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#1 09-11-2016 17:45:34

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 946

Région délimitées par des cordes

Salut,

J'envisage de refaire des colles et je suis tombé sur un exercice que j'avais donné.
Je l'ai trouvé intéressant alors je vous le partage :
(Après une recherche rapide, je ne l'ai pas trouvé sur le forum, mais s'il y est déjà on peut supprimer la discussion)

Soit $n$ un entier strictement plus grand que 1. On choisit $n$ points sur un cercle et on construit les cordes les reliant deux à deux.
On suppose que trois quelconques de ces cordes ne sont pas concourantes à l'intérieur du disque.
On note $R_n$ le nombre de régions qu'elles délimitent dans le disque.
1) a) Calculer $R_2$, $R_3$, $R_4$ et $R_5$. Proposer une conjecture.
b) Calculer $R_6$. Que penser de la conjecture ?
2) a)Calculer $N$, le nombre de cordes.
b) Notons $I$ le nombre de points d'intersection de deux cordes à l'intérieur du disque.
Montrer que $I$ est égal au nombre de quadrilatère que l'on peut former avec les cordes à l'intérieur du disque.
c) En déduire la valeur de $I$.
3) Montrer que $R_n = 1 + N + I$.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#2 10-11-2016 06:53:18

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Région délimitées par des cordes

salut.

conjecture

le nombre de régions = nb de cordes + nb de points intérieurs au cercle + 1 .  c'est à dire:
[tex]R_{n}  =  \frac{n.(n-1)}{2}  + (_4^n) + 1[/tex]
ce qui donne pour n=6  --> Rn = 31
                   pour n = 7  --> Rn = 57
                   pour n = 8  -->  Rn = 99
                   pour n = 10  --> Rn = 256

explication

Tout d'abord on met de côté les  n petits croissants à l'extérieur du polygone irrégulier à n côtés.
Ensuite on compte les points intérieurs au cercle et au polygone. Chaque point est tracé avec l'intersection de 2 quelconques des diagonales du polygone ; ces paires de diagonales définissent  autant de quadrilatères . Et à 2 diagonales quelconques , on peut associer 4 points du cercle . Le nombre de points intérieur est donc :

[tex] P  =  \dbinom{n}{4}  [/tex] 

Le polygone peut être aussi considéré comme polyèdre aplati ayant pour grande base le polygone à n côtés ( la base est la face à décompter pour le calcul de Rn.
Ce polyèdre possèdent  [tex] S  =  n + \dbinom{n}{4} [/tex] sommets .   n sommets sont communs à n-1 arêtes  et [tex]\dbinom{n}{4}[/tex] sommets sont communs à 4 arêtes . Et comme chaque arête  joint 2 sommets , alors le nombre d'arêtes est :

[tex] A  =  \frac{n.(n-1) + 4 \times \dbinom{n}{4}}{2}  [/tex]

La formule d'Euler pour comptabiliser les faces d'un polyèdre sans trou .  F  =  A  -  S  +  2  ; mais comme la base est à soustraire et qu'il faut rajouter les n croissants, alors :

[tex] R_n  = A  -  S  +  n + 1  =  \frac{n.(n-1)}{2} + 2 \times \dbinom{n}{4}  -  n  -  \dbinom{n}{4}  + n + 1  =  \frac{n.(n-1)}{2} + \dbinom{n}{4}  +  1[/tex]

Dernière modification par jpp (10-11-2016 09:18:50)

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