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marc.v

Invité

inf d'une fonction

bonjour, pouvez vous me donner une piste:

voici l'énoncé:

Soit x un réel, f la fonction definie sur [2;8] par: $\mathrm{f(t)=(ln(t)-1)x^3+(2-e^t)x+t^3-1}$

prouver que $\mathrm{inf_{t\in[2;8]} \ f(t)}$ existe et l'expliciter en fonction de x.

pour la premiere partie, puisque [2;8] est in segment alors f est bornée alors l'inf existe.

je cherche la solution de la deuxième partie: comment expliciter l'inf en fonction de x?

merci d'avance

Roro

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Re : inf d'une fonction

Bonsoir marc.v,

Pour la première partie, il faut bien préciser que l'intervalle est fermé et que ta fonction est continue (par rapport à t).

Pour la seconde, cela ne me parait pas si simple. Une idée (je ne sais pas si ça marche). Essayer de montrer que ta fonction est monotone (par exemple croissant) de sorte  que la borne inf correspond à [tex]f(2)[/tex].

En gros tu essayes de voir si [tex]f'(t)\geq 0[/tex] lorsque [tex]t\in[2,8][/tex]. Dans un premier temps, montre que [tex]f'(t) \geq \frac{x^3}{8}+12-\mathrm e^8 x[/tex] lorsque [tex]x\geq 0[/tex] (il faut faire aussi le cas [tex]x>0[/tex]). Il faudrait ensuite montrer que cette dernière quantité est positive pour tout [tex]x\geq 0[/tex] (Attention, j'ai peut être fait des erreurs de calcul : il faut vérifier).

Roro.