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#1 01-10-2016 19:07:34

anthony
Invité

Petit jeu de transformation et loi de composition sur [0;1[

Bonjour,

Imaginons que nous puissions voir les décimales d'un nombre réel comme une suite de nombres dont l'ensemble des valeurs de la suite est [tex]\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}[/tex] et ou chacune de ces décimales possède un rang (le rang [tex]0[/tex] est attribué à la première décimale, le rang [tex]1[/tex] est attribué à la deuxième décimale etc...)
Il s'en suit qu'à chaque réel [tex]r \in [0;1[[/tex], je peux ainsi associer une suite de nombres rangés du rang [tex]0[/tex], au rang [tex]n[/tex].
Par exemple, la constante Oméga :  [tex]\Omega=    0,56714 32904 ...[/tex] est ainsi associée à la suite de nombres [tex]u_n= (5,6,7,1,4,3,2,9,0,4,...)[/tex]
Imaginons à présent qu'à chacun des termes [tex]u_i[/tex] de cette suite on fasse correspondre le terme [tex]u_{u_i}[/tex]. Nous créons alors une seconde suite [tex]v_n[/tex] engendrée par [tex]u_n[/tex] et telle que chacun des termes [tex]v_i=u_{u_i}[/tex].
Il est alors possible de déterminer chacun des termes [tex]v_i[/tex] de la suite [tex]v_n[/tex] :
[tex]u_0=5[/tex] et on fait correspondre au nombre [tex]5[/tex] le terme [tex]v_0=u_{u_0}=u_5=3[/tex]
[tex]u_1=6[/tex] et on fait correspondre au nombre [tex]6[/tex] le terme [tex]v_1=u_{u_1}=u_6=2[/tex]
[tex]u_2=7[/tex] et on fait correspondre au nombre [tex]7[/tex] le terme [tex]v_2=u_{u_2}=u_7=9[/tex]
[tex]u_3=1[/tex] et on fait correspondre au nombre [tex]1[/tex] le terme [tex]v_3=u_{u_3}=u_1=6[/tex]
...
La suite engendrée par [tex]u_n= (5,6,7,1,4,3,2,9,0,4,...)[/tex] est donc [tex]v_n= (3;2;9;6,...)[/tex]
Il est alors possible d'associer à la suite [tex]v_n[/tex] un réel [tex]r_v=0,3296 ...[/tex]

Pour corser l'affaire, je fixe deux règles supplémentaires :

1/ Tout terme [tex]u_i[/tex] de la suite [tex]u_n[/tex] ne peut servir qu'une seule et unique fois pour engendrer un terme [tex]v_i[/tex] de la suite [tex]v_n[/tex]. Lorsque le terme [tex]u_i[/tex] à été utilisé, le terme [tex]v_i=u_{u_iu_{i+1}}[/tex]
exemple : [tex]r=\frac{1}{9}=0.[1][/tex] est associé à  la suite [tex]u_n=(1;1;1;1;1;1;1;1; ...)[/tex]
Il est possible de déterminer chacun des termes [tex]v_i[/tex] de la suite [tex]v_n[/tex] ainsi :
[tex]u_0=1[/tex] appelle le terme de rang [tex]1[/tex] à savoir [tex]u_1=1[/tex] donc [tex]v_0=1[/tex]
[tex]u_1=1[/tex] appelle le terme de rang [tex]1[/tex] mais ce terme à déjà été utilisé donc l'appel se fait sur le terme de rang [tex]11[/tex] (concaténation de [tex]u_1=1[/tex] et de [tex]u_2=1[/tex]) à savoir [tex]u_{11}=1[/tex] donc [tex]v_1=1[/tex] mais [tex]v_1[/tex] à été engendré par le terme [tex]u_{u_1u_2}=u_{11}[/tex]
[tex]u_3=1[/tex] appelle le terme de rang [tex]1[/tex] mais ce terme à déjà été utilisé donc l'appel se fait sur le terme de rang [tex]11[/tex] mais ce terme à déjà été utilisé également donc l'appel se fait sur le terme de rang [tex]111[/tex] (concaténation de [tex]u_3=1[/tex] et [tex]u_4=1[/tex] et [tex]u_5=1[/tex]) à savoir [tex]u_{111}=1[/tex] donc [tex]v_2=1[/tex] mais [tex]v_2[/tex] à été engendré par le terme [tex]u_{u_3u_4u_5}=u_{111}[/tex]

2/ Tout nombre décimal [tex]d\in[0;1[[/tex] servant de base pour créer la suite [tex]u_n[/tex] ne sera jamais écrit sous la forme d'un développement décimal impropre
exemple : [tex]\frac{3}{5}=0.6=0.6[0][/tex] mais ne s'écrira jamais sous la forme impropre : [tex]\frac{3}{5}=0.5[9][/tex]

Dans la pratique, la détermination des termes de la suite [tex]v_n[/tex] se fait directement à partir de la lecture des décimales du réel [tex]r[/tex] auquel on associe la suite [tex]u_n[/tex].

Exemples :
1) [tex]r=\gamma=0,577 215 664 901 532 860 6 ...[/tex]
En lisant de gauche à droite les décimales du réel, il vient :
[tex]5[/tex] appelle la 6eme décimale à savoir [tex]5[/tex]
[tex]7[/tex] appelle la 8eme décimale à savoir [tex]6[/tex]
[tex]72[/tex] appelle la 73eme décimale à savoir [tex]x[/tex]
[tex]1[/tex] appelle la 2eme décimale à savoir [tex]7[/tex]
[tex]56[/tex] appelle la 57eme décimale à savoir [tex]y[/tex]
[tex]6[/tex] appelle la 7eme décimale à savoir [tex]6[/tex]
[tex]4[/tex] appelle la 5eme décimale à savoir [tex]1[/tex]
[tex]9[/tex] appelle la 10eme décimale à savoir [tex]9[/tex]
[tex]0[/tex] appelle la 1ere décimale à savoir [tex]5[/tex]
[tex]15[/tex] appelle la 16eme décimale à savoir [tex]8[/tex]
...
La suite [tex]v_n=(5;6;x;7;y;6;1;9;5;8; ... )[/tex] à laquelle j'associe le réel [tex]r_v=0,56x7y61958 ...[/tex]

2) [tex]r=\frac{\sqrt{2}}{10}=0,1414213562373095 ...[/tex]
En lisant de gauche à droite les décimales du réel, il vient :
[tex]1[/tex] appelle la 2e décimale à savoir [tex]4[/tex]
[tex]4[/tex] appelle la 5e décimale à savoir [tex]2[/tex]
[tex]14[/tex] appelle la 15e décimale à savoir [tex]9[/tex]
[tex]2[/tex] appelle la 3e décimale à savoir [tex]1[/tex]
[tex]13[/tex] appelle la 14e décimale à savoir [tex]0[/tex]
[tex]5[/tex] appelle la 6e décimale à savoir [tex]1[/tex]
[tex]6[/tex] appelle la 7e décimale à savoir [tex]3[/tex]
...
La suite [tex]v_n=(4;2;9;1;0;1;3; ... )[/tex] à laquelle j'associe le réel [tex]r_v=0,4291013 ...[/tex]

Il est donc possible (avec les règles données ci-dessus) de transformer un nombre réel [tex]r\in[0;1[[/tex] en un nombre réel [tex]r_v\in[0;1[[/tex]. Cette transformation (opération) sera notée # et définie sur l'intervalle [tex]I=[0;1[[/tex]

Mais s'il est possible d'appeler les décimales d'un réel [tex]r[/tex] dans l'ordre de ses propres décimales, il est également possible d'appeler les décimales d'un réel [tex]r[/tex] dans l'ordre des décimales d'un autre réel [tex]s[/tex].
Dans tous les exemples précédents le réel [tex]r=s[/tex] de sorte que l'opérande appelant était la même que l'opérande appelé : [tex]r[/tex]#[tex]r=v_r[/tex]
Prenons l'exemple de deux opérandes [tex]r[/tex] et [tex]s[/tex] inégaux et appelons # l'opération consistant à transformer les décimales de [tex]r[/tex] dans l'ordre de [tex]s[/tex]. Une telle opération sera notée [tex]r[/tex]#[tex]s[/tex] avec [tex]r[/tex] l'opérande appelant et [tex]s[/tex] l'opérande appelé.
Par convention, tout opérande positionné à gauche de l'opération # est l'opérande appelant et tout opérande positionné à droite de l'opération # est l'opérande appelé :
[tex]r=0,024681012141618...[/tex] (opérande appelant dont les décimales forment la suite des nombres pairs)
[tex]s=\frac{10}{99}=0.10101010101...=0.[10][/tex] (opérande appelé)
[tex]r[/tex]#[tex]s=0.111110111...[/tex]

Si le résultat d'une telle opération donne nécessairement un nombre appartenant à l'intervalle unité [tex]I=[0;1[[/tex] alors l'opération # constitue une loi de composition interne dans la mesure ou elle associe à deux éléments de [tex]I[/tex] un élément de ce même ensemble [tex]I[/tex].
Le couple (I,#) serait alors par définition un magma dont les propriétés restent à explorer ;)

En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises, n'hésitez pas à me corriger ou à me solliciter sur certains points que j'ai mal rédigé.

#2 02-10-2016 08:32:51

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : Petit jeu de transformation et loi de composition sur [0;1[

Bonjour,
J'avoue ne pas saisir exactement l'intérêt de cette constrution.
En dehors de la construction elle même, est-ce que tu as observé des propriétés intéressantes ? des invariants ? des symétries ?
Pourquoi cette loi composition est-elle plus intéressante à explorer que l'infinité d'autres fonction de $(0,1)\times(0,1)\to(0,1)$ ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

En ligne

#3 02-10-2016 18:32:31

anthony
Invité

Re : Petit jeu de transformation et loi de composition sur [0;1[

Bonsoir,
Cette loi est issue d'un simple jeu de transformation, elle n'a pas la prétention d'être plus ou moins intéressante qu'une autre ;)
On reste ici dans le domaine récréatif.
L'idée était de voir ce que l'on pouvait tirer d'une telle loi de composition.
Vous pouvez par exemple voir quelques propriétés concernant une telle loi ici : http://www.maths-forum.com/cafe-mathema … l#p1169659

#4 06-10-2016 19:17:43

anthony
Invité

Re : Petit jeu de transformation et loi de composition sur [0;1[

Concernant la loi de composition notée "#", une curiosité consiste à prendre un réel [tex]x \in [0;1[[/tex] et à calculer de manière itérative :
[tex]x_0=x[/tex]#[tex]x[/tex]
puis [tex]x_1=x_0[/tex]#[tex]x_0[/tex]
puis [tex]x_2=x_1[/tex]#[tex]x_1[/tex]
puis [tex]x_3=x_2[/tex]#[tex]x_2[/tex]
etc ...
Formellement, on s'intéresse donc à la suite [tex]x_n[/tex] définie par [tex]\left\lbrace\begin{matrix} x_0=x \sharp x \\ x_{n+1}=x_n \sharp x_n \end{matrix}\right.[/tex]
Une telle suite "converge" vers un élément absorbant [tex]a_i[/tex] (défini plus haut) ou vers une forme tronquée de la constante de Champernowne (divisée par dix) ou "diverge" vers une structure répétitive du type [tex]x_{n+2}=x_n[/tex] en alternance avec [tex]x_{n+3}=x_{n+1}[/tex] à partir d'un certain [tex]n \in N[/tex].
Cette curiosité fait écho à tous les résultats connus sur les suites ou séries convergentes ou divergentes.

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