligés de changer de métier pour cause de maladie incompatible...
Je sais ce que c'est !
Et j'ai aussi appris à bosser seul en voulant retrouver mon niveau qui s'était un peu évaporé  avec l'emploi exclusif des programmes 6e/3e...
Je sais donc que c'est dur...
Le bouquin, est certes patient, mais il ne répond pas souvent aux questions...

J'apprécie de travailler avec des gens volontaires, même s'ils ont des difficultés.

@+


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#19 29-01-2017 20:57:58

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonsoir,

Génial parce que j'hésitais à vous demander si c'était une erreur de peur de paraître pénible avec mes questions.
Ok je suis  soulagée, merci pour votre patience et votre investissement.
Si seulement j'avais eu un prof comme eu, je n'aurai peut être pas eu d'aversion pour cette matière.
J'espère sincèrement que je deviendrai une bonne professeur des écoles avec une patience comme la vôtre afin de donner le goût d'apprendre, et de garder intact la motivation des élèves.

Merci encore, je retourne à mes cahiers.

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#20 29-01-2017 22:06:29

freddy
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Re : Systèmes de numération CRPE

Salut,

retiens surtout que nul n'est parfait, à commencer par toi, et que les voies de l'apprentissage ne sont pas uniques : ton devoir est de découvrir celles de tes élèves pour les faire progresser sans les traumatiser.

Une anecdote : dans le cadre de mes activités sportives, il y a longtemps, il m'est arrivé à plusieurs reprises de croiser un gars physiquement doué, au chômage, qui avait décidé de devenir professeur des écoles. Un jour, nous avions eu un petit débat sur une propriété mathématique de je ne sais plus quel objet qu'il venait manifestement d'étudier. Je ne sais plus de quoi il en retournait, mais c'était une énormité genre "le cosinus d'un réel peut-être supérieur à 1 ..." Du haut de ses 18 mois de préparation, il soutenait qu'il avait raison, mais ignorait tout du contre-argument que je lui avais opposé pour l'amener à prendre conscience de son erreur (comme par exemple la définition géométrique du cosinus d'un angle).
Je ne sais s'il a réussi son concours.
En revanche, ne deviens jamais comme lui, stp, et reste en toute circonstance humble face à tout ce que tu sais ne pas savoir et tout ce que tu ignores ne pas connaître. Les enfants ont besoin qu'on les stimule, pas qu'on les abrutisse, qu'on les aide à trouver leur chemin, pas qu'on leur impose une voie qui n'est pas la meilleure pour eux.


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#21 30-01-2017 13:25:47

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonjour,

Je vous remercie pour l'anecdote, je tâcherai de m'en souvenir mais il me semble déjà en être consciente, et c'est bien pour cela que je souhaite exercer ce métier.
Aussi si je m'acharne sur les maths, c'est parce que d'une part je dois le faire pour les concours, bien que dans l'académie où je le passe la moyenne est très basse (créteil), et je pourrai m'en sortir sans briller mais je souhaite que mes futurs élèves aient en face d'eux quelqu'un qui connaisse le pourquoi du comment et quelqu'un de compétant, afin de maîtriser mon sujet et pouvoir par la suite,  innover en matière d'apprentissage selon le type d'élève que j'aurai en face de moi.

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#22 22-02-2017 23:28:44

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

Re,

Je fais remonter ce post car vu tout ce que j'ai engrangé comme nouveauté, je me suis dit que ça ne me ferait pas de mal de m'exercer. J'ai besoin d'effacer des doutes.

J'ai refait cet exercice:

yoshi dit a écrit :

Quant à :
[tex]\overline{23}^b + \overline{53}^b =  \overline{80}^b[/tex]
[tex]\overline{23}^b[/tex] c'est 2 unités du 2e ordre et 3 unités du 1er ordre, soit 2 paquets de b unités + 3 unités ; en base dix :  2b+3
[tex]\overline{53}^b[/tex] c'est 5 unités du 2e ordre et 3 unités du 1er ordre, soit 5 paquets de b unités + 3 unités ; en base dix :  5b+3
[tex]\overline{80}^b[/tex] c'est 8 unités du 2e ordre et 0 unité du 1er ordre, soit 8 paquets de b unités + 0 unité ; en base dix :  8b
D'où l'équation à résoudre :
2b+3+5b+3 = 8b que l'on réduit d'abord en
7b+6 = 8b
Je rassemble les inconnues du côté où il y en a le plus :
6 = 8b - 7b
Soit 6 = b...
Et là, tu vas te dire.... bin, y a pourtant une solution !!! c'est 6.
Oui, il y a une solution .... à l'équation.
MAI
cette solution doit être refusée :  il n'y a pas de réponse à la question posée qui était :Peut-on trouver une base b telle que [tex]\overline{23}^b + \overline{53}^b =  \overline{80}^b[/tex] ?
La réponse est bien non !
Ça se voit ici
[tex]\overline{80}^b[/tex] serait en fait [tex]\overline{80}^6[/tex]...
Et alors ?
Bin, si en base dix, il y a dix chiffres [tex]\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}[/tex]
en base six, il n'y a que six chiffres [tex] \{0,1,2,3,4,5\}[/tex] pas de 6, et donc a fortiori, pas de 8 : l'écriture \overline{80}^68 n'aurait pas de sens, le chiffre 8, n'existant pas en base six !
N-B : en base deux, on n'utilise que les chiffres 0 et 1

Je l'ai refait et ça va je m'en sors. Mais en regardant la correction, il y a quelque chose qui me semble bizarre.

L'égalité se traduit par 2b+3+5b+3=8b, avec b plus grand que 8 (puisque le chiffre le plus élevé doit être inférieur à la valeur de la base)
J'ai l'impression que b plus grand 8 est en contradiction avec la phrase d'après, je me trompe ? Pourquoi disent ils cela puisqu'il me semble qu'au contraire il n'y doit pas y avoir une base dont le chiffre est égal ou supérieur à 8.

Vous voyez ?

Merci.....

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#23 23-02-2017 07:51:46

yoshi
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonjour,

Reprenons.
L'égalité donnée est :
[tex]\overline{23}^b+\overline{53}^b=\overline{80}^b[/tex] où b est le nombre représentant la base.
Cette égalité mène à la résolution de l'équation :
[tex]2b+3+5b+3 = 8b[/tex]
qui a une solution b = 6.
Donc l'égalité suivante [tex]\overline{23}^b+\overline{53}^b=\overline{80}^b[/tex] devrait être écrite en base six.
Ce qui donnerait :
[tex]\overline{23}^6+\overline{53}^6=\overline{80}^6[/tex].
En base six, on ne peux utiliser que les chiffres [tex]\{0,1,2,3,4,5\}[/tex] puisque dès qu'on arrive à 6 on fait un paquet de six et on écrit ce nombre 10...
Pour :
[tex]\overline{23}^6[/tex], pas de contradiction,
[tex]\overline{53}^6[/tex], pas de contradiction0.
Mais
[tex]\overline{80}^6[/tex] est impossible : en base six, on n'utilise que les chiffres  0,1,2,3,4 ou 5...
Alors, tu dis il y a bien des bases supérieures à 8 ? Oui, bien sûr...
Mais la résolution de l'équation donne b = 6 et rien d'autre....
Donc la solution b = 6 de l'équation, quand on  revient au problème avec les bases, doit être rejetée : on ne peut pas écrire : [tex]\overline{80}^6[/tex]

@+


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#24 23-02-2017 08:00:26

sarah2811
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Re : Systèmes de numération CRPE

Bonjour,

Ok, merci. C'est juste une attente que b soit plus grand 8 puisque on me demande si l'égalité est vrai. 
Or, en résolvant l'équation, on s’aperçoit que non, donc comme vous me l'avez fait démontrer c'est impossible.

Dernière modification par sarah2811 (23-02-2017 08:03:46)

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