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#1 08-01-2017 00:36:55
- Mario00
- Invité
Developpement asymptotique 2
Bonjour, svp, pouvez me donner des instructions concernant ce sujet :
L'autrefois, on a dit qu'il faut verifier quelques conditions pour former le DL d'une fonction-integrale en un point.
Je cherche maintenant à faire un developpement asymptotiique d'une telle fonction, par ex à l'infini de la fonction
$f(x)=\int_{1}^{7}{\frac{ln(x+y^2)}{x^5+y}}dy$
Est ce qu'il faut verifier des consitions (contuinité...)? si oui, quelle sont conditions ?
Est ce qu'on a le droit de former un DA de la fonction à integrer, puis d'integrer ce DA ? (càd, est ce que c'est le meme principe que le DL?)
Merci
#2 09-01-2017 16:19:01
- mario00
- Invité
Re : Developpement asymptotique 2
quelqu'un peut m'aider svp
merci
#3 09-01-2017 20:32:08
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Developpement asymptotique 2
Bonjour,
Tu peux toujours te ramener d'un développement asymptotique à un DL et vice versa.
Pose ici $u(x)=f(1/x)$. Un DL en $0^+$ de $u$ te donnera un développement asymptotique en $+\infty$ de $f$, et réciproquement.
F.
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#4 09-01-2017 20:52:41
- mario00
- Invité
Re : Developpement asymptotique 2
si l'intervalle d'integration etait [1;+inf[, est ce qu'il faut verifier que la function est de classe $C^n$ ? et est ce qu'il faut faire cela avant ou apres le changement de var?
#6 09-01-2017 21:40:24
- Mario00
- Invité
Re : Developpement asymptotique 2
Si l'intervalle d'integration n'est pas borne, faut-il verifier que
Que la fonction a integrer est de classe $C^n$?
Puis on forme le developpement limite par rapport a x pui on integrer
#7 09-01-2017 22:22:29
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Developpement asymptotique 2
Que l'intervalle d'intégration soit bornée ou pas ne change rien au problème.
La méthode que t'a montré Yassine nécessite de démontrer que la fonction $f$ (ou après mon changement de variables $u$)
est de classe $C^n$.
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#8 10-01-2017 09:43:13
- mario00
- Invité
Re : Developpement asymptotique 2
Il faut faire un developpement limite en 0 de la fonction :
$u(x)=f(\frac{1}{x})=x^5\int_{1}^{7}{\frac{ln(1+xy^2)-ln(x)}{1+yx^5}}$
puis comment prouver que cette fonction est de classe $C^n$, puisqu'il y a un ln(x) qui n'est pas definie en 0 ?
#9 10-01-2017 09:44:25
- mario00
- Invité
Re : Developpement asymptotique 2
excusez moi il faut mettre un dy pour l'integrale:
$u(x)=f(\frac{1}{x})=x^5\int_{1}^{7}{\frac{ln(1+xy^2)-ln(x)}{1+yx^5}}dy$
#10 10-01-2017 10:37:08
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Developpement asymptotique 2
Tu peux (je ne sais pas si c'est la meilleure idée) calculer $u'(x)$ pour $x\neq 0$, puis faire tendre $x$ vers 0. Tu en déduiras par le théorème de prolongement d'une dérivée que $u$ est dérivable en $0$.
F.
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#11 10-01-2017 20:10:50
- Mario00
- Invité
Re : Developpement asymptotique 2
Je pense que dans ce cas on ne peut pas faire un DL normal, mais meme je pense qu'on peut faire un DL sachant que les termes du developpement sont "convergent"
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