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#1 30-12-2016 23:49:23

soso1
Membre
Inscription : 12-11-2016
Messages : 85

suite

Bonjour, Merci d 'avance :)


Bac blanc 1990

Soient a et b deux nombres réels vérifiant [tex]a>b>0[/tex].On définit deux suites [tex]{ u }_{ n }[/tex] et [tex]{ v}_{ n }[/tex] pour [tex]n\ge 0[/tex] de nombres réels par la donée de leurs premiers termes [tex]{ v }_{ 0 }[/tex] et [tex]{ u }_{ 0 }[/tex] tels que [tex]{ v }_{ 0 }>{ u }_{ 0 }>0[/tex] et des relations de réccurence:


[tex]{ u }_{ n+1 }=\frac { a{ u }_{ n }+b{ v }_{ n } }{ a+b }[/tex]  et  [tex]{ v }_{ n+1 }=\frac { b{ u }_{ n }+a{ v }_{ n } }{ a+b }[/tex]


1 Montrer que pour tous [tex]n\ge 0[/tex], [tex]{ v }_{ n }-{ u }_{ n }>0[/tex]
2 Déduire les variations de ces deux suites [tex]{ u }_{ n }[/tex] et [tex]{ v}_{ n }[/tex]
3 Etablir un encadrement suivant les résultats obtenu  précédemment
4 Montrer que [tex]{ u }_{ n }[/tex] et [tex]{ v}_{ n }[/tex] sont convergente et ont la même limite l

Question 1

[tex]{ v }_{ n+1 }-{ u }_{ n+1 }=\frac { b{ u }_{ n }+a{ v }_{ n } }{ a+b } -\frac { a{ u }_{ n }+b{ v }_{ n } }{ a+b } =\frac { \left( b-a \right) { u }_{ n }+\left( a-b \right) { v }_{ n } }{ a+b } =\frac { -\left( a-b \right) { u }_{ n }+\left( a-b \right) { v }_{ n } }{ a+b } =\left( { v }_{ n }-{ u }_{ n } \right) .\frac { a-b }{ a+b }[/tex]


puisque[tex] a>b>0\quad \Rightarrow \frac { a-b }{ a+b } >0[/tex] et  [tex]{ v }_{ 0 }>{ u }_{ 0 }>0\quad \Rightarrow \quad { v }_{ n }>{ u }_{ n }>0[/tex]  on déduit  [tex]{ v }_{ n }-{ u }_{ n }>0[/tex]


Question2

[tex]{ v }_{ n+1 }-{ v }_{ n }=\frac { b{ u }_{ n }+a{ v }_{ n } }{ a+b } -{ v }_{ n }=\frac { { av }_{ n }-{ av }_{ n }-{ bv }_{ n }+b{ u }_{ n } }{ a+b } =\frac { b\left( { u }_{ n }-{ v }_{ n } \right)  }{ a+b } <0\\ \\[/tex]

En effet, [tex]{ u }_{ n }-{ v }_{ n }<0[/tex]  car  [tex]{ v }_{ n }>{ u }_{ n }[/tex]  la suite  [tex]{ v }_{ n }[/tex] est strictement décroissante.





[tex]{ u }_{ n+1 }-{ u }_{ n }=\frac { a{ u }_{ n }+b{ v }_{ n } }{ a+b } -\frac { { au }_{ n }+b{ u }_{ n } }{ a+b } =\frac { b\left( { v }_{ n }-{ u }_{ n } \right)  }{ a+b }>0[/tex]

comme [tex]b>0[/tex], de plus on a  déduit précédemment [tex]{ v }_{ n }-{ u }_{ n }>0[/tex]. La suite [tex]{ u }_{ n }[/tex] est strictement croissante.


Question 3

-On sait que [tex]{ u }_{ n }<[/tex][tex]{ v }_{n }[/tex]   et  [tex]{ v }_{ 0 }>{ u }_{ 0 }   [/tex]  [tex]\forall n \in \mathbb{N},\;\exists M \in \mathbb{R},\; u_n \leqslant M[/tex] , puisque [tex]{ u }_{ n }[/tex] étant strictement croissante le réél [tex]{ v }_{ 0 }[/tex] majore cette suite.Or les rééls sont strictement positifs, [tex]{ u }_{ n }<{ v }_{ 0 }
[/tex]

-De la même manière[tex]{ v }_{ n }[/tex] est minorée par[tex]{ u }_{ 0 }[/tex] à cause de la décroissance , ce réél[tex]{ { v }_{ n } }\ge { u }_{ 0 }[/tex]. Or tous les termes sont strictement positifs alors[tex]{ v }_{ n }>{ u }_{ 0 }
[/tex]


on a:[tex]0<{ u }_{ n } <{ v }_{ 0 }[/tex]  et  [tex] 0<{ u }_{ 0 }<{ v }_{ n }[/tex] ,  on sait aussi ( [tex]{ u }_{ 0 }<{ u }_{ n })[/tex] 


De ces relations on peut établir:    [tex]{ v }_{ 0 }>{ v }_{ n }>{ u }_{ n }>{ u }_{ 0 }>0[/tex]!

Question4

-l' une est croissante majorée, l'autre décroissante minorée pour que que celles ci convergent vers un réél commun il faut et suffit que la difference en terme de limite soit nul, si tel est le cas le cours nous affirme même que ce sont des suites dites adjacente!


je pose:
[tex] { u }_{ n }[/tex]=[tex]{ K }_{ 1 }[/tex] et  [tex]{ v }_{ n }={K}_{ 2 }[/tex]


et suppose le contraire! [tex]\lim _{ n\rightarrow \infty  } \left( { u }_{ n }-{ v }_{ n } \right) \neq \ 0[/tex] alors [tex]{ K }_{ 2 }\neq { K }_{ 1 }[/tex]

[tex]n\ge 0[/tex] et d'après Q1, par un décalage d'indice:  [tex] { v }_{ n }-{ u }_{ n }=\left( { v }_{ n-1 }-{ u }_{ n-1 } \right) .{ \left( \frac { a-b }{ a+b }  \right)  }^{ n }=\left( { v }_{ 0 }-{ u }_{ 0 } \right) .{ \left( \frac { a-b }{ a+b }  \right)  }^{ n }
[/tex]

[tex]\lim _{ n\rightarrow \infty  } \left( { v }_{ n }-{ u }_{ n } \right) =\lim _{ n\rightarrow \infty  } \left( { v }_{ 0 }-{ u }_{ 0 } \right) .{ \left( \frac { a-b }{ a+b }  \right)  }^{ n }=\left( { v }_{ 0 }-{ u }_{ 0 } \right) .\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { a-b }{ a+b }  \right)  } ^{ n }\neq 0[/tex]

Or,[tex]({ v }_{ 0 }-{ u }_{ 0 })\times 0=0[/tex]

c'est contradictoire!

Conclusion :il existe bien  K1 et K2  appartenant a R tel que K1=K2
Les deux suites convergent bien vers le même réél qu on peut d 'ailleurs appelé l ou autre,,,

Dernière modification par soso1 (30-12-2016 23:57:34)

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#2 31-12-2016 10:12:19

freddy
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Messages : 7 457

Re : suite

Salut,

je n'ai pas tout vérifié, mais a priori, c'est pas mal. Tu vois, ça vient !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 01-01-2017 14:47:43

soso1
Membre
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Messages : 85

Re : suite

Bonne année à tous

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