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#1 05-09-2016 17:35:04

Maleval
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Etranges Relations diophantiennes

Bonsoir, je trouve ces relations curieuses en cherchant des analogies dans x²+y²=z², et j’aimerais bien votre avis, à savoir par exemple si le hasard peut générer de telles coïncidences apparentes. Merci pour la lecture.

Décimales successives de Pi, 9 items http://goo.gl/6rYIt8
1+4+1+5-9+2-6+5-3 = 1+4+1+5+2+5-9-6-3=18-2*3²
1+4+1-5+9-2-6-5+3  = 1+4+1+9+3-5-2-6-5 =0
1-4+1+5-9-2+6+5-3 = 1+1+5+6+5-4-9-2-3 = 0
1^2+4^2+1^2-5^2+9^2-2^2-6^2-5^2-3^2 = 99-11*3²
On peut décaler la séquence de 9 items pour en trouver d'autres, même si les séquences n'ont pas forcément l'ordre des signes + et - identique

Premiers successifs, 9 items http://goo.gl/kjGvYk  (lien corrigé)
2+3+5-7-11-13+17-19+23 = 50-2*5²
2-3+5-7+11+13-17+19-23 = 0
2-3-5+7+11+13+17-19-23 = 0
10 items (dénombrement pair donc pour des impairs)
3+5+7+11+13+17-19+23-29-31 = 0
3+5-7+11-13-17-19-23+29+31 = 0
3+5-7-11-13+17-19+23-29+31 = 0
3+5-7-11-13-17+19+23+29-31 = 0
3-5+7-11-13+17-19+23+29-31 = 0
3-5-7+11+13-17-19+23+29-31 = 0
3-5-7+11+13-17-19+23+29-31 = 0
Et celui-là, en se décalant sur la liste, avec des carrés http://goo.gl/1FodPn

Triplets primitifs de Pythagore, 9 petits côtés successifs   http://goo.gl/gHH8hi
3+5+7-8-9+11-12-13+16 = 42-2*3*7
3+5-7-8+9-11+12+13-16 = 0
3-5+7+8-9+11-12+13-16 = 0
3-5+7-8+9+11+12-13-16 = 0
3-5-7-8-9+11+12-13+16 = 0
3^2+5^2-7^2-8^2-9^2-11^2-12^2+13^2+16^2 = 459-3^3*17 = 0
3^2-5^2+7^2+8^2+9^2-11^2-12^2-13^2+16^2 = 0

Triplets primitifs de Pythagore, 10 hypoténuses successives   (dénombrement "10 " corrigé)
http://goo.gl/1zIYf7  et  https://goo.gl/heBHTW  (lien corrigé)
5+13-17-25+29-37-41-53+61+65 = 173-prime(40) = 0 
5+13-17-25-29+37-41+53-61+65 = 0
5+13-17-25-29-37+41+53+61-65 = 0
5-13+17+25-29-37-41-53+61+65 = 0
5-13+17-25-29+37-41+53+61-65 = 0
5-13-17-25+29+37+41-53+61-65 = 0

Dernière modification par Maleval (05-09-2016 22:26:33)

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#2 07-09-2016 06:38:02

Maleval
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Intéressant, inintéressant, un avis ?

Quand on voit ces symétries, on soupçonne un ordre ontologique   http://goo.gl/vikYHV  au moins pour http://goo.gl/Mw6N2M
ou là encore peut-être :

f(n+2)=f(n+1)/n+f(n), f(1)=0, f(2)=1 −> 2n/f(n)² = π  http://goo.gl/RVFSDX
f(n+2)=f(n+1)+f(n)/n, f(1)=0, f(2)=1 −> n/f(n) = e  http://goo.gl/RVFSDX
f(n)=f(n-1)+gcd(n, f(n-1)), f(1)=7 −> primes http://goo.gl/OvKIJy
f(n+2)=f(n+1)+f(n), f(0)=0, f(1)=1 −> f(n+1)/f(n) = φ

Dernière modification par Maleval (07-09-2016 06:43:21)

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#3 07-09-2016 11:13:50

Dlzlogic
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Bonjour,
A mon avis, c'est sans aucun intérêt, sauf si vous démontrez que cela est vrai quelle que soit la base de numération.
Par contre, ce qui est intéressant, bien que cela ne portant pas à conséquence, c'est que la répartition des chiffres d'un grand nombre, par exemple la suite des décimales d'un nombre transcendant, a une distribution normale. C'est une bonne vérification des lois de probabilités. En d'autres termes, si on vous donne un tel nombre et que vous constatez qu'il ne vérifie pas ces caractéristiques, vous pouvez être sûr que ce nombre est faux.
Bonne journée.

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#4 07-09-2016 12:04:02

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Bonjour

Dlzlogic a écrit :

ce nombre est faux.

<<
- Et toi, qu'est-ce que tu fais ce soir ?
- oh ben, je vais m'autoriser à construire un nombre faux.
- hein, un nombre faux ?! .... MDR
>>

Dlzlogic a écrit :

par exemple la suite des décimales d'un nombre transcendant, a une distribution normale.

Evidemment, cette assertion est fausse.  Déjà dit, répété, expliqué, en long, en large, etc.

Cela te plait d'écrire volontairement des contre-sens et d'essayer de les faire avaler aux intervenants du forum ?
Quelle est donc ta motivation ???



Maleval,
dans votre message #2, les égalités avec pi, e, phi, sont fausses (simplement parce que pi, e, phi, ne sont pas rationnels).
pi, e, phi, sont les limites des fractions que vous indiquez.

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#5 07-09-2016 12:31:36

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Dlzlogic a écrit :

En d'autres termes, si on vous donne un tel nombre et que vous constatez qu'il ne vérifie pas ces caractéristiques, vous pouvez être sûr que ce nombre est faux.

Nouveau concept : les "faux" nombres !!!


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#6 07-09-2016 12:34:01

Dlzlogic
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Bonjour Léon,
Ton agressivité et ton esprit de contradiction est chronique.
Si on donne un nombre avec beaucoup de décimales et que l'on dit que ce nombre représente la valeur approchée de tel nombre transcendant et que ce nombre a été calculé par développement limité, alors la répartition des chiffres qui le compose a une distribution normale. J'ai eu l'occasion de donner des vérifications, mais il est très facile de rétorquer "ta vérification ne vaut rien, elle est faite sur les N premiers chiffres ...".
Un nombre ne représente rien en lui-même. Il est faux à partir du moment où on dit que c'est la valeur approchée de tel élément, et que ce n'est pas vrai.   

Tu affirmes que "la suite des décimales d'un nombre transcendant, a une distribution normale." est une affirmation fausse. Prouve-le au au moins donne un contre-exemple. Pour être tout à fait rigoureux, le nombre est supposé être calculé par une méthode connue, telle que le développement en série.

[HS] Tu m'as reproché d'évoquer des longueurs lorsque je parlais de mesures. Il y a en cours une discussion fort intéressante dans laquelle un spécialiste explique qu'on ne sait et on ne peut mesurer que des longueurs. Naturellement tous les matheux lui tombent dessus à bras raccourcis. L'étude ds probabilités concerne les matheux, leurs utilisations ne les concernent pas. [/HS]

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#7 07-09-2016 12:44:54

Ostap Bender
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Bonjour Dlzlogic.

Peux-tu donner un exemple de nombre transcendant qui ne comporte que des décimales égales à 0 ou à 3 ?

Ostap Bender.

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#8 07-09-2016 13:38:21

Dlzlogic
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Bonjour Ostap,
Ah, il y aurait peut être un problème sur la définition de nombre et du caractère de normalité de la répartition des chiffres.
Soit une base B. B est le nombre de chiffres utilisés. Exemple en base 10, les chiffres sont de 0 à 9 et chaque chiffre est le successeur (+1) du précédent. Si on fait 9+1 on écrit 0 et on retient 1 pour le rang suivant.
Le caractère de normalité signifie que le nombre d'apparitions de chaque chiffre est conforme à la répartition normale.
Un nombre dont les décimales ne seraient que des 0 ou des 3 ne correspond pas à l'hypothèse étudiée.

@ Yoshi,
L'application des probabilités à la répartition des chiffres n'est qu'une vérification des lois de probabilités. C'est avec ce type de méthode qu'on vérifie la fiabilité d'un générateur de nombres aléatoires. Si tu construis ton nombre avec un générateur de nombre aléatoires correct, le nombre sera normal, sinon, il sera "faux".

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#9 07-09-2016 14:49:08

Maleval
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Dlzlogic a écrit :

Maleval,
dans votre message #2, les égalités avec pi, e, phi, sont fausses (simplement parce que pi, e, phi, ne sont pas rationnels).
pi, e, phi, sont les limites des fractions que vous indiquez.

OK, j'ai fait une flèche qui "tend vers", un raccourci peu explicite en effet

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#10 07-09-2016 15:04:04

Ostap Bender
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Re : Etranges Relations diophantiennes

@ Dlzlogic

Tu ne réponds pas à ma question. Tu bottes en touche avec des mots qui ne sont pas définis (normalité, répartition normale, etc.)
Peux-tu répondre à ma question simple, avec des mots bien définis :
Peut-on trouver une suite [tex](a_k)_{k>0}[/tex]  à valeurs dans [tex]\{0,3\}[/tex] telle que le nombre [tex]L = \sum_{k=1}^{+\infty} a_k10^k[/tex] soit transcendant ?

Ostap Bender

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#11 07-09-2016 15:18:02

Dlzlogic
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Re : Etranges Relations diophantiennes

@ Ostap,
Il me semble que les mots normalité, répartition normale sont parfaitement définis.
Mais s'il sont à définir, dis-le, je le ferai très volontiers.
Bien sûr je ne peux pas trouver un nombre quel que tu le demandes, sauf si {0,3} veut dire "en base 4" alors oui, mais j'avoue que je comprends mal ta question et surtout son but.
J'ai l'impression que tu imagines que je cherche à définir une théorie "nouvelle", certainement pas.

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#12 07-09-2016 15:19:32

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Comment définit-on la notion de "répartition" ou "fréquence" dans le cas d'ensemble infinis de mesure nulle (ensembles dénombrables par exemple) ?
Supposons que dans l'écriture décimale de $\pi$, qui comporte donc un nombre infini de chiffres, chaque chiffre dans $\{0,1,\cdots,9\}$ apparaisse un nombre infini de fois (il me semble que ce résultat à d'ailleurs été montré, mais je ne trouve plus où je l'ai lu, mais ce n'est pas important, ici, je cherche une définition), comment définirait-on la fréquence d'apparition d'un des chiffres ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#13 07-09-2016 15:25:28

Ostap Bender
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Bonjour Yassine.

Tu as la notion de densité, ou plutôt les notions de densité.

Ostap Bender

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#14 07-09-2016 17:09:31

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Dlzlogic a écrit :

Ton agressivité et ton esprit de contradiction est chronique.

Tes erreurs sont volontaires et chroniques.  Tu fais des Hors Sujet à volonté dans les discussions des intervenants... Tu trouves cela correct de ta part ?? Ne te plaint pas des retours...

Dlzlogic a écrit :

la répartition des chiffres qui le compose a une distribution normale. J'ai eu l'occasion de donner des vérifications,

Tu n'as donc absolument rien compris, comme d'habitude... ton exemple donnait une répartition uniforme des chiffres !
Allez, va relire la discussion, tu en as besoin : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 630#p58630

Dlzlogic a écrit :

Tu affirmes que "la suite des décimales d'un nombre transcendant, a une distribution normale." est une affirmation fausse.

A toi de prouver ce que tu racontes ! ...à défaut de comprendre les preuves qu'on te donne, illustrées de graphiques, etc.


Dlzlogic a écrit :

Prouve-le au au moins donne un contre-exemple.

ben voilà, relis cet exemple : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 630#p58630

On dirait que tu n'as rien retenu, étrange...

Dlzlogic a écrit :

[HS] Tu m'as reproché d'évoquer des longueurs lorsque je parlais de mesures. [/HS]

où ça ??? donne précisément la référence que l'on voit mes propos dans ce sens ... ou alors on va conclure que tu inventes encore...

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#15 07-09-2016 17:15:59

Dlzlogic
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Cette question concernant les nombres tendant vers l'infini a très bien été expliquée par Jacques Harthong. A lieu de considérer des nombres, on considère des aires. Le rapport "nombre de cas favorables" sur "nombre de cas possible" se traduit par un rapport d'aires. Dans la pratique, cela revient à calculer un rapport de nombres réels, même si les deux nombres tendent vers l'infini, leur rapport tend vers une limite finie, dans le cas général.

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#16 07-09-2016 17:17:53

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Ostap Bender a écrit :

Bonjour Yassine.

Tu as la notion de densité, ou plutôt les notions de densité.

Ostap Bender

Bonjour Ostap,
Je ne connaissais pas.
Mais concrètement, l'absence de sigma-additivité me semble problématique pour la qualifier de mesure de probabilité. ça peut donner une notion de rareté (ou abondance) d'un chiffre.


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#17 07-09-2016 17:52:54

Ostap Bender
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Re : Etranges Relations diophantiennes

@ Yassine

Effectivement, ce n'est pas une probabilité. Toutefois c'est un outil puissant en théorie "probabiliste" des nombres.

Cet outil est utile pour énoncer le théorème de la progression arithmétique de Lejeune-Dirichlet.

@ Dlzlogic.

J'attends toujours ta réponse.

Ostap Bender

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#18 07-09-2016 19:54:28

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Ostap Bender a écrit :

J'attends toujours ta réponse.

Ostap Bender

Texte caché
Ostap Bender a écrit :

Peux-tu donner un exemple de nombre transcendant qui ne comporte que des décimales égales à 0 ou à 3 ?

Dlzlogic a écrit :

Bien sûr je ne peux pas trouver un nombre quel que tu le demandes,

visiblement, Dlzlogic ne connait pas la constante de Liouville, $\sum_{i>0} 0.1^{i!}$, qui est réputée pour être transcendante.
Donc son triple, $X = 3 . \sum_{i>0} 0.1^{i!}$, répond à la question de Ostap Bender.

Dlzlogic a écrit :

j'avoue que je comprends mal ta question et surtout son but.

ben, le but est tout simple : ce nombre $X$ est un contre-exemple à ton affirmation << la suite des décimales d'un nombre transcendant a une distribution normale. >>
Le nombre $X$ est formé quasiment uniquement qu'avec le chiffre 0 (la fréquence des 0 tend vers 1 quand on augmente le nombre de décimales calculées) et quelques rares chiffres 3 ...

...donc la distribution normale des décimales de tout nombre transcendant est clairement un mirage.

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#19 07-09-2016 20:13:22

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

@Ostap,
Je connais très peu ce domaine (hyper riche) de la théorie des nombres.

Le nombre de Liouville que cite Léon possède des résultats surprenant vu avec ce prisme : la densité du chiffre '1' est nulle et la densité de '0' est égale à '1'. Avec la mesure de Lebesgue, on identifie les fonctions qui ne sont différentes que sur un ensemble de mesure nulle. On aurait donc envie de traiter ce nombre comme 'essentiellement' nul ! (il n'est différent de zéro que sur un nombre de points de densité nulle).

Pour revenir au sujet initial, je ne vois toujours pas comment définir une probabilité sur des ensembles infinis dénombrables.


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#20 07-09-2016 21:03:34

Dlzlogic
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Bonsoir Yassine,
Je vais essayer de répondre à ta question :

Yassine a écrit :

Pour revenir au sujet initial, je ne vois toujours pas comment définir une probabilité sur des ensembles infinis dénombrables.

D'abord, l'infini n'existe pas dans le monde réel, or les probabilités concernent le monde réel.
Les lois de probabilités, loi des grands nombres et loi normale concernent le monde réel. Elles ne sont vraies, ou plutôt exactes, que lorsque le nombre d'expériences tend vers l'infini. Or il se trouve que, étant donné la variation asymptotique, elles sont vérifiées, donc utilisables, dès un nombre d'expériences suffisamment grand. Pour certaines expériences, du type tirage de dé à 6 faces, ce nombre est généralement estimé à une trentaine.
Il est vrai qu'il est plus facile de comparer des nombres entiers, c'est une des justifications de la méthode du Khi². La définition d'une probabilité est typiquement le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. On peut travailler avec des réels, comme précisé dans un message précédent, on peut aussi travailler avec des classes : on établi un certain nombre de classe, on range les observations dans la classe correspondante et on observe le résultat. 

Qu'on le veuille ou non, ceci est la base de la statistique, l'une des application de la théorie des probabilités.

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#21 08-09-2016 06:26:56

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Dlzlogic, tu ne réponds pas du tout à la question de Yassine. Je me demande même si tu comprends ce que signifie  << infinis dénombrables >>, vu que tu parlais d' aires (message #15) et que les aires sont des ensembles (de points) infinis non dénombrables...

Par contre, tu montres encore une fois que tu ne sais pas ce qu'est une loi de probabilité (dont la loi normale fait partie) car cette phrase n'a pas de sens :

Dlzlogic a écrit :

Les lois de probabilités, loi des grands nombres et loi normale concernent le monde réel. Elles ne sont vraies, ou plutôt exactes, que lorsque le nombre d'expériences tend vers l'infini.

Les lois de probabilité ne peuvent pas être vraies ou fausses, ou exactes ou inexactes : les lois de probabilité ne sont pas des assertions ! Les lois de probabilités n'ont pas besoin d'un nombre d'expériences pour être définies... Renseigne-toi !

Remarque, tu n'es plus à une invention près, vu que tu considères qu'il existe des nombres transcendants vrais ou faux...



Yassine,
je ne comprends pas ta question : il existe des lois de probabilité sur N (par exemple P(X=k) = 1/k(k+1) pour k>0). La définition utilise les séries convergentes à termes positifs (voir les familles sommables). Où est le problème ? Que veux-tu dire ?

Dernière modification par leon1789 (08-09-2016 07:20:18)

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#22 08-09-2016 10:51:48

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

@Leon
Je n'avais en effet pas pensé aux familles sommables (sigma-additivité donnée par la sommation par paquets).
Le sens de ma question était de trouver une définition "à la Kolmogorov" des probabilités sur des ensembles dénombrables.
Si je reprends ton exemple $P(X=k) = \frac{1}{c}\frac{1}{k(k+1)}$ (la constante $c$ étant là pour assurer que $P(\mathbb{N})=1$), alors on aura toujours $P(X \in A) > 0$ pour tout ensemble fini non vide $A$, ce qui me gène car j'ai envie de considérer $A$ comme "de mesure nulle" parce que fini (dans la mesure de Lebesgue, les ensembles dénombrables sont de mesure nulle sur $\mathbb{R}$, et une droite est de mesure nulle dans le plan).
En d'autres termes, si je regarde deux nombres transcendants dont l'écriture décimale ne diffère qu'en un nombre finis de points (l'un est le translaté de l'autre par un rationnel), j'ai envie de dire qu'ils ont "essentiellement" la même écriture.


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#23 08-09-2016 12:21:42

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine a écrit :

on aura toujours $P(X \in A) > 0$ pour tout ensemble fini non vide $A$, ce qui me gène car j'ai envie de considérer $A$ comme "de mesure nulle" parce que fini (dans la mesure de Lebesgue, les ensembles dénombrables sont de mesure nulle sur $\mathbb{R}$, et une droite est de mesure nulle dans le plan).

ok, mais c'est une différence entre une situation "continue" (l'ensemble des réels par exemple où un point est de mesure nulle) et une situation "discrète" (l'ensemble des entiers par exemple, où un point n'est pas de mesure nulle).

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#24 08-09-2016 13:14:09

Yassine
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Leon a écrit :

ok, mais c'est une différence entre une situation "continue" (l'ensemble des réels par exemple où un point est de mesure nulle) et une situation "discrète" (l'ensemble des entiers par exemple, où un point n'est pas de mesure nulle).

Justement, c'est tout le point.

Je connais assez bien les probabilités dans le cas fini et dans le cas continu. Je ne les connais pas dans le cas infini dénombrable.
ça heurte mon intuition de dire que les propriétés d'un ensemble infini (les nombres premiers par exemple) vont changer parce qu'on enlève quelques points. Deux ensembles infinis devraient avoir les mêmes propriétés (au sens de cette probabilité) s'ils ne diffèrent qu'en un ensemble fini d'éléments.

--EDIT--
D'ailleurs, avec ce type de définition pour $P(\{k\})$, on aurait des problèmes, il me semble, pour définir une distribution uniforme. Supposons que je veuille une variable qui soit uniformément répartie sur les nombre premiers (je note $\mathscr{P}$ l'ensemble des nombre premier). Avec une telle approche, l'équiprobabilité s'exprime comme $\forall p,q \in \mathscr{P}, P(\{p\}) = P(\{q\})$. Si je note $\varepsilon$ cette probabilité commune, on aurait alors $\displaystyle P(\mathscr{P}) = \sum_{p \in \mathscr{P}} P(\{p\}) =  \varepsilon | \mathscr{P}| = +\infty$ !!

--EDIT2--
Autre limite de l'approche, elle me semble spécifique au cas de $\mathbb{N}$, je ne vois pas comment elle se généralise à d'autres ensembles infinis dénombrables ($\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, ensemble infini de patates, ...)

--EDIT3--
Autre bizarrerie, comme la série des restes converge vers zéro, alors, pour toute partie de $X \subset \mathbb{N}$, je peux rendre "sa mesure" $P(X) = \sum_{k \in X} P(\{k\})$ aussi petite que je veux en enlevant un nombre fini d'éléments de $X$. Donc, la "mesure" des nombre premiers dépendra de l'endroit à partir duquel on commence à les regarder !
Je crois que la densité telle que mentionnée par Ostap rend mieux compte de cette notion de "mesure" des parties infinies de $\mathbb{N}$ (les parties finies ayant une densité nulle), elle n'est pas sigma-additive (on peut d'ailleurs montrer facilement qu'on ne peut pas avoir une mesure sigma-additive qui soit nulle sur les parties finies).

Dernière modification par Yassine (09-09-2016 10:08:06)


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#25 09-09-2016 11:57:15

leon1789
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Re : Etranges Relations diophantiennes

Yassine a écrit :

D'ailleurs, avec ce type de définition pour $P(\{k\})$, on aurait des problèmes, il me semble, pour définir une distribution uniforme.

Absolument, c'est bien pour cela que, dans le cas de tirage aléatoire sur l'ensemble des entiers, il faut absolument préciser la loi de probabilité. Aucune loi ne peut être sous-entendue.


Yassine a écrit :

Autre limite de l'approche, elle me semble spécifique au cas de $\mathbb{N}$, je ne vois pas comment elle se généralise à d'autres ensembles infinis dénombrables ($\mathbb{N}\times \mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, ensemble infini de patates, ...)

non, elle n'est pas spécifique à $\mathbb{N}$ : par exemple,

$$\sum_{ (i,j) \in  \mathbb{N}\times \mathbb{N}} 0.5^i 0.5^j  = 4$$
ce qui permet de construire la loi $P(X=(i,j)) = 0.5^i 0.5^j  / 4 $ pour $(i,j)  \in  \mathbb{N}^2$ ;

$$\sum_{k \in \mathbb{Z}} 1/(k^2+1) = \pi \,\coth \left( \pi  \right)$$
ce qui permet de construire la loi $P(X=k) = \left( (k^2+1) \pi \, \coth( \pi)  \right)^{-1}$ pour $k \in \mathbb{Z}$.

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