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#1 30-08-2016 13:21:23
- sbl_bak
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produit de deux série
Bonjour,
Je souhaiterais réaliser le produit de deux série pour $|z|<1$,
$\frac{1}{(1-z)^2}= \sum_{0}^{\infty} z^n \sum_{0}^{\infty} z^n = \sum_{0}^{\infty} (n+1)z^n$
Je ne comprends pas comment on arrive à la dernière inégalité.
Merci d'avance de votre aide
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#2 30-08-2016 14:01:27
- sbl_bak
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Re : produit de deux série
...on sait $\frac{1}{(1-z)^2}= \sum_{0}^{\infty} nz^{n-1}$, selon la relation par un changement d'indice qui est $ \sum_{p}^{q} z_{k}= \sum_{p-d}^{q-d} z_{k+d}$ on arrive au résultat $\sum_{0}^{\infty} (n+1)z^{n}$, j'ai pris d=1.
Par contre je n'ai pas utilisé la définition du produit de "Cauchy" que je n'arrive pas mettre en œuvre qui est $\sum_{0}^{\infty} c_n z^{n}$ avec $c_n=\sum_{p=0}^{n} a_p b_{n-p}$
Dernière modification par sbl_bak (30-08-2016 14:02:33)
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#3 30-08-2016 14:10:36
- Yassine
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Re : produit de deux série
Bonjour,
Le terme $c_n=\sum_{p=0}^{n} a_p b_{n-p}$ se simplifie simplement en $c_n=\sum_{p=0}^{n} 1$ (car $a_n = 1$ et $b_n = 1$ pour tout $n$). Tu trouves donc $c_n = n+1$.
Tu peux aussi le "voir" formellement en "développant" le produit $(1+z+z^2+\cdots)(1+z+z^2+\cdots)$ :
$(1+z+z^2+\cdots)(1+z+z^2+\cdots) = (1+z+z^2+\cdots) + (z+z^2+z^3+\cdots) + (z^2+ z^3 + z^4\cdots) + \cdots$,
en regroupant les puissances, tu trouves $1 + 2z + 3z^2 + \cdots$.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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