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#1 22-10-2016 12:31:31

tibo
Membre actif
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Messages : 944

Dix sommes

Salut,
Suite aux pépinières académiques de 3ième qui se sont se déroulées jeudi et vendredi, je vous livre les problèmes que j'ai trouvés intéressants.

"Soit l'ensemble $A=\{a,b,c,d,e\}$ d'entiers relatifs tels que $a<b<c<d<e$. Lorsqu'on additionne ces nombres trois par trois, on obtient les sommes suivantes : 0, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 14 et 19. Déterminer les valeurs de $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$."



Un autre problème intéressant, mais je ne vais pas rouvrir un sujet étant donné sa simplicité :
"Nico veut arriver à l'heure à son rendez-vous. S'il roule à une vitesse moyenne de 60km/h, il sera en retard de 5min ; et s'il roule à une vitesse moyenne de 80km/h, il sera en avance de 5min. A quelle vitesse moyenne doit-il rouler pour arriver pile à l'heure?"

Dernière modification par tibo (22-10-2016 12:31:48)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#2 22-10-2016 16:25:15

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Dix sommes

salut .



une idée

Chaque nombre est utilisé 6 fois dans les sommations.  leur somme vaut 90/6 = 15
on constate d'abord que 4 sommes sont des nombres impairs ; il y a donc 3 ou 4 nombres impairs
on constate aussi que 2 nombres au maximum sont négatifs .  19 - 14 = 5 entraine  c - b = 5
les 2 plus petites sommes ont pour différence 3 , alors d - c = 3  et  2c + e = 16
si un nombre est nul , les 4 autres sont impairs puisque l'un des 4 autres est symétrique d'un autre .
par exemple  si   b = 0 , alors  a = -c  sont de même parité que d et e , et sont donc impairs tous les 4
et si  c = -a , alors  2c + e = 16   et 2c + e + 2a = e = 16 + 2a  ---> e est pair (contradiction)
a = -3 , b = -1 , c = 4 , d = 7  et e = 8  ont l'air de fonctionner.

a + b + c = 0
a + b + d = 3
a + b + e = 4
a + c + d = 8
a + c + e = 9
b + c + d = 10
b + c + e = 11
a + d + e = 12
b + d + e = 14
c + d + e = 19

pour la question subsidiaire :

la vitesse idéale pour arriver pile à l'heure

[tex]V = 40 \times{\frac{12}{7}} \approx 68.57 km/h[/tex]

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#3 22-10-2016 16:29:38

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : Dix sommes

@jpp

C'est trop facile pour toi ^^

Par contre tu as abordé le problème avec une approche radicalement différente de la mienne.


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#4 25-10-2016 07:04:52

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 976

Re : Dix sommes

Une proposition

Bonjour,

  1. Les sommes minimale et maximales sont forcément obtenues en sommant $a+b+c$ et $c+d+e$. On a alors $a+b+c=0$ et $c+d+e=19$

  2. Comme il n'y a pas de somme négative, il ne peut pas y avoir trois nombres négatifs. On a donc $a < 0$ et $c > 0$

  3. Dans les 10 sommes données, Chaque nombre contribue $\displaystyle \binom{4}{2}=6$ fois. Donc, si je note $S$ la somme de toutes les sommes à trois, on a $S = 6(a+b+c+d+e)$, soit encore $a+b+c+d+e = 15$.

  4. On a $(a+b+c) + (c+d+e) = c + (a+b+c+d+e)$, et donc $c = (a+b+c) + (c+d+e) - (a+b+c+d+e) = 0 + 19 - 15 = 4$. Donc $c=4$

  5. On a $c+d+e=19$, donc $d+e=15$ avec $e > d > 4$. Soit les couples $(5,10)$, $(6, 9)$, et $(7,8)$

  6. On a $a+b+c=0$, donc $a+b=-4$. Comme $a < 0$ et $a < b < 4$, alors $-1 \le b \le 3$, soit 5 valeurs possibles pour b, donc au total

Je n'ai pas trouvé d'astuce supplémentaire pour avancer. J'ai donc vérifié les 15 cas et trouvé $(-3,-1,4,7,8)$


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#5 25-10-2016 10:14:06

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : Dix sommes

@Yassine

Niquel !
Tu es passé comme moi par la somme des sommes.
Après ça passe tout seul.
Jpp a trouvé un autre chemin.


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#6 25-10-2016 17:23:14

freddy
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Messages : 6 141

Re : Dix sommes

Salut,

vitesse

Il doit parcourir une distance de 40 KM en 35 minutes !


Memento Mori ! ...

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#7 25-10-2016 18:50:15

tibo
Membre actif
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Messages : 944

Re : Dix sommes

Salut,

à propos des vitesses

Il est intéressant de remarquer que si le temps est la moyenne arithmétique $\displaystyle \left(\frac{(t-5)+(t+5)}{2}\right)$, la vitesse recherchée est la moyenne harmonique des deux autres.

Je n'ai pas d'explication mathématique de cette curiosité.


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#8 25-10-2016 20:46:37

freddy
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Lieu : Paris
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Re : Dix sommes

Re,

c'est un grand classique en la matière, d'où d'ailleurs la notion de moyenne harmonique. L'explication tient à la formulation même de cette moyenne.


Memento Mori ! ...

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#9 27-10-2016 05:08:13

freddy
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Messages : 6 141

Re : Dix sommes

Salut tibo,

jette un oeil ici, c'est assez bien fait et tu auras ton explication.
Tu y apprendras qu'à l'origine, ça vient du réglage des cordes d'un instrument de musique (d'où le nom ...).
Bon courage !


Memento Mori ! ...

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#10 09-12-2016 21:58:50

Zorglub
Invité

Re : Dix sommes

Yassine a écrit :
  • $d+e=15$

  • $a+b=-4$.

Je n'ai pas trouvé d'astuce supplémentaire pour avancer. J'ai donc vérifié les 15 cas et trouvé $(-3,-1,4,7,8)$


Il suffit de constater que (a+b+d) + (a+b+e) = 7 et parmi les sommes proposées seules 3 et 4 font 7.
D'où (a+b+d) = 7 et (a+b+e) = 8  et donc d = 3 et e = 4.

De façon similaire (a + d + e) + (b + d + e) = 26 implique que a = -3 et b = -1

#11 10-12-2016 21:38:06

Terces
Membre
Inscription : 16-07-2015
Messages : 464

Re : Dix sommes

solution

Bon j'ai lu vos solutions je reprends l'argument de la somme qui vaut 15 ^^
Ensuite,
Il est évident que la plus petite somme est a+b+c et que la deuxième plus petite est a+b+d.
Il est évident que la plus grande somme est c+d+e et que la deuxième plus grande est b+d+e.
donc on a assez d'équations pour trouver la solution :)

Quand on pose un tableau on aurait aussi pu voir que a+b+e + a+c+d = 4+8
et on peut faire ca pour les 2 autres couples du milieu (car on ne sait pas qui est plus grand que l'autre)
donc ca donne plein de bonnes équations.



Pour la vitesse moyenne on résout (d/60 = t+1/12      et      d/80=t-1/12)     v=d/t ce qui donne la solution.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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