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#1 07-12-2016 13:28:51

84maria veronika
Invité

hilbert

bonjour svp aide moi
soit H un espace de Hilbert et Tappartient L(H)
pour x,y appartient H,calculer l'intégrale



$$\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\parallel {Tx+\exp( i\theta)y\parallel^2 \exp( i\theta })d\theta$$

remarque:T,x,y ne dépent pas de theta

#2 07-12-2016 14:03:04

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : hilbert

Bonjour,

  Je pense qu'il faut que tu développes $\|Tx+\exp(i\theta)y\|^2$ (en utilisant l'écriture à partir du produit scalaire)
puis que tu utilises la bilinéarité du produit scalaire.

F.

PS : J'ai modifié ton message initial pour faire apparaitre correctement la formule. Tu dois la mettre entre dollars pour qu'elle soit interprétée correctement.

Hors ligne

#3 07-12-2016 17:30:08

maria veronika
Invité

Re : hilbert

je trouve
$$\frac{1}{2\Pi }\int_{0}^{2\pi}{(\parallel Tx\parallel ^2+(Tx/exp(i\theta )y)+(exp(i\theta )y/Tx)+\parallel y exp(i\Theta) \parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta
[=\frac{1}{2\Pi }\int_{0}^{2\pi}{(\parallel Tx\parallel ^2+2Re(Tx/exp(i\theta )y)+\parallel y exp(i\Theta) \parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta
=\frac{1}{2\Pi }\parallel Tx\parallel ^2(\frac{1}{i}exp(2\Pi i-\frac{1}{i})(\int_{0}^{2\pi}{+2Re(Tx/exp(i\theta )y)+\parallel y exp(i\Theta) \parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta$$
et puis .....

#4 07-12-2016 17:31:43

maria veronika
Invité

Re : hilbert

je trouve
$$\frac{1}{2\Pi }\int_{0}^{2\pi}{(\parallel Tx\parallel ^2+(Tx/exp(i\theta )y)+(exp(i\theta )y/Tx)+\parallel y exp(i\Theta) \parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta$$
$$=\frac{1}{2\Pi }\int_{0}^{2\pi}{(\parallel Tx\parallel ^2+2Re(Tx/exp(i\theta )y)+\parallel y exp(i\Theta) \parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta$$
$$=\frac{1}{2\Pi }\parallel Tx\parallel ^2(\frac{1}{i}exp(2\Pi i-\frac{1}{i})(\int_{0}^{2\pi}{+2Re(Tx/exp(i\theta )y)+\parallel y exp(i\Theta) $$\parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta$$
et puis .....

#5 07-12-2016 17:33:00

maria veronika
Invité

Re : hilbert

je trouve
$$\frac{1}{2\Pi }\int_{0}^{2\pi}{(\parallel Tx\parallel ^2+(Tx/exp(i\theta )y)+(exp(i\theta )y/Tx)+\parallel y exp(i\Theta) \parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta$$
$$=\frac{1}{2\Pi }\int_{0}^{2\pi}{(\parallel Tx\parallel ^2+2Re(Tx/exp(i\theta )y)+\parallel y exp(i\Theta) \parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta$$
$$=\frac{1}{2\Pi }\parallel Tx\parallel ^2(\frac{1}{i}exp(2\Pi) i-\frac{1}{i})(\int_{0}^{2\pi}{+2Re(Tx/exp(i\theta )y)+\parallel y exp(i\Theta) $$\parallel ^2 })exp(i\Theta )d\Theta$$
et puis .....

#6 07-12-2016 17:50:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : hilbert

Là, il faut que tu réfléchisses un peu... Je suis sûr que tu connais la valeur de $\exp(2\pi i)$ par exemple....
Sûr aussi que tu peux simplifier beaucoup $\| \exp(i\theta) y\|$...
Pour la dernière partie (le produit scalaire qui reste), tu peux sortir le $\exp(i\theta)$ du produit scalaire par linéarité...

F.

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