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#1 01-10-2016 15:04:03

kritikos
Membre
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nombres reels

Salut tout le monde

Svp j’ai eu de petit problèmes au niveau de la démonstration des inégalités et des propriétés de certaines fonctions dans R.

En effet voici les questions
    1- Montrer que pour tout x réel et n entier , E((E(nx))/n) = E(x)
    2- Soient a et b deux entiers réels tel que :∀x ϵ R, x>b → x≥a.  Montrer que a≤b
    3- Soit f :R→R une fonction croissante tel que ∀x,yϵR,f(x+y)=f(x)+ f(y)
        La fonction f vérifie les propriétés suivantes :
    ∀nϵ N f(n)= nf(1),∀n∈Z,f(n)=nf(1),   ∀r ∈Q,f(r)= rf(1)

Démontrer que ∀x∈R f(x)=xf(1). on pouras utiliser la densite de Q dans R

Ne vous moquez pas trop de moi je ne connait pas le latex. J l’ai saisi avec Word

Merci d’avance de votre part.

Bonne soirée a tous

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#2 01-10-2016 15:14:25

Yassine
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Re : nombres reels

Salut à toi,
Deux questions :
- Qu'as tu tenté, qu'est-ce qui te bloque ?
- Qu'est ce que $E(x)$ ? espérance ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 01-10-2016 19:56:55

kritikos
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Messages : 41

Re : nombres reels

Salut a toi  yassine

« E » designe la fonction partie entiere
Ce que j’ai fait :
Pour la question 2,
j’ai essaye de passer par contraposeen voulant montrer que :       (a>b)→(x<a et x>b)
je voulait en effet utiliser l’équivalence :  p→q ≡non(q)→non(p) en prenant p comme (x>b→x≥a) et q comme a≤b.
Mais ce n’etai pas logique car j’ai fait une mauvaise transformation de la question en quantificateurs mathematiques.
Pour la question 1,
J’ai essaye de montrer que E(E(nx)/n )≥E(x)et E(E(nx)/n )≤E(x)  pour  conclure .
Voici a quoi ca ressemble
   ∀n∈Z et ∀x∈R,
nx-1<E(nx)≤nx
                                                                    →x-1/n<E(nx)/n≤x
→E(x-1/n)<E(E(nx)/n )≤E(x)
Donc   E(E(nx)/n )≤E(x)
Pour la question 3, je n’ai aucune idee de comment utiliser la densite de Q dans R.
Merci d’avance de m’aider

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#4 01-10-2016 22:21:27

Yassine
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Re : nombres reels

Pour la question 1, je pense que tu peux y arriver. Il faut juste faire attention au fait que si $x<y$, alors $E(x)\le E(y)$ (l'inégalité stricte n'est pas préservée par le passage à la partie entière).

Pour la question 2, si tu note $P(a,b)$ la propriété qui dit $\forall x \in \mathbb{R}, (x > b \implies x \ge a)$, tu dois montrer que $P(a,b) \implies b \ge a$. Donc ton approche de procéder par l'absurde est correcte. Si je comprends bien tu galères pour bien exprimer la négation de $P(a,b)$.
Je te l'indique : $\neg P(a,b) \equiv \exists x \mathbb{R}, \neg (x > b \implies x \ge a)$, soit encore  $\neg P(a,b) \equiv \exists x \mathbb{R}, x > b \textrm{ et } x < a$ (la négation d'une implication c'est que la prémisse soit vraie et la conclusion fausse).

Pour la dernière question, vue que la fonction est juste croissante (et pas continue), c'est un peu plus délicat.
Tu pars d'un réel quelconque $x \in \mathbb{R}$, il faut alors construire deux suites de rationnels, disons $(u_n)$ et $(v_n)$ vérifiant $u_n < x < v_n$ et telles que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} v_n = x$.
En appliquant $f$ à l'inégalité ci-dessus, on obtient $f(u_n) \le f(x) \le f(v_n)$, soit encore, vu que $u_n$ et $v_n$ sont rationnels $u_n f(1) \le f(x) \le v_n f(1)$, ce qui permet de conclure par passage à la limite.
Le plus délicat est donc de construire $u_n$ et $v_n$.
Pour $n$ donné, les intervalles $]x-\frac{1}{n},x[$ et $]x,x+\frac{1}{n}[$ sont des parties de $\mathbb{R}$ non vides. Comme $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$, ils contiennent tous les deux des rationnels. J'en prend un quelconque dans le premier que j'appelle $u_n$ et un autre dans le deuxième intervalle qu'on note $v_n$. Par contruction, $(u_n)$ et $(v_n)$ respectent les propriétés requises.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#5 02-10-2016 08:21:27

yoshi
Modo Ferox
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Re : nombres reels

Bonjour,

Pour la question 1., il m'est venu une idée...
Si x est nul ou entier, la question ne se pose même pas.
Moyennant quoi :
soit e=E(x) et d =x-e
Je distingue x>0 et x<0
Partie 1 : x > 0
J'ai alors 0 < d <1  et donc  0< nd <n d'où 0<E(nd)<n (j'ai essayé de trouver un contre-exemple où dans mon cas  l'inégalité stricte serait fausse).
E(nx)=ne+E(nd)
[tex]\frac{E(nx)}{n}=e+\frac{E(nd)}{n}[/tex]
Et [tex] 0<\frac{E(nd)}{n}<1[/tex]
D'où
[tex]E\left(e+\frac{E(nd)}{n}\right) = e = E(x)[/tex]
Partie 2 : x <0
..................

Qu'est-ce qui pêcherait là-dedans ?

@+


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#6 02-10-2016 08:58:50

Yassine
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Re : nombres reels

Bonjour Yoshi,

Pour le contre-exemple, prend d=0,1 et n=2. Tu as alors 0 < 0,2 < 2 et 0 = E(0,2) < 2.
Par contre, l'inégalité stricte est préservée à droite : si x < n, alors E(x) < n.
Mais ça ne pose pas de problèmes pour ta démonstration, tu as juste besoin que l'inégalité soit stricte à droite.


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#7 02-10-2016 14:47:14

kritikos
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Re : nombres reels

salut a tous
et merci a vous deux
mais j n'arrive pas toujour a trouver l'absurdite  pour la question 2

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#8 02-10-2016 15:01:55

yoshi
Modo Ferox
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Re : nombres reels

Bonjou,

quelque chose me chiffonne et m'échappe là-dedans :
Soient a et b deux entiers réels tel que :∀x ϵ R, x>b → x≥a.  Montrer que a≤b
Je résume :
b < x et a ≤ b, de cela, je conclus a ≤ b < x : l'inégalité stricte s'impose sur l'inégalité au sens large, donc a < x.
Je ne vois pas comment on pourrait avoir  a ≤ x...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#9 02-10-2016 17:41:46

Yassine
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Re : nombres reels

Bonsoir,

Tu supposes donc que $a > b$ et tu veux montrer $\neg P(a,b)$ (j'ai repris ma notation).
On doit donc trouver un $x \in \mathbb{R}$ tel que $x > b$ et $x < a$.
Comme $a > b$, l'intervalle ouvert $]b,a[$ est non vide. Donc, je peux choisir un élément quelconque $x$ de cet intervalle, il vérifiera alors $b < x < a$, soit $x > b$ et $x < a$, ce qui était la propriété attendu. Donc $\exists x \in \mathbb{R}$ tel que $x > b$ et $x < a$, soit encore $\neg P(a,b)$.
On a donc $\neg (a \le b) \implies \neg P(a,b)$, et donc $P(a,b) \implies (a \le b)$.


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#10 05-10-2016 08:17:49

kritikos
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Re : nombres reels

salut tout le monde et merci beaucoup pour vos demonstrations

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