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#1 08-01-2017 16:42:45

tina
Membre
Inscription : 27-03-2014
Messages : 285

Théorème de recollement

Bonjour,
j'ai le théorème suivant qu'on appelle "théorème de recollent".
Soit $(\Omega_j)_{j \in J}$ des ouverts, on pose $\Omega= \cup_{j \in J} \Omega_j$, et soit $T_j \in \mathcal{D}'(\Omega_j)$ tels que $\Omega_i \cup \Omega_j \neq \emptyset$
$$T_{i_{|\Omega_i \cap \Omega_j}} = T_{j_{|\Omega_i \cap \Omega_j}}$$
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega_i \cap \Omega_j): \langle T_i,\varphi\rangle = \langle T_j,\varphi \rangle
$$
Alors il existe $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ unique t.q $\forall j \in J: T_{|_{\Omega_i}}= T_i.$

Alors je ne comprend rien à ce théorème, je trouve qu'il est mal écrit mais je ne sais pas comment l'aranger, et je ne comprend pas aussi le prinçipe de ce théorème de recollement.
Je vous remercie pour votre aide.

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#2 08-01-2017 20:06:42

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Théorème de recollement

Bonsoir,
Il est peut être mal écris, mais je pense qu'il est également mal retranscrit !

Si tu fais un parallèle avec les fonctions, l'idée est de dire que si tu connais une fonction $f_1 \in C^\infty(\omega_1)$ et une autre fonction $f_2 \in C^\infty(\omega_2)$ et si $\omega_1 \cap \omega \neq \emptyset$, alors tu peux construire une fonction $f \in C^\infty(\omega_1 \cup \omega_2)$ telle que sa restriction à $\omega_1$ coïncide avec $f_1$ et sa restriction à $\omega_2$ coïncide avec $f_2$


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 08-01-2017 20:47:57

tina
Membre
Inscription : 27-03-2014
Messages : 285

Re : Théorème de recollement

Merci beaucoup Yassine. Ta version est beaucoup plus clair. Si on veut un théorème qui fait la généralisation, alors on dit:
si $T_i \in D'(\Omega_i)$ et $T_i \in D'(\Omega_i)$ t.q $\Omega_i \cap \Omega_j = \emptyset$, alors on peut contruire une distribution $T \in D'(\Omega_i \cu \Omega_j)$ t.q la restriction de $T$ à $\Omega_i$: $T_i$ coincide avec la restriction de $T$ à $\Omega_j$: $T_j$.
C'est bien le théorème de recollement? S'il vous plaît. Il est ainsi bie rédigé?

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#4 08-01-2017 22:16:07

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Théorème de recollement

Non, ce n'est pas correct.

Voici la rédaction du Poly dont je t'avais donnée le lien :

Soient $\Omega$ ouvert de $\mathbb{R}^N$ et $(\omega)_{i\in I}$ famille d'ouverts de $\Omega$ telle que $\displaystyle \cup_{i\in I} \omega_i = \Omega$
Soit $(T_i)_{i\in I}$ famille de distributions telle que $T_i \in \mathcal{D}'(\omega_i)$ pour tout $i \in I$.
Supposons que
$T_i|_{\omega_i \cap \omega_j} = T_j|_{\omega_i \cap \omega_j}$ pour tous $i,j\in I$ tels que $\omega_i \cap \omega_j \neq \emptyset$ (1)
Alors il existe une unique distribution $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$ telle que
$T|_{\omega_i} = T_i$ pour tout $i \in I$.

(1) Cette condition est importante est dit que $T_i$ et $T_j$ doivent être identiques sur $\omega_i \cap \omega_j$. On ne peut pas recoller des distribution si chacune donne un résultat différent pour un même ouvert.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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