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Juliensu

Invité

Prouver une inégalité par developpement de Taylor, exercice

Bonjour,

Je vous met l'énoncé :

Soit f une fonction deux fois dérivable sur R telle que f, f' et f'' soit bornéees.
On note Mi = sup |f^(i) (x)| pour i = 0, 1, 2.

1. Pour x ∈ R et h > 0, écrire les développements de Taylor avec reste d’ordre 2 de f en x : f(x+h)
et f(x − h).

f(x+h) = f(x) + hf'(x) + (f''(x)h^2)/2 + x^2*e(x)
f(x-h) = f(x) - hf'(x) + (f''(x)h^2)/2 + x^2*e(x)

2. En déduire f'(x) en fonction de h, f(x + h), f(x − h) et des valeurs de f'' en deux points.

f'(x) = ( f(x+h)-f(x-h) )/2h

Je suis bloqué à partir de là. Je ne vois que ceci : Si f'(x0) = M1, alors f''(x0) =0 ????

3. Montrer alors que pour h > 0, |f'(x)| ≤ (M0/h) + (M2*h)/2 := φ(h).

Aucune idée

4. En étudiant φ, montrer que M1 ≤ √2M0M2.

Aucune idée

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : Prouver une inégalité par developpement de Taylor, exercice

Bonjour,

  Pour la première question, je pense que tu n'as pas utiliser la bonne formule de Taylor. Vu ce que l'on te demande de faire ensuite, je pense qu'il faut plutôt utiliser la formule de Taylor-Lagrange, donc écrire :

$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}2f''(c)$ où $c\in [x,x+h]$
et
$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}2f''(d)$ où $d\in [x-h,x]$.

En faisant la différence de ces deux égalités, tu trouveras alors facilement la réponse à la question 2.

Pour la question 4. elle est indépendante de tout ce qui est fait avant.
On te dit que
$|f'(x)|\leq \varphi(h)$.
$h$ est indépendant de $x$. Tu peux le choisir comme tu veux. Et le meilleur $h$ (c'est-à-dire celui qui donne la meilleure inégalité) est celui qui minimise la fonction $\varphi$. Il te reste donc à étudier $\varphi$ et en particulier à trouver son minimum.

F.

Juliensu

Invité

Re : Prouver une inégalité par developpement de Taylor, exercice

Merci beaucoup;

Merci beaucoup, tu m'as beaucoup aidé, je vais mettre un résumé de ma réponse plus tard pour les prochains...