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#1 08-01-2017 21:10:39
- Clemence019
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Complexe et limites
Bonsoir,
Je suis en première année de licence MIASHS, Maths et informatique appliquée aux science humaine et sociale.
Cette exercice est tombé au partiel de l'année dernière, j'ai du mal a le faire.
J'espère que l'on pourra m'aider
Voici l'énoncé :
On pose pour n≥2, z=e^(iπ/n) :
(a) montrer que 1 - z = -2e^(iπ/2n) sin(π/2n)
(b) mettre sous la forme algébrique 2/(1- z)
(c) calculer ∑_(k=0)^(n-1)▒z^k
(d)on pose Sn=∑_(k=0)^(n-1)▒sin(kπ/n), montrer que Sn=1/(tan(π/2n))
(e)Calculer la limite suivante :lim┬(x→0) 2x/π (cos(x))/(sin(x)). En déduire la limite de la suite u(n)= Sn/n quand n tend vers +∞
J'ai résolu la question (a) mais je bloque sur les question suivantes.
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#2 08-01-2017 21:35:59
- Fred
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Re : Complexe et limites
Bonjour,
Je vais te donner un coup de main.
(b) En utilisant la question précédente, et en utilisant les propriétés de l'exponentielle complexe (précisément, $\frac{1}{e^{ia}}=e^{-ia}$,
tu dois pouvoir trouver assez rapidement une forme exponentielle de $2/(1-z)$. Il ne te restera plus ensuite qu'à "développer" l'exponentielle complexe pour retrouver une forme algébrique.
(c) Tu as la somme d'une suite géométrique. Applique la formule que tu as apprises au lycée.
F.
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#3 08-01-2017 21:42:48
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
Merci je vais essayé
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#4 08-01-2017 21:50:32
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
pour la b j'ai le 2 qui par donc il me reste 1/1+ie^(iπ/2n)sin(π/2) donc la je dis que ca fait ie^-(iπ/2n) mais qu'est ce que je fais du sin ?
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#6 08-01-2017 22:17:12
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
non c'est moi qui me suis trompé
je me retrouve a 1/(-ie^(iπ/2n)sin(π/2n) donc la je dis que ca fait -i e^-(iπ/2n) sin (π/2n)
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#8 09-01-2017 11:34:07
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
donc j'ai -i cos(π/2n)-isin(π/2n) sin (π/2n) ensuite je développe ca fait (-i cos(π/2n) - sin(π/2n))*sin(π/2n) et ca donne -icos(π/2n)sin(π/2n) - sin²(π/2n)
et apres je sais pas
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#10 09-01-2017 13:59:59
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
merci beaucoup
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#11 09-01-2017 19:10:51
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
vous pouvez m'aider pour les autres deux questions ?
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#12 09-01-2017 20:34:51
- Fred
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Re : Complexe et limites
Pour la question (d), tu peux te ramener à la question précédente en écrivant que
$$\sin(k\pi/n)=Im(e^{ik\pi/n})=Im(z^k).$$
Pour la dernière question, le parenthésage n'est pas clair, mais j'imagine que tu dois utiliser la limite classique et connue
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1.$$
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#13 09-01-2017 20:56:04
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
Je n'ai pas compris pour la petit d.
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#15 09-01-2017 21:45:16
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
moi je trouve pas que la somme c'est un imaginaire
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#16 09-01-2017 21:46:31
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
je comprend que le sin est la partie imagine de l’exponentielle mais je comprend pas le passage par le z^k
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#18 09-01-2017 22:42:42
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
la je suis perdu parce que j'ai calcule la question trois qui me donne (1- e ^i k^n (π/n)) / 1 - e ^i k (π/n)
Dernière modification par Clemence019 (09-01-2017 22:43:39)
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#20 09-01-2017 22:55:53
- Clemence019
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Re : Complexe et limites
ah oui je les vu en cours ce que tu me dis
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