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#1 08-12-2016 18:35:31

rey114
Invité

derivee d'une integrale dont les bornes var

salut svp aidez moi:

Soit f(x,t) une fonction continue sur A x I;
u et v deux fonctions de calsse C1 et à valeurs dans I.
[tex]h(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}{f(x,t)}dt[/tex]

g est la fonction telle que
[tex]\frac{\partial g}{\partial t}(x,t)=f(x,t)[/tex]

calculer h'(x) en utilisant la fonction g.

je connais que

[tex]h(x)=g(x,v)-g(x,u)[/tex]

mais comment continuer ?

Merci

#2 08-12-2016 21:58:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : derivee d'une integrale dont les bornes var

Bonjour,

  C'est un problème de fonctions composées. Pose $\phi(a,b,x)=\int_a^b f(x,t)dt$.
Tu sais calculer $\frac{\partial \phi}{\partial a}$, $\frac{\partial \phi}{\partial b}$ et $\frac{\partial \phi}{\partial x}$.
Ta fonction est $h(x)=\phi(u(x),v(x),x)$. Tu la dérives alors comme une fonction composée.

F.

Hors ligne

#3 08-12-2016 22:18:40

Rey114
Invité

Re : derivee d'une integrale dont les bornes var

On ne peut pas utiliser la fonction g definie ci-dessus?

#4 09-12-2016 09:25:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : derivee d'une integrale dont les bornes var

Non, c'est plus compliqué que d'utiliser simplement la fonction $g$.

Hors ligne

#5 09-12-2016 11:56:38

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : derivee d'une integrale dont les bornes var

Sauf erreur :
$\displaystyle \phi(a,b,x)=\int_a^b f(x,t)dt = \int_a^b \dfrac{\partial g}{\partial t}(x,t)dt = g(x,b)-g(x,a)$

On a alors $\left(g(x,u(x))\right)' = \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,u(x)) + u'(x)\dfrac{\partial g}{\partial t}(x,u(x))$
et $\left(g(x,v(x))\right)' = \dfrac{\partial g}{\partial x}(x,v(x)) + v'(x)\dfrac{\partial g}{\partial t}(x,v(x))$
Si bien que
$h'(x)=\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,v(x))-\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,u(x))+v'(x)\dfrac{\partial g}{\partial t}(x,v(x))-u'(x)\dfrac{\partial g}{\partial t}(x,u(x))$

Bien sûr, les deux calculs se rejoignent.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#6 09-12-2016 15:54:33

rey114
Invité

Re : derivee d'une integrale dont les bornes var

merci

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