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#1 04-08-2016 05:16:02

freddy
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Messages : 6 141

Une sauterelle dans le désert ...

Hello tutti,

un nouveau petit problème (oui, je sais, Arthur va encore nous pondre quarante fois quinze remarques inutiles ou absconses, mais tant pis, je prends le risque !).

ÉNONCÉ

Une sauterelle se trouve sur une bande de sable de longueur illimitée et de [tex]Y[/tex] mètres de largeur bordée, au sud, par le bord de mer pris pour axe des abscisses et au nord, par la végétation qui court parallèlement à la mer.

La sauterelle cherche à atteindre la végétation par bonds successifs de [tex]Z \lt X [/tex] mètres pour échapper à ses prédateurs naturels. En effet, tant qu'elle est sur la bande de sable, elle est en grand danger.

Son point de départ est sur l'axe des ordonnées, à [tex]X \lt Y[/tex] mètres du bord de mer.

A chaque bond effectué à l'intérieur de la bande de sable, elle choisit au hasard une direction parallèle ou perpendiculaire au bord de mer.
Si elle atteint le bord de mer, elle choisit au hasard l'une des trois directions : nord, est ou ouest.
Si elle atteint le bord de la végétation, elle fait un ultime bond pour se mettre à l'abri.

Question : en posant [tex]X = 32[/tex], [tex]Y = 45[/tex] et [tex]Z=1[/tex], déterminer l'espérance mathématique du nombre de bonds qui la conduisent à son abri naturel.

Merci à Ph. F.

PS : plusieurs approches assez proches existent pour trouver la solution que je connais, il n'y a pas de démonstration "officielle", on n'est pas à l'école.


Memento Mori ! ...

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#2 04-08-2016 16:16:31

tibo
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Inscription : 23-01-2008
Messages : 943

Re : Une sauterelle dans le désert ...

Sympa ! Une variante du problème du marcheur ivre.
Après simulations, je trouve un peu plus de 2000... Reste à le montrer...

Une idée comme ça :
Les déplacements est/ouest  étant inutiles et représentant un saut sur deux en moyenne, on peut se ramener à un problème à une dimension.

[edit] en fait non on ne peut pas se ramener à une dimension à cause du bord de mer...

Dernière modification par tibo (04-08-2016 20:28:11)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 12-08-2016 07:58:31

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : Une sauterelle dans le désert ...

Bonjour,

Je trouve

2141

Si c'est bon, je poste le détail de ma démo.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#4 12-08-2016 08:08:22

freddy
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Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

Hi,

non, désolé !


Memento Mori ! ...

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#5 12-08-2016 08:23:08

Yassine
Membre
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

Argh...
Je pense m'être planté d'un indice dans mon calcul.

How about

2014


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#6 12-08-2016 08:27:34

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Une sauterelle dans le désert ...

salut.


la sauterelle

je place le bord de la prairie à l'ordonnée 0 , le bord de mer est donc à l'ordonnée 45.
lorsque la sauterelle est arrivée à l'ordonnée y = 0  , elle est alors au ras de la prairie et son espérance de survie en quantité de saut est de 1 saut.
on l'appelle E0 , E0 = 1   ;  lorsque la sauterelle est à  32m du bord de mer , son ordonnée est  d = 13 . ( d est la distance la séparant du pré)
A cet endroit , son espérance mathématique de quantité de sauts lui permettant d'être enfin à l'abri est E13
Lorsque la sauterelle est au bord de mer son espérance est Ed = E45 ( ici d = 45) . Et dans ce cas elle ne peut choisir que 3 directions. E , O & S puisque qu'elle a horreur de l'eau et pour elle c'est la mort assurée  ; je suis pêcheur .
Par contre Ed = E45 est tributaire de E45 si elle se dirige vers l'ouest ou l'est et de E(d-1) = E44 si elle se dirige vers le sud.
Alors :
[tex] E_{45} = 1 + \frac23 . E_{45} + \frac13 . E_{44} -->  E_{45} = 3 + E_{44} [/tex]

[tex] E_{L} = 1 + \frac23 . E_{L} + \frac13 . E_{L-1} -->  E_{L} = 3 + E_{L-1} [/tex]

et  [tex] E_0 = 1 [/tex]

Dans tous les autres cas où l'ordonnée  0 < y < L , les 4 directions de provenance sont autorisées .

Et  [tex] E_d = 1 + \frac12 . E_d + \frac14 . E_{d-1} + \frac14 . E_{d+1}  --> 4E_d = 4 + 2E_d + E_{d-1} + E_{d+1} [/tex]

puis en retirant [tex] 3E_d [/tex] de chaque membre :

[tex]  E_d - E_{d-1} = 4 + E_{d+1} - E_d  [/tex]

d'où les 3 équations :

[tex] \begin{cases}E_0  = 1&(1)\\E_{L} = 3 + E_{L-1}&(2)\\E_d - E_{d-1} = 4 + E_{d+1} - E_d&(3)\end{cases}[/tex]


l'expression (3) est valable pour tout   0 < n < L  si bien qu'en utilisant cette dernière , on peut écrire par exemple :

[tex]E_1 - E_0 = 2 \times 4 + E_3 - E_2   (3_2) [/tex]
ou encore :

[tex]E_1 - E_0 = 5 \times 4 + E_6 - E_5   (3_5) [/tex]

en règle générale:

[tex] E_1 - E_0 = d \times 4 + E_{d+1} - E_d  (3_d) [/tex]

et finalement:

[tex]E_1 - E_0 = (L-1) \times 4 + E_{L} - E_{L-1} = 176 + E_{45} - E_{44} = 176 + 3 = 179 [/tex]  , pour L=45

comme [tex]E_0 = 1 [/tex], alors  :

[tex] E_1 = 180[/tex]

[tex] E_1 - E_0 = 179 , E_2 - E_1 = 179 - 4 , E_3 - E_2 = 179 - 2 \times 4 , E_{d} - E_{d-1} = 179 - (d-1) \times 4 [/tex]

dans le cas où n = 13 (l'insecte étant à 32 m de la mer)

[tex]E_{13} = ( E_{13} - E_{12} ) + ( E_{12} - E_{11} ) + ( E_{11} - E_{10} ) + ( E_{10} - E_9 ) + ( E_9 - E_8 ) + ... + ( E_2 - E_1 ) + ( E_1 - E_0) + E_0 [/tex]

en règle générale :

[tex] E_d = \left[4.(L-1) + 3\right] \times {d} - 4 \times{\frac{d.(d-1)}{2}} + 1 [/tex] 

cela donne finalement :

[tex] E_d = (4L + 1).d - 2d^2 + 1 [/tex] (4)

donne avec d = 13 et L = 45 :

[tex] E_{13} = 13 \times 181 -  2 \times 169  + 1 = 2016 [/tex]

donne avec d = 44 :

[tex] E_{44} = 44 \times 181 - 2 \times 44^2  + 1 = 4093 [/tex]


Et [tex]E_{45} = E_{44} + 3 = 45 \times 181 - 2 \times 45^2 + 1 = 4096 [/tex]

avec la formule (4) on retrouve donc les différentes valeurs des [tex] E_d [/tex]

E(43) = 4086 , E(42) = 4075 , E(41) = 4060 , E(40) = 4041 , E(39) = 4018 , E(38) = 3991 , E(37) = 3960 , E(36) = 3925 , E(35) = 3886 , E(34) = 3843

E(33) = 3796 , E(32) = 3745 , E(31) = 3690 , E(30) = 3631 , E(29) = 3568 , E(28) = 3501 , E(27) = 3430 , E(26) = 3355 , E(25) = 3276 , E(24) = 3193

E(23) = 3106 , E(22) = 3015 , E(21) = 2920 , E(20) = 2821 , E(19) = 2718 , E(18) = 2611 , E(17) = 2500 , E(16) = 2385 , E(15) = 2266 , E(14) = 2143

E(13) = 2016 , E(12) = 1885 , E(11) = 1750 , E(10) = 1611 , E(9) = 1468 , E(8) = 1321 , E(7) = 1170 , E(6) = 1015 , E(5) = 856 , E(4) = 693 , E(3) = 526

E(2) = 355 , E(1) = 180 & E(0) = 1

sauf erreur .


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#7 12-08-2016 08:40:43

freddy
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Inscription : 27-03-2009
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

Yassine a écrit :

Argh...
Je pense m'être planté d'un indice dans mon calcul.

How about

2014

Oh, non encore, dommage !


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#8 12-08-2016 08:57:39

Yassine
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

détails de ma démo

Premier constat : le problème est complètement invariant par translation horizontale. L'espérance demandée est donc indépendante de la coordonnée horizontale de la sauterelle.

Je note $n$ la coordonnée verticale de la sauterelle, avec $n=0$ sur le bord de mer et $n=N$ sur le bord de la végétation. Je note également $u_n$ l'espérance du nombre de pas demandée, en partant de la hauteur $n$.

On a alors, pour $n \in \{1,\cdots,N-2\}$ la relation de récurrence suivante
$u_{n} = \frac{1}{4}(u_{n+1}+1) + \frac{1}{4}(u_{n-1}+1) + \frac{2}{4}(u_{n}+1)$ qui exprime le fait que, loin des bord, la sauterelle à une probabilité de $\frac{1}{4}$ d'aller en haut, en bas, à droite ou à gauche. Du fait de l'invariance horizontale, l'espérance du nombre de pas ne change pas quand elle saute à droite ou à gauche.
Si on pose $v_n = u_n - u_{n-1}$, cette relation  devient tout simplement $v_{n+1}=v_n - 4$.

En faisant le même raisonnement sur le bord de mer (la proba devient cette fois-ci $\frac{1}{3}$ pour à gauche, à droite et en haut), on obtient
$u_0 =\frac{2}{3}(u_0+1) + \frac{1}{3}(u_1 + 1)$, ce qui donne $v_1 = -3$.

De même, pour la hauteur $n=N-1$ (juste avant d'arriver sur la végétation), on a
$u_{N-1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(u_{N-2}+1) + \frac{2}{4}(u_{N-1}+1)$
Soit encore, sachant que $u_N=0$, la relation $v_{N-1}-v_N=5$.

Ces relations permettent de calculer entièrement $v_n$ : $\forall n \in \{1,\cdots,N-1\}, v_n = -4n+1$ et $v_N = v_{N-1}-5$.

Ensuite, on reconstitue $u_n$ en sommant les $v_n$, en partant du bord haut où on connait $u_N$. On a la relation
$u_N-u_n =\sum_{k=n+1}^N v_k$

avec $N=45$ Je trouve $u_{32}=2016$ (et non $2014$ comme indiqué, je m'étais trompé dans l'équation près de la végétation, il me manquait un $2$)




Dernière modification par Yassine (12-08-2016 11:25:04)


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#9 12-08-2016 08:59:20

Yassine
Membre
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

freddy a écrit :
Yassine a écrit :

Argh...
Je pense m'être planté d'un indice dans mon calcul.

How about

2014

Oh, non encore, dommage !

Je sais, je sais, il me manquait un deux. J'ai corrigé et posté en même temps le détail.


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#10 13-08-2016 11:11:33

freddy
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

tibo a écrit :

[edit] en fait non on ne peut pas se ramener à une dimension à cause du bord de mer...

Salut tibo,

exact ! Donc tu peux encore chercher "mieux" !


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#11 15-08-2016 14:52:29

Yassine
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

@freddy,
tu ne m'as pas dis si ma réponse (et ma démo) étaient corrects ?


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#12 15-08-2016 16:11:46

freddy
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

Salut yassine,

j'attends la réponse de tibo !


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#13 22-08-2016 14:24:18

freddy
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Re : Une sauterelle dans le désert ...

Salut,

pour Yassine et JPP exclusivement

raisonnement et donc résultat OK, bravo !

Pour les autres, bonne recherche.
Je donnerai une solution sous peu.


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