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#1 08-01-2017 21:10:39

Clemence019
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Complexe et limites

Bonsoir,
Je suis en première année de licence MIASHS, Maths et informatique appliquée aux science humaine et sociale.

Cette exercice est tombé au partiel de l'année dernière, j'ai du mal a le faire.
J'espère que l'on pourra m'aider
Voici l'énoncé :

On pose pour n≥2, z=e^(iπ/n) :
(a) montrer que 1 - z = -2e^(iπ/2n) sin⁡(π/2n)
(b) mettre sous la forme algébrique 2/(1- z)
(c) calculer ∑_(k=0)^(n-1)▒z^k
(d)on pose Sn=∑_(k=0)^(n-1)▒sin⁡(kπ/n), montrer que Sn=1/(tan⁡(π/2n))
(e)Calculer la limite suivante :lim┬(x→0)⁡  2x/π (cos⁡(x))/(sin⁡(x)). En déduire la limite de la suite u(n)= Sn/n quand n tend vers +∞

J'ai résolu la question (a) mais je bloque sur les question suivantes.

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#2 08-01-2017 21:35:59

Fred
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Re : Complexe et limites

Bonjour,

  Je vais te donner un coup de main.

(b) En utilisant la question précédente, et en utilisant les propriétés de l'exponentielle complexe (précisément, $\frac{1}{e^{ia}}=e^{-ia}$,
tu dois pouvoir trouver assez rapidement une forme exponentielle de $2/(1-z)$. Il ne te restera plus ensuite qu'à "développer" l'exponentielle complexe pour retrouver une forme algébrique.

(c) Tu as la somme d'une suite géométrique. Applique la formule que tu as apprises au lycée.

F.

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#3 08-01-2017 21:42:48

Clemence019
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Re : Complexe et limites

Merci je vais essayé

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#4 08-01-2017 21:50:32

Clemence019
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Re : Complexe et limites

pour la b j'ai le 2 qui par donc il me reste 1/1+ie^(iπ/2n)sin(π/2) donc la je dis que ca fait ie^-(iπ/2n) mais qu'est ce que je fais du sin ?

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#5 08-01-2017 22:04:50

Fred
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Re : Complexe et limites

Je ne suis pas ton calcul (d'où vient ce +, il manque des parenthèses...)
Mais dans tous les cas, tu ne fais rien du sinus. C'est un réel comme un autre.

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#6 08-01-2017 22:17:12

Clemence019
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Re : Complexe et limites

non c'est moi qui me suis trompé
je me retrouve a 1/(-ie^(iπ/2n)sin(π/2n) donc la je dis que ca fait -i e^-(iπ/2n) sin (π/2n)

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#7 09-01-2017 07:55:12

Fred
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Re : Complexe et limites

Je n'ai pas vérifié les calculs mais si tu es là tu as fini  : il suffit maintenant simplement de développer l'exponentielle complexe.

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#8 09-01-2017 11:34:07

Clemence019
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Re : Complexe et limites

donc j'ai -i cos(π/2n)-isin(π/2n) sin (π/2n) ensuite je développe ca fait (-i cos(π/2n) - sin(π/2n))*sin(π/2n) et ca donne -icos(π/2n)sin(π/2n) - sin²(π/2n)
et apres je sais pas

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#9 09-01-2017 13:43:51

Fred
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Re : Complexe et limites

Cela, c'est bien de la forme $x+iy$ avec $x=-\sin^2(\pi/2n)$ et $y=-\cos(\pi/2n)\sin(\pi/2n)$. Donc c'est tout pour la question 2.

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#10 09-01-2017 13:59:59

Clemence019
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Re : Complexe et limites

merci beaucoup

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#11 09-01-2017 19:10:51

Clemence019
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Re : Complexe et limites

vous pouvez m'aider pour les autres deux questions ?

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#12 09-01-2017 20:34:51

Fred
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Re : Complexe et limites

Pour la question (d), tu peux te ramener à la question précédente en écrivant que
$$\sin(k\pi/n)=Im(e^{ik\pi/n})=Im(z^k).$$

Pour la dernière question, le parenthésage n'est pas clair, mais j'imagine que tu dois utiliser la limite classique et connue
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1.$$

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#13 09-01-2017 20:56:04

Clemence019
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Re : Complexe et limites

Je n'ai pas compris pour la petit d.

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#14 09-01-2017 21:12:52

Fred
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Re : Complexe et limites

Qu'est-ce que tu n'as pas compris??? Je peux juste encore te dire que la partie imaginaire d'une somme est égale à la somme des parties imaginaires...

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#15 09-01-2017 21:45:16

Clemence019
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Re : Complexe et limites

moi je trouve pas que la somme c'est un imaginaire

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#16 09-01-2017 21:46:31

Clemence019
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Re : Complexe et limites

je comprend que le sin est la partie imagine de l’exponentielle mais je comprend pas le passage par le z^k

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#17 09-01-2017 22:18:22

Fred
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Re : Complexe et limites

Je dis juste qu'il faut encore utiliser que $Im(z)+Im(z^2)+...+Im(z^n)=Im(z+z^2+...+z^n)$.

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#18 09-01-2017 22:42:42

Clemence019
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Re : Complexe et limites

la je suis perdu parce que j'ai calcule la question trois qui me donne (1- e ^i k^n (π/n)) / 1 - e ^i k (π/n)

Dernière modification par Clemence019 (09-01-2017 22:43:39)

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#19 09-01-2017 22:51:54

Fred
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Re : Complexe et limites

Il te reste à calculer la partie imaginaire de ce nombre. Un dernier conseil : pour simplifier l'écriture de $1-e^{ia}$, factorise par $e^{ia/2}$.

F.

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#20 09-01-2017 22:55:53

Clemence019
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Re : Complexe et limites

ah oui je les vu en cours ce que tu me dis

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