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Antoine12

Invité

Noyau d'une matrice.

Bonjour à tous,

Soit [tex] n \geq 3 [/tex] :
Soient [tex] v_1 , \dots , v_m \in \mathcal{M}_{n,1} ( \mathbb{R} ) [/tex] , [tex] m [/tex] vecteurs colonnes avec : [tex] m < n [/tex].
Comment construire algorithmiquement une matrice carrée : [tex] A = ( a_{ij} )_{ 1 \leq i,j \leq n } \in \mathcal{M}_{n } ( \mathbb{R} ) [/tex] telle que : [tex] \forall i = 1 , \dots , m [/tex] : [tex] v_i \in \mathrm{ker} A [/tex] ?

Merci d'avance.

Antoine12

Invité

Re : Noyau d'une matrice.

même question lorsque : [tex] m \geq n [/tex].
Merci d'avance.

Antoine12

Invité

Re : Noyau d'une matrice.

J'ai résolu le cas : [tex]m<n[/tex], il me reste le cas : [tex]m \geq n[/tex].
Pouvez vous m'aider svp ?.
Merci d'avance.

Ostap Bender

Membre

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Messages : 242

Re : Noyau d'une matrice.

Bonjour Antoine.

Dans le cas où [tex]m\geq n[/tex], n'aurais-tu pas une relation de dépendance entre tes vecteurs ?

Par ailleurs, la matrice nulle ne serait-elle pas solution de ton problème dans tous les cas ?

Ostap Bender

Antoine12

Invité

Re : Noyau d'une matrice.

Bonjour Ostap Bender :

Merci pour ta réponse.  :)
En fait, le cas de la matrice nulle ne m'intéresse pas. Donc, le cas [tex] A = 0 [/tex] est à exclure.
Supposons donc que, [tex] A \neq 0 [/tex].
Si [tex] m \geq n [/tex], alors, alors, [tex] \exists a_1, \dots , a_n , a_{n+1} , \dots , a_m \in \mathbb{R}^* [/tex] tels que : [tex] a_1 v_1 + \dots + a_m v_m = 0 [/tex], mais je ne sais pas conclure. Pouvez vous m'aider un peu plus svp ?

Merci d'avance.

Ostap Bender

Membre

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Messages : 242

Re : Noyau d'une matrice.

Bonjour Antoine.

Imaginons que ta famille [tex]v_1,\ldots,v_m[/tex] soit génératrice de [tex]{\mathbf R}^n[/tex], ce qui est presque toujours le cas, tu n'auras pas de choix : Seule la matrice [tex]A=0[/tex] sera solution du problème.

Sinon tu peux chercher une base [tex]w_1,\ldots,w_p[/tex] de l'espace engendré par [tex]v_1,\ldots,v_m[/tex], par une méthode de Gauss par exemple, et te ramener au cas précédent.

Ostap Bender

Antoine12

Invité

Re : Noyau d'une matrice.

Merci beaucoup Ostap Bender.