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#1 01-10-2016 18:30:45
- Fan3
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- Messages : 16
exacte et fermé
Bonjour,
On me dit de prouver que le vecteur
[tex]\overrightarrow { { F }_{ (x,y) } } \quad =\quad \left( \frac { -y }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 } } } ,\frac { x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 } } } \right) \quad ,\quad \left( x,y \right) \neq \left( 0,0 \right) [/tex]
est fermé mais pas exacte .
En remarquent :
[tex]\frac { \partial }{ \partial x } \left( \frac { -y }{ { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 } } \right) \quad =\quad \frac { \partial }{ \partial y } \left( \frac { x }{ { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 } } \right)[/tex]
Pourquoi bien que [tex]\vec { F }[/tex] soit un champ vectoriel issu du scalaire [tex]{ f }_{ \left( x,y \right) }\quad =\quad \arctan\left( \frac { y }{ x } \right) \quad +\quad k[/tex]
il n'est pas exact ?
Dernière modification par yoshi (01-10-2016 20:25:10)
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#2 02-10-2016 01:34:47
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 047
Re : exacte et fermé
Bonsoir,
Quand je calcule les dérivées partielles de $f$, je ne trouve pas du tout les coordonnées de $\vec F$ (d'où viendrait la racine carré par exemple????).
Pour démontrer que $\vec F$ n'est pas exacte, je te conseille de calculer son intégrale le long du cercle unité!
F.
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#3 02-10-2016 10:23:33
- Fan3
- Membre
- Inscription : 30-09-2016
- Messages : 16
Re : exacte et fermé
@Fred
merci de cet éclaircissement
oups effectivement c'est une erreur d'écriture ,car c'est bien
[tex]\vec { F } =\quad \left( \frac { -y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } ,\frac { x }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) [/tex]
-------------------------------------------
Si [tex]\vec{ r } [/tex] = (cost,sint) est le cercle unité
[tex]\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \vec { F } \vec { dr } } \quad =\quad 2\pi \quad \neq \quad 0\quad[/tex]
------------------
Donc la définition d'exact , c'est que [tex]\vec { F } [/tex] soit issu d'un scalaire (donc fermé) et sa circulation nulle le long d'un cercle unité?
--------------
ça peut être autre qu'un cercle aussi ?
Dernière modification par Fan3 (02-10-2016 10:26:00)
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#4 02-10-2016 21:29:05
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 047
Re : exacte et fermé
Donc la définition d'exact , c'est que [tex]\vec { F } [/tex] soit issu d'un scalaire (donc fermé) et sa circulation nulle le long d'un cercle unité?
--------------
ça peut être autre qu'un cercle aussi ?
Non, non, la définition d'être exact, c'est d'être issu d'un scalaire.
Mais ici, il y a un problème d'ensemble de définition... Ton champ est défini sur $\mathbb R\backslash \{(0,0\}$ - on ne retire qu'un point -, alors que la fonction $\arctan(y/x)$ est défini sur $(\mathbb R\backslash{0})\times\mathbb R$ - on retire toute la droite...
En fait, quand on dit "être exact" il faudrait préciser "être exact sur tel ensemble"....
Ton champ F est exact sur $(\mathbb R^{+*})^2$ par exemple, car il dérive bien de la fonction $\arctan(y/x)$ sur cet ensemble.
Il n'est pas exact sur $\mathbb R\backslash\{(0,0)\}$ car sa circulation est non nulle (si un champ est exact dans un ouvert U, sa circulation le long de tout lacet tracé dans U est nul). En particulier, tu ne peux pas dire qu'il dérive de $\arctan(y/x)$ sur $\mathbb R\backslash\{(0,0)\}$ car cette dernière fonction n'est pas définie sur cet ensemble.
F.
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#5 03-10-2016 13:31:16
- Fan3
- Membre
- Inscription : 30-09-2016
- Messages : 16
Re : exacte et fermé
@fred
Alors par exemple pour
[tex]\vec { F } \quad =\vec { \nabla} f\ = \left( \frac { x }{ { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 } } ,\frac { y }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } } \right) [/tex] où [tex]f\ =\frac { 1 }{ 2 } ln\left( { x }^{ 2 }{ +y }^{ 2 } \right) +k[/tex]
Comme [tex]\vec { F } [/tex] et [tex] f [/tex] ont même domaine de définition.
[tex]\vec { F } [/tex] est exact sur [tex]{ R }^{ 2 }-\left\{ \vec { 0 } \right\} [/tex]
:)
Dernière modification par Fan3 (03-10-2016 13:53:51)
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