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#1 06-12-2016 11:46:09

Misslola
Invité

Médianes

Bonjour j'aimerai savoir comment je peux calculer la valeur exactes des médianes d'un triangle ?

#2 06-12-2016 12:47:07

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : Médianes

Bonjour,

Soit ABC un triangle quelconque et M le milieu de [BC]
[tex]\overrightarrow{AB}^2=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})^2=\overrightarrow{AM}^2+\overrightarrow{MB}^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}[/tex]

Ou encore:
[tex]AB^2=AM^2+MB^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}[/tex] (1)
D'où :
[tex]AC^2=AM^2+MC^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MC}[/tex] (2)
J'ajoute membre à membre (1) et (2) :
[tex]AB^2+AC^2=2AM^2+MB^2+MC^2+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MC}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]AB^2+AC^2=2AM^2+MB^2+MC^2+2\overrightarrow{AM}.(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})[/tex]
M est milieu de [BC], donc [tex]\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}= \vec 0[/tex]
D'où :
[tex]AB^2+AC^2=2AM^2+MB^2+MC^2[/tex]
Comme M est milieu de [BC] : [tex]MB=MC=\frac{BC}{2}[/tex].
On a donc enfin :
[tex]AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC^2}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2AM^2 =AB^2+AC^2-\frac{BC^2}{2}[/tex]
Et
[tex]AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}[/tex]

@+


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