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#1 23-10-2016 14:19:03
- sbl_bak
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Produit infini
Bonjour,
Je souhaiterai exprimer le produit infini suivant par une série en utilisant la dérivée logarithmique.
Soit $\displaystyle p(z) = z\Pi (1-\frac{z^2}{n^2})$
Je souhaiterai donc appliquer $\displaystyle \frac{p'}{p} = \sum_{n\in N} \frac{f'_n}{f_n}$ , (1)
Je n'arrive pas à mettre en oeuvre la relation (1)
Merci d'avance de votre aide.
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#2 23-10-2016 15:18:54
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : Produit infini
Bonjour,
Si tu notes $\mathcal L$ l'opérateur de dérivée logarithmique, tu as $\displaystyle \mathcal L(p) = \mathcal L(z) + \mathcal L\left(\Pi (1-\frac{z^2}{n^2})\right)$
Soit encore $\displaystyle \mathcal L(p) = \mathcal L(z) + \sum \mathcal L\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)$
Quelle est l'expression que tu ne sais pas calculer ?
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#3 23-10-2016 15:58:18
- sbl_bak
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- Messages : 132
Re : Produit infini
Bonjour Yassine,
Je dois arriver au résultat : $ \displaystyle \frac{p'}{p} = \frac{1}{z} + \sum_{n\geq 1} \frac{2z}{z^2-n^2}$
Je ne vois pas comment on arrive au premier terme du membre de droite de l'égalité.
....Ah je viens de comprendre !!! il faut utiliser la dérivée logarithmique de la facon suivante :
$\displaystyle \mathcal L(ab) = \frac{(ab)'}{ab} = \frac{(a)'}{a} + \frac{(b)'}{b}$
et le resultat est immédiat.
Merci encore Yassine.
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