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#1 13-01-2017 18:18:43

tina
Membre
Inscription : 27-03-2014
Messages : 285

Sobolev

Bonsoir,
j'essaye de montrer que l'espace $H^m(\mathbb{R}^n)$ est complet, ce qui revient à montrer que toute suite de Cauchy de $H^m$ converge dans $H^m$.
Soit $(u_j)$ une suite de Cauchy de $H^m$, alors
$$
\forall j,k \in \mathbb{N}, ||u_j-u_k||_{H^m} \to 0 \ \mbox{quad} j,k \to +\infty
$$
ce qui veut dire que
$$
\sum_{|\alpha| \leq m} ||D^\alpha u_j - D^\alpha u_k||^2_{L^2} \to 0 \ \mbox{quand} j,k \to +\infty
$$
donc $(D^\alpha u_j)$ est de Cauchy dans $L^2$, et cmme $L^2$ est complet, ca implique qu'il existe $u_{\alpha} \in L^2$ telle que
$$
\forall |\alpha| \leq m: D^\alpha u_j \to u_{\alpha} \ \mbox{dans } L^2.
$$
Enparticulier, pour $\alpha=0$ on a
$$
u_j \to u_0 \ \mbox{ dans } L^2.
$$
Puisque $L^2$ s'injecte dans $\mathcal{D}'$; alors
$$
u_j \to u_0 \ \mbox{ dans } \mathcal{D}'.
$$
On en conclut que
$$
\forall |\alpha| \leq m: D^\alpha u_j \to D^\alpha u_0 \ \mbox{ dans } \mathcal{D}'.
$$
et on a aussi que
$$
\forall |\alpha| \leq m: D^\alpha u_j \to u_{\alpha} \ \mbox{ dans } \mathcal{D}'.
$$
On en conclut que
$$
D^\alpha u_0= u_{\alpha} \ \mbox{ dans } \mathcal{D}'
$$

Après ça, je ne sais pas comment finir, puisqu'à la fon, il faut trouver que $\forall |\alpha| \leq m: D^\alpha u_{\alpha} \in L^2$. Quel argument donner?

2. Il y a aussi le passage de
$u_j \to u_0 \ \mbox{ dans } \mathcal{D}'$ vers $\forall |\alpha|\leq m: D^\alpha u_j \to u_{\alpha} \ \mbox{ dans } \mathcal{D}'$
Comment expliquer ce passage? Je veux dire pourquoi si la suite converge alors toutes les dérivées d'ordre $\alpha$ convergent aussi?

Je vous remercie pour votre aide.

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