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tina

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théorème des sauts

Bonjour,
si $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ et si de plus $f \in C^1(\mathbb{R})$, alrs $(T_f)'= T_{f'}$. C'est bien ça?

Mais, si $f \in C^1(\mathbb{R} \setminus \{a\}$ (qui veut dire que $f$ n'admet de première dérivée au point $a$, et si on note
$f(a^+)= \lim_{x \to a+} f(x)$ et $f(a^-)= \lim_{x \to a^-} f(x)$, alors on a
$$
(T_f)'= T_{f'}+ (f(a^+)-f(a^-)) \delta_a
$$
J'ai deux questions:
1. Il y a une remarque qui dit que si $f$ est continue en $a$, alors $(T_f)'= T_{f'}$. Mais à mon avis la continuité en a ne suffit pas, il faut aussi que $f$ soit dérivable en $a$. Non?

2. Ma deuxième question est: cette formule des sauts est vraie lorsque $f$ n'est pas de classe $C^1$ en n nombre fini de points. Si le nombre de points où $f$ n'est pas de classe $C^1$ est infini, quel est la formule de $(T_f)'?
Merci pour votre aide.

Dernière modification par tina (05-01-2017 19:57:21)

Yassine

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Re : théorème des sauts

Bonsoir,
Si $f \in C^1(\mathbb{R})$ alors $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, il n'y a pas besoin de citer les deux conditions, la première est suffisante.

1-  Non, on n'a pas besoin de la dérivabilité en $a$. La continuité de $f$ en $a$ permet de garantir que $f' \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$, ce qui donne un sens à $T_{f'}$ et, par application de la formule des sauts, on aura $(T_f)' = T_{f'}$.

2- Si l'ensemble des discontinuités peut s'écrire comme $\cdots < a_{-m} < \cdots < a_0 < \cdots < a_n < \cdots$, alors la formule des sauts reste valable. Sinon, la formule ne s'applique pas. Dans ce cas, la seule formule applicable est $\langle (T_f)', \varphi \rangle = -\langle T_f, \varphi' \rangle$.

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

tina

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Re : théorème des sauts

C'est quoi la relation entre $C^1(\mathbb{R})$ et $L^1_{loc}(\mathbb{R})$? Il y a une injection entre les deux espaces? S'il vous plaît

Yassine

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Re : théorème des sauts

Une fonction continue est intégrable sur tout compact.
Donc $C^1(\mathbb{R}) \subset C^0(\mathbb{R}) \subset L^1_{loc}(\mathbb{R})$

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