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#1 22-10-2016 12:33:51

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 943

Prisme

Salut,
Un autre problème issu des pépinières :

Les diagonales d'un prisme droit à base hexagonale régulier mesurent 12 et 13. Quel est le volume de ce prisme?


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#2 22-10-2016 14:34:56

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Prisme

salut.



sauf erreur

les 2 diagonales forment un triangle rectangle avec une arête de l'hexagone . cette dernière mesure donc 5
la diagonale de l'hexagone mesure donc 10 . cette diagonale et la grande diagonale de 13 du prisme forment
à leur tour un triangle rectangle qui donne la hauteur du prisme :

[tex] h = \sqrt{69} [/tex]

le volume du prisme vaut donc:
[tex] \frac{75.\sqrt3}{2} \times \sqrt{69} \approx 539.53  [/tex]

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#3 22-10-2016 15:29:25

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 943

Re : Prisme

@jpp

Bonne réponse.


Mais ...
"les 2 diagonales forment un triangle rectangle avec une arête de l'hexagone."

C'est vrai, mais pas évident du tout, surtout pour un élève de 3ième...
Je me suis suis creusé la tête pour le montrer avec les outils du collège, mais sans succès.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#4 25-10-2016 18:55:46

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 943

Re : Prisme

Salut,

Je reviens dessus mais comment montres-tu que ""les 2 diagonales forment un triangle rectangle avec une arête de l'hexagone."?


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#5 25-10-2016 19:44:29

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 381

Re : Prisme

Salut,

Une idée que je creuserai demain : la section (section du cône, du parallélépipède, de la pyramide... sont au programme, s'ils n'ont encore taillé dedans. A vérifier auss demain) idu prisme droit par un plan convenablement choisi doit pouvoir permettre d'obtenir un rectangle, dont on tirera le triangle rectangle...
Je n'y ai pas réfléchi, hein... En 3e, les moyens sont très très très limités...
Je relirai soigneusement l'énoncé, demain matin.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 26-10-2016 09:08:21

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Prisme

salut.

@tibo

:  pour répondre à ta question , en vue de dessus le prisme laisse apparaître uniquement les 2 bases hexagonales ABCDEF et
A'B'C'D'E'F'  confondues . Le triangle à considérer , appelons le  ABD'  ; AB est une arête de l'hexagone supérieur . Cette arête AB
est représentée en vraie grandeur . Le segment BD (petite diagonale de l'hexagone) est le projeté de la petite diagonale AD' du prisme.
ABD est un triangle rectangle  dans l'hexagone ABCDE . AB étant vue en vraie grandeur suffit pour affirmer que le triangle ABD' est
aussi rectangle en B .Cette règle en géométrie  descriptive ne concerne que l'angle droit.
Et comme le côté BD'  mesure 12 u  et l'hypoténuse  AD' mesure 13 u , on peut conclure avec Pythagore que AB = 5 u
Maintenant , la grande diagonale AD de l'hexagone (projeté de AD' sur cette vue de dessus) mesure 10 u
Avec Pythagore on en conclut la valeur DD' de la hauteur du prisme .
[tex]DD' = h = \sqrt{13^2 - 10^2} = \sqrt{69} u[/tex] 

Dernière modification par jpp (26-10-2016 09:09:28)

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