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Nino89

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Classe suivant un sus groupe

Bonjour à tous,

Sur le lien suivant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Classe_su … ous-groupe , je lis la chose suivante :

En théorie des groupes, les classes à gauche d'un groupe [tex]G[/tex] suivant un sous-groupe [tex]H[/tex] sont les parties de [tex]G[/tex] de la forme [tex]gH[/tex] avec [tex]g[/tex] élément de [tex]G[/tex], où [tex]gH[/tex] désigne l'ensemble des éléments [tex]gh[/tex] quand [tex]h[/tex] parcourt [tex]H[/tex]. Elles constituent les classes d'une relation d'équivalence sur [tex]G[/tex], donc forment une partition de [tex]G[/tex]. On peut les voir aussi comme les orbites de l'action à droite de [tex]H[/tex] sur [tex]G[/tex], par translations par les symétriques des éléments de [tex]H[/tex].

Pourquoi, les classes d'une relation d'équivalence sur [tex]G[/tex], qui forment une partition de [tex]G[/tex] peuvent être vues comme les orbites de l'action à droite de [tex]H[/tex] sur [tex]G[/tex], par translations par les symétriques des éléments de [tex]H[/tex]. Je ne comprends pas bien cette phrase. Quelqu'un peut-il me la détailler explicitement ?
On considère l'action [tex]\rho : H \times G \to G[/tex] définie par : [tex] \rho (h,g) = h.g = h^{-1} g[/tex], c'est ça ? Pourquoi c'est une action de groupes ?

Merci d'avance.

Yassine

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Re : Classe suivant un sus groupe

Bonjour Nino89,

L'action de groupe à droite n'est pas exactement ce que tu décris. C'est plutôt :
$\displaystyle \rho :   G \times H \to G$, définie par $\rho(g,h) \mapsto gh$ et qui respecte deux conditions supplémentaires (action sur le neutre et une sorte d'associativité $(gh)h' = g(hh')$). L'orbite d'un élément $g \in G$ (les orbites sont définies pour les éléments de l'ensemble sur lequel on agit, qui en général n'a rien à voir avec le groupe qui agit. Ici, c'est un cas particulier, le groupe $H$ agit sur un groupe le contenant), c'est l'ensemble obtenu en parcourant les éléments qui agissent à droite sur $g$, soit $\{gh\ |\ h \in H\}$, ce qui est exactement $gH$.

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Nino89

Invité

Re : Classe suivant un sus groupe

Bonjour Yassine :

Merci, j'ai compris.
J'aimerais, par contre savoir, s'il existe un théorème de factorisation pour les actions de groupes. J'entends par là, s'il est possible de dire que si [tex]G \times X \to X[/tex] est une action de groupe, alors, on peut factoriser sous certaines conditions, tout morphisme : [tex]f : X \to Z[/tex] avec [tex]Z[/tex] un objet, par : [tex]p : X \to X / G[/tex] et [tex]g :X/G \to Z[/tex] tels que : [tex]f = g \circ p[/tex], avec : [tex]p[/tex] et [tex]g[/tex] à définir ? comme pour le cas de factorisation d'un morphisme de groupes [tex]f : G_1 \to G_2[/tex] par un sous groupe normal [tex]H[/tex] contenu dans [tex]\ker f[/tex], on obtient ainsi le quotient que tu connais : [tex]G_1 / H[/tex].

Merci d'avance.

Yassine

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Re : Classe suivant un sus groupe

Attention, il y a plein de notations/termes non définis dans ta demande.
D'abord, une action de groupe agit sur un ensemble quelconque (imagine par exemple le groupe des translations par des vecteurs qui agissent sur les points d'un plan). Donc, l'ensemble $X$ n'a pas forcément de structure et la notion de "morphisme de $X \to Z$ n'est pas clairement définie.
D'autre part, on quotiente avec une relation d'équivalence. Le quotient $X/Y$ a un sens dans le cas d'un groupe $X$ et d'un sous-groupe $Y$ (si $Y$ est distingué, on peut équiper le quotient avec une structure de groupe). Dans ton cas, $X/G$ n'a pas de définition précise (la relation d'équivalence est normalement définie par $x-y \in G$, mais là, $x$ et $y$  sont dans $X$, la différence $x-y$ n'est pas définie.

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Nino89

Invité

Re : Classe suivant un sus groupe

Yassine :
Non, [tex]X/G[/tex] désigne l'espace des orbites induit pat l'action de [tex]G[/tex] sur [tex] X [/tex].
est ce possible maintenant de définir cette factorisation ?
Merci d'avance.

Nino89

Invité

Re : Classe suivant un sus groupe

en théorie des groupes de Lie et variétés, on trouve ce genre de choses, lorsque l'action est propre et discontinue, on peut définir un morphisme de variété : [tex]p X \to X/G[/tex], mais vu que ce domaine demande un niveau un peu plus supérieur en maths, Niveau : M1/M2, il faut se pencher d'abord sur ces cours avant de pouvoir s'attaquer à la question que j'ai posée, non ? Moi, je cherche juste un petit aperçu sur comment se généralise la notion de propriété universelle de quotient de groupes aux actions de groupes via l'espace des orbites, sans entrer dans les détails de la théorie de Lie où on utilise ces choses là en abondance.  :)

Yassine

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Re : Classe suivant un sus groupe

Bonjour,
ça ne me dit rien personnellement (je viens de re-parcourir le 'Algèbre' de S. Lang sur la partie concernant les actions de groupe, je n'ai rien vu de tel).
Peut-être que d'autres personnes peuvent t'aider.

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