Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Luigy

Invité

Valeur absolue et inégalité

Bonjour à tous,

En m'entraînant au DS, je tombe sur une impasse et j'aurai besoin d'un peu d'aide ^^ :

"Soient $n  \in \mathbb{N}$ et des réels $x$₁, $x$₂,...,$x$_n vérifiant $0$ $\leq$ $x$₁ $\leq$  $x$₂ $\leq$  $...$ $\leq$ $x$_n $\leq$  $1$ .

Montrer qu'il existe $i$ et $j$ distincts dans { $1,2,...,n$ } tels que | $x$_i - $x$_j | $\leq$ $\frac{1}{n-1}$

Merci bien en avance !

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Valeur absolue et inégalité

Bonjour Luigy,
Il y a une astuce qui te permettra certainement de progresser : essaie de développer $\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} - x_i)$

---

L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Luigy

Invité

Re : Valeur absolue et inégalité

Merci, mais je ne comprends pas trop à quoi cela mène ? Ni comment le faire ?
La meilleure méthode n'est pas de faire ça par l'absurde ?

Luigy

Invité

Re : Valeur absolue et inégalité

J'ai oublié également de préciser, $n \ge 2$ 
^^

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Valeur absolue et inégalité

Bonjour,
Le raisonnement par l'absurde est en effet l'approche la plus simple dans cet exercice (bien qu'un chemin direct soit également possible).
Comme il n'y a pas de complexité dans l'expression que je te demande de calculer je te donne le résultat : $\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) = x_n - x_1$ que tu peux également écrire $x_n = x_1 + \sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) $.

Maintenant, il faut que tu exploites les données du problème, si tu est dans le cadre de l'hypothèse du raisonnement par l'absurde, que peux-tu dire de la somme $\sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} - x_i)$ ? A quelle contradiction cela mène ?

---

L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Luigy

Invité

Re : Valeur absolue et inégalité

La somme n'est pas supérieur à 1 ?

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Valeur absolue et inégalité

Lance-toi, il faut écrire, quitte à dire des bêtises. Tu y es !

---

L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

LeCitadin

Invité

Re : Valeur absolue et inégalité

Merci pour toutes ces aides mais malgré cela je n'arrive pas a trouver la solution...
D'autres idées ??
Merci D'avance

LeCitadin

Invité

Re : Valeur absolue et inégalité

Oh pardon j'ai oublié de précisez j'ai oublié de préciser, je suis tomber sur ce site par hasard car j'ai cette exercice a faire pour mardi prochain et je suis complètement bloqué...
Toute aide sera remerciez :)

Luigy

Invité

Re : Valeur absolue et inégalité

L'objectif est de retrouver l'encadrement de l'énoncé ?

En prenant $i=n$ et $j=1$ , on obtient $x_n - x_1$ qu'il faudrait encadrer ? Pour obtenir l'inéquation attendue ?

On a   $0 < \frac{1}{n-1} \leq 1$    car $n \geq 2$

D'autre part, en encadrant $|x_n - x_1|$ , on peux prouver qu $i$ et $j$ existent ?

J'ai vraiment du mal alors que c'est tout simple pourtant !! :c

[EDIT]by yoshi
Ne mélange pas code HTML (barre d'outils de messages) et Latex, c'est pas bien compatible...
Un indice en Latex c'est tout simple :  x_n
J'ai corrigé ton message, va voir.

Dernière modification par yoshi (16-09-2016 21:10:07)

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Valeur absolue et inégalité

Ok, reprenons depuis le début.
Hypothèse de démonstration par l'absurde : $\forall i \neq j, |x_j - x_i| > \frac{1}{n-1}$.
On peut donc l'appliquer au cas $j=i+1$, comme $x_{i+1} \ge x_i$, alors $|x_{i+1} - x_i| = x_{i+1} - x_i$.
On a donc $\forall i, x_{i+1} - x_i > \frac{1}{n-1}$.
Alors $\displaystyle x_n = x_1 + \sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1}-x_i) > \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{n-1} = (n-1)\frac{1}{n-1} = 1$.
Comme $x_1 \ge 0$, ceci implique $x_n > 1$ ce qui est contradictoire avec l'hypothèse $0 \le x_1 \le \cdots \le x_n \le 1$.

---

L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Valeur absolue et inégalité

Soient $n  \in \mathbb{N}$ et des réels $x$₁, $x$₂,...,$x$_n vérifiant $0$ $\leq$ $x$₁ $\leq$  $x$₂ $\leq$  $...$ $\leq$ $x$_n $\leq$  $1$ .

Montrer qu'il existe $i$ et $j$ distincts dans { $1,2,...,n$ } tels que | $x$_i - $x$_j | $\leq$ $\frac{1}{n-1}$

Salut,

si je traduis la question en langage courant, ça veut dire ceci : considérons [tex]n[/tex] points  (au moins 2) posés sur le segment [0, 1]. Montrez qu'on peut toujours en trouver deux tels que la distance entre eux est inférieure ou égale à [tex]\frac{1}{n-1}[/tex].
Un petit schéma papier donne l'intuition de la démonstration directe.
Supposons n = 2, c'est immédiat, par construction.
Posons n = 3. Donc la distance est inférieure à 1/2. Ça saute au yeux, si je puis dire. Et surtout, on voit tout de suite, comme le fait yassine dans sa preuve par l'absurde, que nécessairement, les deux points sont contigus, soit [tex] j=i+1[/tex].

Reste à construire la démonstration rigoureuse en se servant de cette idée.

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Yassine

Membre

Inscription : 09-04-2013

Messages : 1 090

Re : Valeur absolue et inégalité

Voici la démonstration directe, à peine plus compliquée que celle par l'absurde.

Il faut d'abord observer que si on cherche à minimiser la distance entre deux points, il vaut mieux regarder les points contigus.

Maintenant, je note $m = \min\{x_{i+1}-x_i \ | \ 0\le i \le n-1 \}$ (la distance minimale entre deux points contigus).
Alors, en reprenant la même identité que dans la première démonstration, on a
$1 \ge x_n - x_1 = \sum_{i=1}^{n-1} (x_{i+1} - x_i) \ge \sum_{i=1}^{n-1} m = (n-1)m$,
On a donc $m \le \frac{1}{n-1}$.
Comme $m$ est un minimum d'un ensemble fini, il est égal à un des éléments de l'ensemble, donc $\exists i, x_{i+1}-x_i=m \le \frac{1}{n-1}$

---

L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Luigy

Invité

Re : Valeur absolue et inégalité

Merci bien pour vos réponses ! J'ai compris maintenant ^^