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#1 18-11-2016 17:45:29

capesman
Modérateur
Inscription : 15-08-2016
Messages : 152

Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

  Cette discussion est ouverte pour parler de la leçon du capes de mathématiques : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Capesman.

Dernière modification par capesman (23-11-2018 09:53:59)

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#2 13-09-2017 21:54:23

capesman
Modérateur
Inscription : 15-08-2016
Messages : 152

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

  Cette leçon a droit à un paragraphe dans le rapport du jury 2017 :
"Cette leçon repose sur un théorème dont il convient, avec un recul de niveau M1, d’étudier la démonstration (en s’appuyant par exemple sur l’axiome de la borne supérieure) et d’en apprécier le caractère existentiel et non-constructif. Au-delà du théorème et de ses applications immédiates, apparaît une interrogation sur les images des intervalles par une fonction continue : que peut-on dire selon le type d’intervalle (ouvert, fermé, borné ou non) et le type d’image (directe ou inverse) ? "

J'avoue ne pas comprendre tout à fait ce que le jury veut dire par "d'en apprécier le caractère existentiel et non-constructif". Il est clair que le jury attend que l'on connaisse une preuve du théorème des valeurs intermédiaires. On peut en donner une preuve à l'aide de l'axiome de la borne supérieure, et là je comprends que c'est "non-constructif". Mais il y a aussi une preuve par dichotomie, à partir de suites adjacentes, et cette preuve est tellement constructive qu'on peut en déduire très facilement un algorithme!

Capesman.

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#3 28-10-2019 22:07:22

maths69129
Invité

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour ,

Voici mon plan :
I) Théorème des valeurs intermédiaires ( différents énoncés ,réciproque=fausse, image d'un ouvert , fermé , bornée ou non par une application continue)
II)L'algorithme de dichotomie
III) Différentes applications du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection , théorème du point fixe ,formule de la moyenne intégrale)
IV)Exercices

qu'en pensez vous ?
Cordialement

#4 29-10-2019 07:33:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Salut

  Ça me parait bien mais que veux tu dire par image d’un ouvert ou d’un fermé?

F

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#5 30-10-2019 10:18:22

maths69129
Invité

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

bonjour,

je me suis mal exprimé je voulais plutôt dire : image d'un intervalle ouvert/ fermé / borné par une fonction continue .
Pour ce qui est de l'algorithme de dichotomie , je songe à le retirer de mon exposé pour une question de timing . Évidement tout en le connaissant bien , afin de pouvoir le "ressortir" lors de l'entretien si cela est nécéssaire .

math69129

#6 30-10-2019 12:48:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

Je pense que c'est une très mauvaise idée de sortir l'algorithme de dichotomie de cette leçon. Au contraire, il est vraiment au coeur de celle-ci. Garde plutôt pour l'entretien les autres algorithmes possibles (balayage, Newton par exemple...). Je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire par "image d'un intervalle ouvert par une fonction continue". A part que c'est un intervalle, je ne vois pas ce qu'on peut dire de plus.

  Par ailleurs, je pense que c'est mieux de mettre des exemples tout au long de la leçon plutôt que de terminer par un paragraphe "Exercices".

F.

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#7 30-10-2019 20:25:14

maths69129
Invité

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour ,

Merci pour vos conseils . Effectivement ne pas parler de l'algorithme de dichotomie serait dommage . Je l'ai donc réintégré .Quand je parle de l'image d'un intervalle ouvert(resp. fermé )par une application continue ,je veux indiquer que celle-ci n'est pas forcément un ouvert(resp. fermé), et que l'image d'un segment par une application continue est un segment . Je pense qu'il peut être utile de mettre ses résultats au vu des commentaires effectués par le jury dans le rapport de la session 2019 (je cite :"Au-delà du théorème et de ses applications immédiates, il peut être intéressant de s’interroger sur la nature de l’image d’un intervalle par une fonction continue : que peut-on dire selon le type d’intervalle (ouvert, fermé, borné ou non) " .

Je pense avoir terminé ma leçon :
I) Théorème des valeurs intermédiaires ( différents énoncés ,réciproque=fausse, image d'un ouvert (resp.fermé) non nécessairement ouvert(resp. fermé), image d'un segment=segment)

II)Quelques applications du théorème des valeurs intermédiaires:

    (a)Un corollaire important du théorème des valeurs intermédiaires :le théorème de la bijection
    (b)dénombrement et encadrement d'une(des) solution(s) d'une équation du type f(x)=k sur un intervalle---> j'indique que le théorème des valeurs     intermédiaires nous assure l'existence (et l'unicité s'il y a stricte monotonie) d'une(des) solutions d'une équation du type f(x)=k , où f est une application continue .Introduction de l'algorithme de dichotomie en expliquant qu'il va nous permettre de localiser ces solution(s) avec une précision voulue , j'explique l'algorithme et je donne un exemple , j'ai également créé une animation geogebra illustrant le principe .

    (b)Théorème du point fixe---> rappel de la définition du point fixe puis énoncé du théorème et exemple .

    (c) Deuxième formule de la moyenne intégrale --> énoncé , explique l'idée de la preuve , puis exemple .


Je vous remercie pour vos conseils .
Cordialement .

#8 11-01-2020 16:48:27

etudiantecapes2020
Membre
Inscription : 11-01-2020
Messages : 1

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
J'ai un plan assez similaire à celui énoncé plus haut dans la discussion.
Je m'attaque désormais aux démonstrations et je bloque un peu.
J'aimerais pouvoir démontrer qu'il y a équivalence entre ces deux énoncés du TVI :

- "Soient I un intervalle, a et b dans I tels que a < b et f une application continue sur l’intervalle I. Soit k, un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe (au moins) un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k. " (démonstration à l'aide de l'algorithme de dichotomie)

-  "Soit I un intervalle de R et , f :I -> R une application continue alors f(I) est un intervalle. "

Pourriez vous me donnez des pistes de départ svp!

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#9 11-01-2020 18:20:25

Maenwe
Membre confirmé
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Messages : 409

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
Si on pose $P_{1} =$ "Soient I un intervalle, a et b dans I tels que a < b et f une application continue sur l’intervalle I. Soit k, un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe (au moins) un réel c dans [a, b] tel que f(c) = k. " et $P_{2} =$ "Soit I un intervalle de R et , f :I -> R une application continue alors f(I) est un intervalle. ". Alors, ce que tu veux montrer c'est : $P_{1} \iff P_{2}$.

Or, $[A \iff B] = (\lnot A \lor B) \land (\lnot B \lor A) $, ($\lnot$ c'est le NON logique, $\lor$ (resp. $\land$) le OU (resp. ET) logique), de plus $P_{1}$ et $P_{2}$ étant vrai dans tous les mondes possibles (ces deux affirmations ($P_{1}$ et $P_{2}$) sont vrais), on a forcément que que $P_{1} \iff P_{2}$ sans avoir rien à démontrer en dehors de la véracité de $P_{1}$ et $P_{2}$. (Pour te donner un exemple un peu plus simple on a bien l'équivalence suivante : $[2=2] \iff [3=3]$).

Voilà, c'était pour le pinaillage plus ou moins important.
A mon avis ce que tu voulais démontrer c'est plutôt l'équivalence des conclusions de chacun de ces énoncés autrement dit, je pense que tu voulais montrer ceci :
Soit $f : I \mapsto \mathbb{R}$.
$f(I)$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, si et seulement si, pour tout $a<b \in I$ et pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe $c \in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

Pour démontrer cela il faut "simplement" utiliser la définition d'un intervalle : $[a;b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b \}$, est-ce que ça t'aide ?

Dernière modification par Maenwe (11-01-2020 18:21:52)

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#10 12-01-2020 14:43:59

Darquy
Invité

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
Merci en effet j'ai mal formuler ce que je voulais dire, c'est bien les conclusions qui sont équivalentes.
Oui c'est bon pour moi merci bcp !

#11 12-01-2020 17:00:54

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 409

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
J'en rajoute une couche : C'est très important de bien formuler ton problème avant de l'attaquer ! Sinon tu risques de ne jamais pouvoir le résoudre, d'ailleurs souvent la reformulation d'un problème permet de trouver de nouvelles solutions parfois plus simples.

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#12 18-01-2020 12:17:03

CAPES
Invité

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour dans cette leçon je fais une remarque sur le Théorème de Darboux:

    • Toute fonction dérivable sur un intervalle I ouvert de R vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.

Ce théorème peut servir à montrer qu'une fonction n'admet pas de primitive, en montrant qu'il existe un intervalle sur lequel cette fonction ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires. Je sais qu'un exemple est donné par la fonction partie entière mais je ne sais pas comment le justifier. Pourriez vous m'aider?

#13 21-01-2020 21:50:19

Maenwe
Membre confirmé
Inscription : 06-09-2019
Messages : 409

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonsoir,
Je pense que tu as juste fais une erreur de formulation !ais je précise quand même :
Le théorème de Darboux dit que la dérivée $f'$ vérifie aussi le théorème de valeurs intermédiaire.
Ce que tu as énoncé est vrai mais ce n'est pas le théorème de Darboux.
Ensuite, ce que tu veux montrer n'est malheureusement pas vrai, en effet il suffit de prendre la fonction partie entière sur $[0;2]$, elle ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires et pourtant elle est tout à fait Riemann intégrable...
Pourquoi donc me dira t'on, et bien c'est parce que la primitive d'une fonction Riemann-intégrable n'est pas partout dérivable en général (il suffit de prendre l'exemple que je viens de donner), en fait elle est presque partout dérivable (c'est à dire qu'elle est dérivable sur un ensemble dont le complémentaire dans cet intervalle est négligeable pour la mesure de Lebesgue, je ne sais pas si tu as vu ce qu'est la mesure de Lebesgue), quoi qu'il en soit la dérivabilité (partout) d'une primitive n'est énoncé dans tes théorèmes que pour une primitive d'une fonction continue.

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#14 22-01-2020 18:45:08

JCB21
Membre
Inscription : 22-01-2020
Messages : 2

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonsoir à tous

Ceux qui cherchent quelques applications du TVI peuvent consulter le Problème 2 de la première épreuve de 2011 dans laquelle ces sujets sont abordés
Cordialement
JC21

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#15 27-10-2020 09:59:55

charlottechollat
Membre
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Messages : 1

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

Je suis en train de travailler sur le plan de cette leçon. Pour la deuxième partie, voici mon plan :

II. Applications
1) Solutions d'une équation du type f(x)=k
2) Théorème du point fixe
3) Image d'un intervalle par une application continue
4) Image d'un segment par une application continue

Je me suis aidée du rapport du jury ainsi que de vos différents conseils pour élaborer cette partie. Mais je me pose une question : ne risque-t-on pas d'être hors sujet en parlant du point fixe et de l'image d'un intervalle/segment ? Ces notions ne sont pas au programme en terminale.
C'est d'ailleurs une question que je me pose pour toutes les leçons : doit-on rester sur un niveau collège/lycée ou peux-ton (doit-on ?) aller au-delà ?

Si vous avez des conseils je suis preneuse :)

Charlotte

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#16 27-10-2020 11:32:34

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

Charlotte a écrit :

doit-on rester sur un niveau collège/lycée ou peux-ton (doit-on ?) aller au-delà ?

Oui, on peut aller au-delà du niveau collège/lycée, et sans doute pour certaines leçons on doit aller au delà.
Ta deuxième partie me semble tout à fait appropriée. Par exemple, même si ce n'est peut-être pas explicitement au programme de Terminale que l'image d'un segment par une application continue est un segment, c'est un résultat très important et le jury ne manquera pas de t'interroger là dessus si ce n'est pas dans ton plan.

FB.

Hors ligne

#17 07-07-2021 13:04:39

Hetu
Invité

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,
Je suis passée sur cette leçon durant la session 2021. Mon développement ne contenait rien d'extravagant, je m'étais inspirée de ce qui a été dit avant ici (merci!).
On m'a évidemment demandé de démontrer le TVI, mais aussi le théorème de la bijection.
Pour aider les futurs candidats, si cette leçon perdure, voici quelques questions du jury dont je me souviens :
- Donner la vitesse de convergence de la méthode de dichotomie (j'en avais parlé lors de mon exposé)
- Application du TVI aux racines de polynômes (lisez la page TVI sur wikipédia, tout y est)
- Ecrire les définitions de plusieurs limites de façon formelle, avec quantificateurs
- Validité du TVI dans une dimension supérieure à 1
Je ne connaissais d'ailleurs pas la réponse à toutes ces questions.

Bon courage aux futurs candidats!

#18 16-09-2021 15:35:24

bridgslam
Membre
Lieu : Rospez
Inscription : 22-11-2011
Messages : 1 297

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

Par-contre l'image d'un intervalle par une fonction continue str. monotone est un intervalle de même nature ( bornes infinies possibles au départ et/ou à l'arrivée), ce qui est un fait important à signaler, je pense.

Alain


"Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux" -Pierre Dac
"Travailler sur un groupe haddock, ou être heureux comme un poisson dans l'eau..."

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#19 22-10-2021 23:36:45

Tadjou
Invité

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Bonjour,

Comment trouver trouver la valeur intermédiaire et son image afin de les placer dans le repère et travers la courbe ?

Merci

Dernière modification par yoshi (24-10-2021 09:23:18)

#20 02-05-2023 08:47:58

GrishaC
Invité

Re : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

Attention : admettre une primitive c'est très contraignant, cela veut dire pour f qu'il existe F tel que F'=f. Donc en effet, comme toute fonction dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, une fonction f qui ne vérifierait pas la propriété des valeurs intermédiaires ne peut pas être la dérivée d'une potentielle primitive. Donc une fonction qui ne vérifie pas le propriété des valeurs intermédiaires n'admet pas de primitive. Ce qui ne l’empêche pas d'être Riemann intégrable.

Maenwe a écrit :

Bonsoir,
Je pense que tu as juste fais une erreur de formulation !ais je précise quand même :
Le théorème de Darboux dit que la dérivée $f'$ vérifie aussi le théorème de valeurs intermédiaire.
Ce que tu as énoncé est vrai mais ce n'est pas le théorème de Darboux.
Ensuite, ce que tu veux montrer n'est malheureusement pas vrai, en effet il suffit de prendre la fonction partie entière sur $[0;2]$, elle ne vérifie pas le théorème des valeurs intermédiaires et pourtant elle est tout à fait Riemann intégrable...
Pourquoi donc me dira t'on, et bien c'est parce que la primitive d'une fonction Riemann-intégrable n'est pas partout dérivable en général (il suffit de prendre l'exemple que je viens de donner), en fait elle est presque partout dérivable (c'est à dire qu'elle est dérivable sur un ensemble dont le complémentaire dans cet intervalle est négligeable pour la mesure de Lebesgue, je ne sais pas si tu as vu ce qu'est la mesure de Lebesgue), quoi qu'il en soit la dérivabilité (partout) d'une primitive n'est énoncé dans tes théorèmes que pour une primitive d'une fonction continue.

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