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#26 09-09-2016 12:37:29

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

@leon
Pour le cas uniforme, tu ne m'as pas précisé comment définir une distribution uniforme sur un ensemble infini dénombrable. Admettons que j'ai une variable aléatoire $X$ et je veux qu'elle soit uniformément distribuée sur les nombres pairs, quel serait l'expression de $P(X=k)$ ?

Ok pour $\mathbb{N}^k$ qui marche parce que tu continues à utiliser la spécificité de $\mathbb{N}$ (identité entre l'élément '$n$' et sa position ordinale dans $\mathbb{N}$ : $n$-ème élément), quid de $\mathbb{Q}$ ou d'un ensemble infini dénombrable sans relation d'ordre canonique (ce que j'ai appelé ensemble de patates) ?


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#27 09-09-2016 13:36:05

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine a écrit :

Pour le cas uniforme, tu ne m'as pas précisé comment définir une distribution uniforme sur un ensemble infini dénombrable. Admettons que j'ai une variable aléatoire $X$ et je veux qu'elle soit uniformément distribuée sur les nombres pairs, quel serait l'expression de $P(X=k)$ ?

je n'ai pas été clair dans mes propos : je suis absolument d'accord avec toi, il n'existe pas de loi uniforme sur l'ensemble des entiers. C'est bien pour cela que, dans le cas de tirage aléatoire sur l'ensemble des entiers, il faut absolument préciser la loi de probabilité. Aucune loi ne peut être sous-entendue, comme on le fait très souvent quand il s'agit de la loi uniforme.

Yassine a écrit :

Ok pour $\mathbb{N}^k$ qui marche parce que tu continues à utiliser la spécificité de $\mathbb{N}$ (identité entre l'élément '$n$' et sa position ordinale dans $\mathbb{N}$ : $n$-ème élément), quid de $\mathbb{Q}$ ou d'un ensemble infini dénombrable sans relation d'ordre canonique (ce que j'ai appelé ensemble de patates) ?

ben, il suffit d'utiliser une bijection entre $\mathbb{N}$ vers l'ensemble dénombrable.

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#28 09-09-2016 13:51:57

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Leon a écrit :

ben, il suffit d'utiliser une bijection entre N vers l'ensemble dénombrable.

J'ai bien précisé qu'il n'y a pas d'ordre canonique, donc impossible de fixer une bijection "canonique".

Supposons que j'aie un ensemble infini de patates avec différentes sortes (voir ici, je ne savais d'ailleurs pas qu'il y avait autant de sortes de pommes de terre) et que je sois en train de fixer des probabilités sur les parties de cet ensemble, il serait quand même curieux que mes probabilités dépendent de la manière dont j'ai numéroté les pomme de terre !


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#29 09-09-2016 14:16:35

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine a écrit :
Leon a écrit :

ben, il suffit d'utiliser une bijection entre N vers l'ensemble dénombrable.

J'ai bien précisé qu'il n'y a pas d'ordre canonique, donc impossible de fixer une bijection "canonique".

Si tu sais "vraiment" que l'ensemble infini E est dénombrable, tu dois pouvoir l'énumérer.

Yassine a écrit :

il serait quand même curieux que mes probabilités dépendent de la manière dont j'ai numéroté les pomme de terre !

Pourquoi la numérotation aurait un impact sur les probas ? La fonction de masse est simplement une fonction P de l'ensemble E vers [0,1] telle que la somme $\sum_{e \in E} P(e) = 1$, ou bien, si on a numéroté les éléments de E, $\sum_{i \in N} P(e_i) = 1$

Dernière modification par leon1789 (09-09-2016 14:22:56)

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#30 09-09-2016 14:52:29

Dlzlogic
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Bonjour,
Puisqu'on parle de pommes de terre, quel pourrait être le problème posé ?
Par exemple, on a un lot de pommes de terre. L'étiquette indique "Belle de Fontenay N°15" (pour les intimes BF15). Or cette pomme de terre a un faible taux de rendement, et on soupçonne le négocient d'y ajouter une autre espèce, de forme équivalente. La question posée est quelle est la probabilité que le négocient ait rajouté des pommes de terre autre que des BF15 ? La question posée n'est pas un problème de proportion, il n'est bien sûr pas possible de compter les pommes de terre, donc leur nombre est à considérer comme "infini dénombrable".
Dans le cas présent, il s'agirait plutôt de poids (les pommes de terre se vendent au poids et non à la pièce), et là, on se situe plutôt dans le domaine du continu.   

Tout ceci pour dire que si on veut parler de notions complètement abstraites, comme les "probabilités" d'après K., il ne faut surtout pas prendre des exemples dans le monde réel.
Bonne journée.

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#31 09-09-2016 15:59:05

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Leon a écrit :

Si tu sais "vraiment" que l'ensemble infini E est dénombrable, tu dois pouvoir l'énumérer.

C'est la définition même d'un ensemble dénombrable (en bijection avec une partie de $\mathbb{N}$) !

A ce stade, les seules définitions candidates pour $P(\{k\})$ utilisent le fait que $k$ est un entier et qu'on peut calculer des grandeurs comme $\frac{1}{2^k}$ ou $\frac{1}{k^2}$. Maintenant, si je prends un ensemble $E$ quelconque dénombrable, je veux calculer $P(\{e\})$ où $e \in E$ n'est pas un entier mais un élément quelconque. Tu dis, $E$ est dénombrable, donc $\exists \sigma : E \to \mathbb{N}$ bijective, il suffit alors de choisir par exemple $P(\{e\}) = \frac{1}{\sigma(e)^2}$.
Ce que je dis, c'est que le choix de cette bijection (parmi une infinité) est arbitraire. Le fait qu'une patate d'une variété donnée ait telle probabilité de peser tel poids n'a rien à voir avec l'infinité de manières de numéroter $E$ (c'est intrinsèque à $E$), or, les probabilités $P(\{e\})$ et partant les probabilités de $P(X)$ pour $X \subset E$ dépendent massivement du choix de $\sigma$.


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#32 09-09-2016 16:04:37

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Dlzlogic a écrit :

il n'est bien sûr pas possible de compter les pommes de terre, donc leur nombre est à considérer comme "infini dénombrable".

Un exemple parmi d'autre pour illustrer pourquoi, bien que ça me coûte, je ne te réponds pas.
D'abord sur la rigueur du vocabulaire : un nombre ne peux pas être infini ou infini dénombrable. Un nombre est un nombre.
Sur le fond cette fois, pourquoi est-ce qu'un ensemble dont on ne peut pas calculer le cardinal (par manque d'information) peut être considéré comme "infini dénombrable" ?


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#33 09-09-2016 16:18:40

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine,
prenons cet exemple : E = {pile , face} . Est-ce qu'on a besoin de numéroter les éléments de E pour leur affecter une probabilité ? Non, tu poses par exemple P({face}) = 2/3 et P({pile}) = 1/3  (...la pièce n'est pas équilibrée :) )

Je dis E est dénombrable donc il existe $\tau \ : \ N \to E$ et la fonction de masse $P \ :\ E \to [0,1]$ vérifie $\sum_{i \in N} P(\{\tau(i)\}) = 1$
Ceci ne dépend pas de la bijection $\tau$ puisqu'on somme des éléments positifs.

Yassine a écrit :

Ce que je dis, c'est que le choix de cette bijection (parmi une infinité) est arbitraire. Le fait qu'une patate d'une variété donnée ait telle probabilité de peser tel poids n'a rien à voir avec l'infinité de manières de numéroter $E$ (c'est intrinsèque à $E$), or, les probabilités $P(\{e\})$ et partant les probabilités de $P(X)$ pour $X \subset E$ dépendent massivement du choix de $\sigma$.

oui, les bijections $\sigma$ et $\tau$ sont arbitraires, mais la probabilité P({e}) n'en dépend pas : c'est la formule donnant P({e}) qui dépend de $\sigma$. Avec mon exemple E = {pile, face} :
-- si $\sigma(pile) = 1$ et $\sigma(face) = 2$ alors $P({e}) =  \sigma(e)/3$ , disons formule n°1
-- si $\sigma(pile) = 2$ et $\sigma(face) = 1$ alors $P({e}) =  (3-\sigma(e))/3$ , disons formule n°2
La formule dépend de $\sigma$ mais le résultat $P({e})$ n'en dépend pas : on a toujours P({face}) = 2/3 et P({pile}) = 1/3

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#34 09-09-2016 16:25:28

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Dlzlogic a écrit :

Tout ceci pour dire que si on veut parler de notions complètement abstraites, comme les "probabilités" d'après K., il ne faut surtout pas prendre des exemples dans le monde réel.

Les "probabilités" d'après K. sont tout à fait concrètes. Ne confonds pas "les choses abstraites" et "les choses que tu ne comprends pas".
Par ailleurs, l'abstraction n'est pas à mettre en opposition avec le réel, sinon les maths auraient été abandonnées depuis longtemps... C'est justement l'abstraction qui permet de prendre de la hauteur et d'avancer là où un âne ne voit qu'une carotte en bout de museau.

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#35 09-09-2016 18:11:07

freddy
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Re : Etranges Relations diophantiennes

leon1789 a écrit :
Dlzlogic a écrit :

Tout ceci pour dire que si on veut parler de notions complètement abstraites, comme les "probabilités" d'après K., il ne faut surtout pas prendre des exemples dans le monde réel.

Les "probabilités" d'après K. sont tout à fait concrètes. Ne confonds pas "les choses abstraites" et "les choses que tu ne comprends pas".
Par ailleurs, l'abstraction n'est pas à mettre en opposition avec le réel, sinon les maths auraient été abandonnées depuis longtemps... C'est justement l'abstraction qui permet de prendre de la hauteur et d'avancer là où un âne ne voit qu'une carotte en bout de museau.

+ 1 :-)
merci de me faire rire aux éclats !


Memento Mori ! ...

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#36 09-09-2016 19:18:13

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

@leon,
ça commence à faire pas mal de limitations :
Pas de possibilité d'équiprobabilité (du moins pour un nombre infinis d'éléments)
Pas de manière canonique de calculer une probabilité, il faut fixer artificiellement une bijection pour calculer concrètement la probabilité
Pas de cohérence avec une notion de "negligeabilité" des ensembles finis comparés aux ensembles infinis.

Est-ce que tu as des pointeurs vers des livres ou articles où ce sujet est traité ?


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#37 09-09-2016 20:12:07

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine a écrit :

ça commence à faire pas mal de limitations :
Pas de possibilité d'équiprobabilité (du moins pour un nombre infinis d'éléments)

Ben c'est pas grave, si ? C'est juste contre-intuitif.

Yassine a écrit :

Pas de manière canonique de calculer une probabilité, il faut fixer artificiellement une bijection pour calculer concrètement la probabilité

Non, ce n'est pas une nécessité. 

Ou bien tu penses à une densité (comme a présenté Ostap Bender) qui, elle, dépend d'un ordre sur les éléments, et qui n'est pas canonique (sauf si on est sur Z par exemple).

Yassine a écrit :

Pas de cohérence avec une notion de "negligeabilité" des ensembles finis comparés aux ensembles infinis.

Ben là, je pense que ce n'est pas un problème de "fini versus infini", mais de "discret versus continu" : dans le discret, les points sont "consistants" (de proba > 0) alors que dans le continu, les points sont négligeables (de proba = 0).

A moins que tu penses là aussi à une densité.

Yassine a écrit :

Est-ce que tu as des pointeurs vers des livres ou articles où ce sujet est traité ?

non pas spécialement, mais je peux me renseigner... la semaine prochaine.

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#38 09-09-2016 20:30:17

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine,

Franchement, je ne vois pas ce qu'il y a de perturbant dans la notion de probabilités sur des ensembles dénombrables, une fois qu'on a en tête qu'il faut qu'il y ait convergence d'une série (notion qui n'existe pas sur les ensembles finis, et mais qui peut apparaître dans le continue avec des intégrales généralisées).

Certes, pas de loi uniforme sur un ensemble dénombrable... c'est contre-intuitif, et c'est dommage pour ceux qui ne jurent que par cette loi uniforme, l'appelant LE hasard, ou même le hasard PUR.
D'un autre coté, quand on regarde les probas continues, chaque événement élémentaire est de probabilité nulle, et donc à chaque essai, on réalise un événement de probabilité nulle ! C'est aussi très contre-intuitif.

Je pense que le dénombrable possède des propriétés qui viennent du fini, et il a aussi des propriétés apparentées à celles du continu.

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#39 09-09-2016 20:45:31

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Si je dois garder un point, c'est que les ensembles finis n'aient pas une mesure nulle.
Quand on s'intéresse aux propriétés d'ensembles infinis, ce qui se passe sur quelques points ne devrait pas changer notre point de vue.


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#40 10-09-2016 07:26:04

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Voici un exemple formalisé pour illustrer ce qui me trouble.
Revenons à la constante de Liouville et je note $E \subset \mathbb{N} \times \{0,1\}$ l'ensemble de ses décimales ($E$ est constitué des paires $(n!,1)$ et $(m,0)$ où $m$ n'est pas une factorielle). Je note également $E_0 = \{ (n,0) \in E \}$ le sous-ensemble des décimales à zéro, muni de l'ordre induit par $\mathbb{N}$.
Je suppose donc qu'on a une mesure $P(\{e\}) \in [0,1]$ pour $e \in E$ telle que $\sum_{e \in E} P(\{e\}) = 1$.
Soit $\sigma$ une bijection de $\mathbb{N}$ dans $E_0$ croissante et je note $p_k=P(\{\sigma(k)\}$. La suite $(p_k)$ est une suite extraite de la suite positives des mesures $P(\{e\})$ dont la série vaut 1, sa série est donc convergente, et $P(E_0)=\sum_0^{+\infty} p_k$.
Je note maintenant $E_{0,N}=\{(n,0) \in E_0 \ | \ n \ge N\}$ l'ensemble des décimales à $0$ au delà du $N$-ième rang.
Alors $\displaystyle P(E_{0,N}) = \sum_{\sigma^{-1}((N,0))}^{+\infty} p_k$, soit la série des restes. On a donc $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} P(E_{0,N}) = 0$ (j'ai supposé $\sigma$ croissante, donc $\sigma^{-1}$ l'est également).
Si on interprète $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ dans l'écriture décimale de la constante de Liouville au delà du $N$-ième rang, alors cette probabilité tend vers $0$ quand $N$ tend vers l'infini, ce qui est complètement contre-intuitif. On a au contraire envie de dire qu'il n'y a plus "essentiellement" que des zéros quand va loin dans les décimale de cette constante.

--EDIT--
Quelques coquilles

Dernière modification par Yassine (10-09-2016 12:23:41)


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#41 10-09-2016 13:00:17

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine a écrit :

Je suppose donc qu'on a une mesure $P(\{e\}) \in [0,1]$ pour $e \in E$ telle que $\sum_{e \in E} P(\{e\}) = 1$.
(...)
Si on interprète $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ dans l'écriture décimale de la constante de Liouville au delà du $N$-ième rang, (...)

Mais, dès le début, si lorsque $e = (i, c)$ avec c = 0 ou 1, est-ce que $P(\{e\})$ est une "mesure"/"probabilité" liée à la nullité de c ? Non, je ne vois pas pourquoi. Donc je ne vois pas pourquoi on pourrait interpréter $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ ...

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#42 10-09-2016 13:59:56

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Je viens de lire quelques articles sur le Net. Je pense que j'avais quelques confusions entre la notion de "mesure" qui serait définie sur des parties dénombrables, et là, clairement, la définition via des série positives convergentes n'est pas satisfaisante, et des probabilités qui seraient définies sur un ensemble $\Omega$ dénombrable muni d'une tribu et d'une mesure des éléments de cette tribu.

Dans le cas de l'étude de l'écriture décimale des réels, on peut l'aborder de deux manières :
- étude du "poids relatif" des chiffres de '0' à '9'. Le meilleur cadre est à mon sens la densité qui a été donnée par Ostap, qui dans le cas trivial de la constante de Liouville donnera une densité de 1 pour le chiffre '0' et une densité nulle pour les autres chiffres
- cadre probabiliste pour poser des questions genre 'Quelle est la probabilité qu'un nombre $\in ]0,1[$ ait '1' dans son écriture décimale aux rangs pairs', il faut donc considérer $\Omega = \{0,1,\cdots,9\}^{\mathbb{N}}$ (qui n'est clairement pas dénombrable), l'équiper d'une tribu et d'une mesure.

Donc, une expérience de lancers infinis de dé (ou de choix aléatoire d'un chiffre en '0' et '9') ne rentre clairement pas dans le champs des probabilités "infini dénombrable". Un des article présente une probabilisation de cet espace comme suit :
- il considère chaque lancer $k$ comme probabilisé par $(\Omega_k=[\![1,6]\!], \mathcal{P}(\Omega_k), P_k)$ avec $P_k$ la probabilité uniforme par exemple.
- il considère ensuite $\Omega = \Pi_{k=1}^{+\infty}\Omega_k$ (lire produit cartésien
- il considère ensuite les événements "cylindriques" : un événement peut être vu comme $A = \Pi_{k=1}^{+\infty} A_k$ avec $A_k \subset \Omega_k$. Un événement est dit cylindrique si à partir d'un certain rang $k$, $A_k = \Omega_k$.
- il considère la tribu générée par les événements cylindriques et l'équipe de la probabilité $P(A)=\Pi_{k=1}^{+\infty} P(A_k)$. Le produit est bien défini car à partir d'un certain rang, $P(A_k)=1$.
La notion d'événement cylindrique limite néanmoins l'intérêt de cette approche, on ne peut envisager que des questions portant sur un nombre fini d'étapes (probabilité d'obtenir 1, puis 2, puis 5 fois 6 par exemple).

Je n'ai pas encore trouvé d'exemple concret (qu'on puisse rattacher à une expérience de pensée) d'un espace $\Omega$ infini dénombrable avec une tribu et une probabilité


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#43 10-09-2016 14:11:35

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

leon1789 a écrit :
Yassine a écrit :

Je suppose donc qu'on a une mesure $P(\{e\}) \in [0,1]$ pour $e \in E$ telle que $\sum_{e \in E} P(\{e\}) = 1$.
(...)
Si on interprète $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ dans l'écriture décimale de la constante de Liouville au delà du $N$-ième rang, (...)

Mais, dès le début, si lorsque $e = (i, c)$ avec c = 0 ou 1, est-ce que $P(\{e\})$ est une "mesure"/"probabilité" liée à la nullité de c ? Non, je ne vois pas pourquoi. Donc je ne vois pas pourquoi on pourrait interpréter $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ ...

J'avais posté l'autre message avant de lire ta réponse.
Oui, tu as raison pour $P(E_{0,N})$. Il faut lire mon post précédent


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#44 10-09-2016 16:18:49

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine a écrit :

Le meilleur cadre est à mon sens la densité qui a été donnée par Ostap, qui dans le cas trivial de la constante de Liouville donnera une densité de 1 pour le chiffre '0' et une densité nulle pour les autres chiffres

je suis d'accord.

Yassine a écrit :

Je n'ai pas encore trouvé d'exemple concret (qu'on puisse rattacher à une expérience de pensée) d'un espace $\Omega$ infini dénombrable avec une tribu et une probabilité

Considère le nombre de lancers d'un dé nécessaires pour obtenir la face "6". Alors $\Omega = \mathbb N^*$, et $P({k}) = (5/6)^{k-1}/6$ pour $k \in \mathbb N^*$. C'est la loi géométrique (que l'on rencontre aussi avec la désintégration des noyaux nucléaires)
En ce qui concerne la tribu, c'est la tribu engendrée par les singletons, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les parties de $\mathbb N^*$.
Non ?

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#45 10-09-2016 20:42:16

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Pour l'exemple, c'est juste une variante des événements cylindriques que je mentionnais.
Le cadre fini permet déjà de répondre à l'exemple que tu donnes. Tu l'as juste présenté formellement sous des atours de cadre infini dénombrable.
Ce que je cherche, c'est un exemple avec des événements non cylindriques, donc qui portent sur des caractéristiques vraiment liées à l'infini.

-- EDIT --
D'ailleurs, dans ton exemple, $\Omega$ n'est pas $\mathbb{N}^*$, c'est plutôt $\displaystyle \cup_{N=0}^{\infty}\big( [\![1,5]\!]^N \times \{6\}\big)$ (qui est dénombrable en tant q'union dénombrable d'ensembles dénombrables). Et les événements auxquels tu t'intéresses sont en effet les singletons de cet ensemble.
Une autre approche est de considérer $\Omega = [\![1,6]\!]^{\mathbb{N}}$, l'équiper de la tribu générée par les événements cylindriques et de regarder la probabilité des événements cylindriques du type $A_k = [\![1,5]\!]^{k-1} \times \{6\}\times [\![1,6]\!]^\mathbb{N}$.
On retrouve d'ailleurs $\displaystyle P(A_k)=P( \{6\})\Pi_1^{k-1} P([\![1,5]\!]) = \frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{k-1}$

-- CORRECTION --
Dans le cas où $\displaystyle \Omega = \cup_{N=0}^{\infty}\big( [\![1,5]\!]^N \times \{6\}\big)$, les événements que tu mentionnes ne sont pas les singletons de cet ensembles mais les ensembles $A_k = [\![1,5]\!]^{k-1} \times \{6\}$, la tribu est simplement $\mathscr{P}(\Omega)$. La probabilité d'un élément $\omega \in \Omega$ est alors donnée par $P(\{\omega\})=(\frac{1}{5!})^{\pi(w)}\frac{1}{6}$ où j'ai noté $\pi(\omega)$ l'unique entier $N$ tel que $\omega \in  [\![1,5]\!]^N \times \{6\}$

Dernière modification par Yassine (11-09-2016 10:03:28)


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#46 11-09-2016 19:59:19

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Je comprends (je crois) ton objectif quand tu parles d'événements non cylindriques, je ne sais pas si je peux trouver un tel exemple.

Ok, mon exemple du lancers de dé jusqu'à obtenir 6 ne convient pas.
Cela dit,  $\Omega = \mathbb N^*$ puisque le résultat d'une expérience est un nombre de lancers, et non la suite des faces obtenues lors de ces lancers.

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#47 12-09-2016 05:55:00

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

$\{0,1,...,9\}^{\mathbb N}$, ie l'ensemble des suites à valeurs dans {0,...,9}, étant non dénombrable,
$\cup_{n\in \mathbb N} \{0,1,...,9\}^n$, ie l'ensemble des suites finies à valeurs dans {0,...,9}, amenant des événements cylindriques,
est-ce que l'univers des suites périodiques à valeurs dans {0,...,9} pourrait être favorable à ta demande ?? (même si je n'ai pas d'exemple finalisé)

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#48 12-09-2016 07:42:03

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Leon a écrit :

Cela dit,  $\Omega=\mathbb{N}^∗$ puisque le résultat d'une expérience est un nombre de lancers, et non la suite des faces obtenues lors de ces lancers.

Disons que $\Omega$ est censé représenter tous les états du monde. Le fait que tu dises que l'expérience consiste à lancer un dé jusqu'à obtenir '6' suggère qu'il y a un état où on a fait (1,6) et un autre où on a fait (2,6), le fait que tu ne retiennes finalement que le nombre de lancers est plutôt à incorporer dans la notion d'événement, ici $A_2=\{(1,6),\cdots,(5,6)\}$. Tu peux ensuite identifier $A_k$ avec $k$.
Cela dit, il est tout à fait légitime de poser $\Omega:=\mathbb{N}^∗$ et de définir une tribu ($\mathscr{P}(\Omega)$) et une mesure $P(k)=\frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{k-1}$. Mais ce n'est pas ce que je cherchais comme exemple.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#49 12-09-2016 07:58:06

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Leon a écrit :

est-ce que l'univers des suites périodiques à valeurs dans {0,...,9} pourrait être favorable à ta demande

Il faut voir l'exemple. La période permet en réalité de ne s'intéresser qu'à une portion finie de la suite, le reste étant identique par périodicité. Je n'ai donc pas l'impression qu'on pourra vraiment formuler des événement portant sur le comportement à l'infini.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#50 13-09-2016 09:47:29

Maleval
Membre
Inscription : 05-09-2016
Messages : 13

Re : Etranges Relations diophantiennes

"Par ailleurs, l'abstraction n'est pas à mettre en opposition avec le réel, sinon les maths auraient été abandonnées depuis longtemps... C'est justement l'abstraction qui permet de prendre de la hauteur et d'avancer là où un âne ne voit qu'une carotte en bout de museau."

Les mathématiques sont sans doute "la table d'harmonie sur laquelle la nature écrit sa musique".
Voir la carotte en bout de museau pour une âne est loin un processus que vous pourriez expliquer et c'est peut-être paradoxalement là que la physique prend de la hauteur par rapport aux mathématiques.

La périodicité indispensable se distingue du bruit. L'observateur, synchronisé avec ce signal, peut dès lors éventuellement l’interpréter.
Cependant, Pi est transcendant et je ne pense pas que le nombre suffise pour que l'observateur, avec son cerveau et ses sens fassent son cinéma.
La nature doit avoir la faculté tout à fait incroyable d'utiliser les ratios, comme pi, phi, alpha (couplage) pour la perception de la géométrie, à la surface de ce miroir : conceptuel][réel, discret][continu, temps][espace, onde][corpuscule,]électromagnétisme][gravitation

Dernière modification par Maleval (13-09-2016 09:51:20)

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