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#26 27-11-2016 16:31:37

Yassine
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Re : Nombres premiers

Si je prends tous les entiers et je soustraie les multiples de $2$, il me reste tous le nombres impairs, soit un nombre infini !
Si je continue et je soustraie les multiple de 3, il me reste tous les nombres impairs qui ne sont pas un multiple de $3$, soit tous les nombres de la forme $6k+1$ ou $6k+5$, soit encore un nombre infini.

C'est pour cette raison que la notion de densité a été inventée, permettre de rendre compte de la rareté (ou abondance) des éléments d'un ensemble. Elle utilise une notion de limite. Intuitivement, on se donne un nombre $N$ (penser $N$ très grand), on regarde la proportion d'éléments de l'ensemble qui nous intéresse qui sont inférieurs à $N$. Ici, c'est un calcul sans problème : On compte des ensemble finis (on a dit inférieurs à $N$). Pour un ensemble $A$ donné (par exemple les nombres pairs) Cette proportion est donc de la forme (Nombre d'éléments de A inférieurs à N)/N. Puis, on regarde comment cette proportion se comporte quand $N$ devient de plus en plus grand. Si ça se stabilise, on appelle la valeur cible la densité.

Le motif qui apparaît converge justement vers la distribution des nombre premiers et il est loin d'être régulier ou périodique.


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#27 27-11-2016 22:11:46

Toulgoat
Invité

Re : Nombres premiers

Pour être plus précis:
Quand on retire les multiples de 2
On retire un nombresur une période de 2 non ?
Puisque les nombres sont
"1 rien 3 rien 4 rien"
quand on retire en plus les multiples de 3,
on retire en tout 4 nombres sur une période de 6
Puisque les nombres sont
"1 rien rien rien 5 rien
7 rien rien rien 11 rien
13 rien rien rien 17 rien "
Desolé pour le langage mathématique que je n'ai pas

#28 28-11-2016 07:01:55

Yassine
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Re : Nombres premiers

Bonjour,
Non, quand on retire les multiple de $p$, on les retire tous, pas uniquement sur une "période" (mot qu'il conviendrait également de définir dans ce contexte)


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#29 28-11-2016 08:55:59

Toulgoat
Invité

Re : Nombres premiers

Oui, pardon, je sais je m'exprime mal je n'ai pas le niveau en mathématiques pour traduire correctement ce que j'observe.
Est-ce que tu comprends quand même ce que j'explique maladroitement,
et que du coup on pourrait conclure (même si ça a déjà été fait) qu'il existe une infinité de nombres premiers ?

#30 28-11-2016 09:41:11

Yassine
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Re : Nombres premiers

Bonjour,
Ce que je comprends, c'est que tu es intrigué par la structure des nombres premiers et que tu aimerais bien arriver à comprendre cette "symphonie". Tu n'es ni le premier ni le dernier à être fasciné par ça. Mais sache que c'est un problème très difficile.
Pour l'argument sur l'infinitude, je ne suis pas sûr d'avoir vu l'argument principal qui permet de conclure. A un moment, tu dis que tu trouvera toujours un nombre premier, ce qui ressemble à un argument circulaire.


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#31 28-11-2016 10:53:24

Toulgoat
Invité

Re : Nombres premiers

Tout à fait, complètement intrigué et fasciné :-)

Par écrit on ne ressent pas toujours ce que l'autre ressent, et si tu es irrité par quoi que ce soit chez moi fais le moi savoir,
ma façon d'écrire m'a déjà joué des tours ;-)

Je n'ai pas pour ambition trouver la formule qui dira si un nombre est premier ou pas, ni à partir d'un nombre premier lequel est le suivant,
et tu as raison, ça m'intéresse beaucoup (et je te remercie d'ailleurs pour ta patience!)

Es-tu d'accord avec le fait qu'il y ait des "périodes"? Que d'ailleurs peut être on peut redéfinir.
Par exemple les série (en binaire)

10 se répète à l'infini une fois qu'on a retiré les multiples de 2 (la "période" est de 2)
100010 même chose quand on a retiré en plus les multiples de 3 (la "période" est de 2*3=6)
1000101000101000100000101000001 même chose quand on a retiré en plus les multiples de 5 (la "période" est de 2*3*5=30)

Es-tu d'accord avec le fait que la densité représente exactement le nombre de nombres premiers qu'il y a dans ces "périodes"?
Sinon, es tu d'accord avec le fait que dans ces "périodes" on a exactement le nombre de nombres premiers précisés dans les densités et qu'elles y correspondent?

#32 28-11-2016 12:33:03

Yassine
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Re : Nombres premiers

En effet, l'écrit peut jouer des tours. mais rassure toi, je ne suis pas le moins du monde irrité.

Je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu définis comme étant la "période".

Prenons par exemple le entiers naturels non nuls :
$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,\cdots$
Ici, est-ce que la période est de $1$ ?

Ensuite, les nombres impairs :
$1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\cdots$
Ici, est-ce que la période est de $2$ ?

Ensuite, les nombres qui ne sont pas multiple de $3$ (je laisse pour le moment les nombres pairs) :
$1,2,4,5,7,8,10,11,\cdots$
Ici, quelle serait la période ?

Ensuite, les nombres qui ne sont pas multiple ni de $2$ ni de $3$
$1,5,7,11,13,17,19,23,\cdots$
Ici, quelle serait la période ?


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#33 28-11-2016 16:21:49

Toulgoat
Invité

Re : Nombres premiers

super :-)

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,⋯
Ici, est-ce que la période est de 1 ? OUI

Ensuite, les nombres impairs :
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19⋯
Ici, est-ce que la période est de 2? OUI

Ensuite, les nombres qui ne sont pas multiple de 3 (je laisse pour le moment les nombres pairs) :
1,2,4,5,7,8,10,11,⋯
Ici, la période serait de 3 puisqu'en binaire (0 pour "rayé") ça donnerait 110 110 110 110...

Ensuite, les nombres qui ne sont pas multiple ni de 2 ni de 3
1,5,7,11,13,17,19,23,⋯
Ici, la période serait de 6 car: 100010 100010 100010 10001

j'ai envoyé un mail à JP Delahaye qui m'a répondu (à propos de la densité des nombre premiers qui seraient une preuve qu'il y en ait une infinité):
"Il faut mettre en forme mais ça peut marcher. Cependant c'est inutile puisqu'il y a des raisonnement bien plus simple."

puis ensuite à propos de la densité des nombres premiers jumeaux:
"Il y a des informations sur la raréfaction des nombres premiers jumaux en :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_premiers_jumeaux

C'est quelque chose de très classique.
Je pense qu'il est important pour vous de vous informer correctement avant d'entreprendre des recherches sur des sujets qui ont déjà largement été visités."
(et aussi que je le dérangeais)...
j'ai fait un travail qui a déjà été réalisé par Vigo Brun depuis près de 100 ans :-(

#34 28-11-2016 17:46:30

Yassine
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Re : Nombres premiers

Ok, je crois comprendre ce que tu appelles période.

Tu as par exemple une série, avec un motif qui se répète toutes les x fois, et une autre série, avec un motif qui se répète toutes les y fois, tu cherches à trouver la durée minimale pour que ça se répète sur les deux séries.
La réponse est : le plus petit multiplicateur commun ($ppmc(x,y)$). Et effectivement, quand $x$ et $y$ sont premiers (il suffit qu'ils soient premiers entre eux), alors $ppmc(x,y)=xy$.

Cela dit, je ne vois pas comment tu passes de ça à la formule de la densité ?

Et je ne vois pas non plus, une fois que tu établis la formule de la densité, comment tu conclue que les nombres premiers sont infinis.
(Dommage que J.P Delahaye je t'ai pas donné une formalisation).


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#35 28-11-2016 19:19:04

Toulgoat
Invité

Re : Nombres premiers

oui c'est exactement ça :-) !
Si tu veux je peux essayer d'expliquer.
Sinon je vais plutôt m'orienter vers la quantité de nombres jumeaux situés entre le carré d'un nombre premier, par exemple 7 et le carré du nombre premier précédent, du coup 5, parce que ces nombres là sont déjà premiers dés qu'on retire les multiples de 5, puisque le prochain nombre qu'on retire après les multiples de 5 c'est 7²
ci dessous les multiples de 2 puis 3 puis 5 puis 7, en rouge les premiers et leur carrés

░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓
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░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░
░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

(tu peux peut-être copier coller le graphe ailleurs car la police désaxe les caractères)

#36 28-11-2016 19:28:53

Toulgoat
Invité

Re : Nombres premiers

Oups j'ai oublié de préciser que sur la première ligne ce sont les multiples de 2

#37 29-11-2016 08:02:31

yoshi
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Re : Nombres premiers

Bonjour,

la police désaxe les caractères

C'est un problème qui avait beaucoup gêné feu notre expert en crytographie.
Fred, notre admin, avait résolu le problème en faisant que la balise code admette un paramètre spécial appelé crypto qui ait pour objet d'utiliser une police à espacement fixe.
Parce que le problème est là : la police ne désaxe pas les caractères, elle est à espacement proportionnel ; le i occupe beaucouop moins de place que le n, et le n moins de place que le m par exemple.
Utilise donc à l'avenir, la baside code ainsi : code=crypto...
Si je quote simplement un message (bidon) :

ABCDE RGHIV KKLMH
WWWAB XYZTB HUWSD

Par contre avec la balise code (<> de la barre d'outils des messages) où j'ai ajouté à la main =crypto après le mot code :

ABCDE RGHIV KKLMH
WWWAB XYZTB HUWSD

Tu peux constater que beaucoup de "fantaisies" te sont permises en utilisant conjointement la barre d'outils des messages.

Autre chose : je me trompe où tu considères 1 comme un nombre premier ?
Si c'est le cas, c'est une erreur...

@+

Dernière modification par yoshi (29-11-2016 08:47:05)


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#38 29-11-2016 08:10:44

Yassine
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Re : Nombres premiers

Bonjour,
Je veux bien d'abord qu'on finisse l'autre sujet.
Je comprend ce que tu entends par "période" (pour faire savant, c'est l'ordre du groupe cyclique $\mathbb{Z}/p_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p_2\mathbb{Z}\times \cdots \times \mathbb{Z}/p_k\mathbb{Z}$).

Il faut donc d'abord comprendre ce que tu entends par "densité" : comment tu définis la densité et comment arrive-tu à la formule
$\displaystyle (1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_k})$ qui certes var avoir au dénominateur le produit $p_1p_2\cdots p_k$ mais qui a au numérateur le produit $(p_1-1)(p_2-1)\cdots (p_k-1)$ ?


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#39 29-11-2016 08:50:24

ORU
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Re : Nombres premiers

Merci Yoshi j'écrirai comme ça à l'avenir

Yassine, désolé de te faire cette réponse la plus pourrie que t'ai jamais vue mais voilà comment j'y suis parvenu:

moi:

J'aimerais déterminer le pourcentage de nombres qu'il reste après avoir retiré les multiples de    2 et 3    ou bien même     2, 3, 5.

Par exemple si on retire les multiples de 2 il en reste forcément la moitié, mais quand on retire les multiples de 2 et 3,
ou 2, 3 et 5 je suis un peu perdu, je n'arrive pas à trouver une règle...

Vous qui avez travaillé sur les nombres premiers savez-vous quelque chose qui pourrait m'aider?
Fabien Toulgoat

lui:

Ce problème est classique et la réponse est simple.

Si on enlève les multiples de 2 ce qui reste a pour densité 1/2
Si ensuite on enlève les multiples de 3 ce qui reste à pour densité (1-1/2)(1-1/3)
Si ensuite on enlève les multiples de 5 ce qui reste à pour densité (1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)
Si ensuite on enlève les multiples de 7 ce qui reste à pour densité (1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)
Si ensuite on enlève les multiples de 11 ce qui reste à pour densité (1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)
etc.

JP Delahaye

Tu me pardonnes?

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#40 29-11-2016 11:16:49

ORU
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Re : Nombres premiers

Au fait Yoshi, je me sers de 1 comme nombre premier pour comprendre, ensuite j'essaie de faire sans,
ce que je trouve correct comme raisonnement c'est de se poser la question:
"dans quelle verticale il n'y a qu'un caractère noir dans la représentation qui suit":


▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓░▓
▓░░▓░░▓░░▓░░▓░░▓░░▓░░▓░░▓░░▓░░▓
▓░░░░▓░░░░▓░░░░▓░░░░▓░░░░▓░░░░▓

Et comme tu peux le voir, pour comprendre je considère également que zéro est un multiple de tous les nombres
Je considère également que prendre le premier multiple est une vision de l'esprit,
on aurait très bien pu avoir un crible des nombres seconds qui commence par les multiples de 3 et qui du coup donneraient les nombres seconds:
3; 4; 5; 6; 7; 8; 10 ; 11; 13; 14; 17; 19 etc

Dernière modification par ORU (29-11-2016 11:23:29)

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#41 29-11-2016 13:00:04

Yassine
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Re : Nombres premiers

Comme dirais Charlie, tout est pardonné !
Disons que du coup, ça termine le sujet sur la question de la démonstration de l'infinitude des nombres premiers. J'imagine que J.P. Delahaye avait quelque chose en tête que je ne vois pas dans ce que tu présentes.


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#42 29-11-2016 13:11:53

ORU
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Re : Nombres premiers

Re, je ne pouvais pas te laisser comme ça, j'avais quand même trouvé un truc, si tu regardes les lignes, à la:

1ère on raye 15 nombres (les multiples de 2)
2éme on raye 10 (les multiples de 3) - 5 (les multiples de 2)
3ème on raye 6- 3 (encore) - 1 (les multiples de 3)

ce qui donne (3*5)+(5*2)+(2*3)-5-3-1 = 22
30-22= le nombre de nombres qui restent
avec 1 qui n'est pas premier ça doit certainement se factoriser par ce que JP Delahaye a écrit

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#43 29-11-2016 13:25:38

ORU
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Re : Nombres premiers

Oh non je pensais que tu avais compris...

Bon je vais faire simple, la densité positive des nombres à chaque itération, signifie bien qu'il y a des nombres après, et de ces nombres on choisi le premier pour l'itération suivante.

2 période  2; densité 1/2
3 période  6; densité ((3-1)*1)/(2*3)         = 2/6
5 période 30; densité ((5-1)*2)/(2*3*5)     = 8/30
7 période 210; densité ((7-1)*8)/(2*3*5*7)= 48/210

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#44 29-11-2016 13:32:17

ORU
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Re : Nombres premiers

Merci Yoshi, ces nombres sont trop grand pour moi :)
Fais-moi signe si tu trouves quelque chose, j'espère que je comprendrai...
Un caractère noir représente un multiple.
Sur la première ligne on alterne le noir et le blanc parce que ce sont les multiples de 2
Si on commençait par les multiples de 1 la ligne serait complètement noire,
c'est bon?

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#45 29-11-2016 14:23:47

yoshi
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Re : Nombres premiers

Salut,

Désolé, j'ai supprimé mon post avant de voir que tu avais répondu.
Le programme  n'était pas le bon (pas de sauts dedans en principe) je crois avoir remis la main sur des contrôles de ces sauts : je vais réétudier ça.
A propos du sieur madgel dont la découverte n'était qu'un crible d'Eratosthène, ce qu'il n'a jamais voulu admettre, c'est ici : www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6253&p=1

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#46 03-12-2016 14:48:39

yoshi
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Re : Nombres premiers

Salut,

Concernant Eratosthène, j'avais trouvé qu'étant donné un nombre premier n, il n'était pas nécessaire de chercher des multiples entre n et n², qu'après n², le suivant à rayer était n²+2n et qu'après il y avait des sauts à effectués :
pour 5 : de 10 ou 20
pour 7 : 14, 28, 42
pour 11 : 22, 44, 66, 88, 110
...
Je ne l'avais pas mis en place.
Je n'ai pas le temps de m'y repencher maintenant, mais il me semble me souvenir  que c'était cyclique mais pas dans l'ordre que j'ai donné ci-dessus...

@+


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#47 05-12-2016 19:08:28

ORU
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Re : Nombres premiers

Salut, je viens de relire, tu es sûr de
n"carré" + 2n ?
Par exemple à 7 on raye 49 puis 11x7...?
Non ?

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#48 05-12-2016 19:46:59

yoshi
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Re : Nombres premiers

Salut,

Oui, tu sembles avoir raison.
Entre 49 et 77, les seuls nombres non rayés sont 53 59 61 67 71 73
50, 52, 54, 56 ,58, 60,62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76 sont déjà rayés comme multiples de 2
51, 57, 63, 69, 75  sont déjà rayés comme multiples de 3
55, 65 sont déjà rayés comme multiples de 5.

Les sauts relevés (jusqu'à 19) sont :
(5²) 25 --->
---------------------------------------------
[10, 20]
---------------------------------------------

(7²) 49 --->
---------------------------------------------
[42, 28, 14]
---------------------------------------------

(11²) 121 --->
---------------------------------------------
[88, 66, 110, 44, 22]
---------------------------------------------

(13²) 169 --->
---------------------------------------------
[130, 104, 78, 52, 182, 26, 156]
---------------------------------------------

(17²) 289 --->
---------------------------------------------
[34, 68, 102, 136, 170, 204, 238]
---------------------------------------------

Mais 121 = 11², 121+22 = 143 = 11 x 13, il n'a pas encore été rayé comme multiple d'un premier antérieur à 11...

C'est pourquoi, je cherche une loi qui me permette de dire quel saut effectuer...

@+


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#49 06-12-2016 07:07:39

ORU
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Re : Nombres premiers

Si tu trouves la loi c'est incroyable ^^
j'avais déjà essayé en vain et à cause de mon niveau je regardais une série de graphes:
Quand on raye les nombre pairs il reste
1 3 5 7 soit
10 10 10

on raye les multiples de 3
1 5 7 11 13 17 19 soit
100010 100010 100010

les multiples de 5
1 7 11 13 17 19 23 29 soit
100000 100010 100010 100010 000010

Et ma grande question: comment je fais pour passer de:
10 à
10 00 10 à
100000 100010 100010 100010 000010

les 0 sont les 1 qui viennent d'être rayés

ça me rappelle le binaire, sauf qu'on incrémente dans les nombres
les périodes de ces séries sont bien sûr 2; 2*3 puis 2*3*5
c'est sûr que c'est programmable, mais est-ce que ça peut être mis en équation, peut être pas encore aujourd'hui ^^

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#50 06-12-2016 08:46:24

yoshi
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Re : Nombres premiers

Re,

En fait j'ai déblayé le terrain dans l’étude
En ne travaillant que sur les nombres de la forme 6k+5 et 6k+7 pour k de 0 à 1000.
Pour les multiples de 7, à partir de 49, voilà la liste des sauts consécutifs à faire (à partir du moment où les multiples de 2,3,5 sont supprimés :
28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28, 14, 28, 42, 14, 42, 28, 14, 28

Pour 11 (les multiples de 2, 3, 5, 7 sont déjà rayés, donc à partir de 121, on effectue les sauts suivants ;:
22, 44, 22, 44, 66, 22, 66, 44, 22, 44, 66, 66, 22, 66, 44, 22, 66, 44, 66, 88, 44, 22, 44, 22, 44, 88, 66, 44, 66, 22, 44, 66, 22, 66, 66, 44, 22, 44, 66, 22, 66, 44, 22, 44, 22, 110, 22, 110, 22, 44, 22, 44, 66, 22, 66, 44, 22, 44, 66, 66, 22, 66, 44, 22, 66, 44, 66, 88, 44, 22, 44, 22, 44, 88, 66, 44, 66, 22, 44, 66, 22, 66, 66, 44, 22, 44, 66, 22, 66, 44, 22, 44, 22, 110, 22, 110, 22, 44, 22, 44, 66, 22, 66, 44, 22, 44, 66, 66, 22, 66, 44, 22, 66, 44, 66, 88, 44, 22, 44, 22, 44, 88...

Tout ça parce que je me suis dit : comment faire pour que mon programme de crible d'Eratosthène ne "raie" pas 2,3,4,5.. n fois des nombres déjà rayés ?
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Toi, c'est cela que tu fais ?

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Je ne vois pas ce que ça t'apprend (ou t'apprendrai)...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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