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#1 17-08-2016 15:51:22

Samsam99
Invité

fonctions et dérivées

Bonjour à tous .. J'ai vraiment besoin d'aide j'ai des devoirs de vacances du CNED, je passe en terminal, voici l'énoncé:
Soit f et g les deux fonctions définies sur R par:
f(x)= 2/-x^2+2x-3  et g(x)= (-2x+1)(x+1)^2

1. Justifiez que les deux fonctions f et g sont bien définies sur R
2. Déterminer la fonction dérivée f' et en déduire la valeur minimale de f sur R
3. Déterminez la fonction dérivée g' et en déduire le sens de variation de g sur R

Merci d'avance pour votre aide et votre soutien ;)

#2 17-08-2016 18:56:14

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 907

Re : fonctions et dérivées

Bonjour,

Un conseil fais attention à la priorité des opérations : 1ere formule et déjà une faute !
En effet par f(x)=2/-x²+2x-3 tu voulais écrire : [tex]f(x)=\frac{2}{-x^+2x-3}[/tex] il te fallait donc écrire f(x)=2/(-x²+2x-3)...*

Parce que f(x)=2/-x²+2x-3, c'est [tex]f(x)=\frac{2}{-x^2}+2x-3[/tex] qui, 0 étant une valeur interdite, n'est pas définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex]...

Bon, cela dit, ce qui précède est une grosse indication, indication parce que notre politique (cf nos Règles de fonctionnement) est claire :

*Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi..

C'est mon jour de bonté envers un futur Terminale dans la détresse...

Q1. En classe de 1ere que connais-tu comme fonction de base non définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] ? [tex]\frac 1 x,\; \sqrt x[/tex] et leurs composées...
La seule qui peut te poser problème est f, la première. La dérivée ne se calcule qu'en question 2...
Alors comment vérifier que [tex]-x^2+2x-3[/tex] n'est jamais nul (au passage, je suis au regret de te dire que ton énoncé est faux !!!) ?
Méthode vue cette année : en factorisant ou en calculant le discriminant
J'appelle h la fonction telle que [tex]h(x)=-x^2+2x-3[/tex]
Si [tex]\Delta <0[/tex] pas de solution, c'est à dire pas de valeurs qui annulent le polynôme...

Q2. Dérivée de f... Et valeur minimale de f(x) demandée...
    Deux méthodes.
    La première : le nez dans le guidon sans trop réfléchir...
   f(x) est de la forme [tex]\frac U V[/tex]
   Tu écris  ;
    [tex]U = 2[/tex]                         et     U' = ... ?
    [tex] V= -2x^2+2x-3[/tex] et     V' = ... ?
    Puis   [tex]f('x)=\frac{U'V-UV'}{V^2}[/tex]

   La deuxième où on, ne veut pas trop se fatiguer
   f'(x) est de la forme [tex]2 \times \frac 1 U[/tex]  où   [tex]U = -x^2+2x-3[/tex]
   Et quand on sait ses leçons, on sait que : [tex]\left( 2 \times \frac 1 U\right)' = 2\times \left(\frac 1 U\right)' = 2 \times \frac{-U'}{U^2}=\frac{-2U'}{U^2}[/tex]
   Et on arrive au même résultat...

   Il y a un extremum si la dérivée est nulle : le dénominateur (Q1) n'étant jamais nul, c'est donc le numérateur qui l'est.
   Tu connais donc ipso facto aussi le signe de cette dérivée, tu vas t'en servir pour justifier que la valeur qui annule le numérateur est bien un minimum, non un maximum...

Q3 Dérivée de g...
    Tu pourrais développer (x+1)^2 (produit remarquable), développer et réduire ensuite le produit de (-2x+1) par le résultat précédent. Tu auras g'x) sous forme développée (et réduite) et tu pourras calculer la dérivée de g.

    Ou encore, dire que f(x) = U.V  avec [tex]U =(-2x+1)[/tex]  et  [tex]V =(x+1)^2[/tex] d'où (UV)'=U'V+V'U
    Tu écris :
    [tex]U =-2x+1[/tex]     et     U' =
    [tex]V =(x+1)^2[/tex]  mais [tex]V = W^2[/tex] avec  [tex] W=(x+1)[/tex] et [tex] W' = (x+1)'[/tex]
     D'où (W^2)' =2W'W = ...

    Donc  (UV)'=U'V + U \times (2W'W)
    Et tu dois arriver au même résultat à savoir [tex]-6x(x+1)[/tex] ou encore [tex]-6x^2-6x[/tex]
Nanti de la dérivée tu dois pouvoir avoir son signe et établir le sens de variation de g....

Alors, à toi de jouer, reviens avec tes calculs ou tes questions au cas où...

@+


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