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#1 15-07-2016 15:13:20

Yassine
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Un jeu débile

Le thème du moment étant les probabilités, je vous propose cet exercice glané sur le net.
Je dois vous avouer que bien que je comprend la solution, je me surprend régulièrement à dérouler la réponse naïve (et fausse) de cet exercice.
Et donc, par pur sadisme, je vous donnerai la réponse naïve pour qu'elle vienne perturber votre réflexion.

On considère un jeu qui se joue à deux joueurs. Le premier joueur choisit deux nombres réels distincts comme il lui plaît (insistons bien sur ce point : les nombres ne sont pas nécessairement tirés au hasard). Puis il tire à pile ou face : si la pièce tombe sur pile, il communique le plus petit nombre au second joueur, sinon, il lui communique le plus grand. C'est la seule information dont dispose le second joueur. Son but est de déterminer si la pièce était tombée sur pile ou face, autrement dit, si l'autre nombre était plus grand ou plus petit.

On demande s'il existe une façon pour le second joueur de faire son choix qui lui assure d'avoir raison avec une probabilité strictement supérieure à 1/2.

Réponse naïve (et fausse)

C'est absolument impossible ! Tout ce qu'on communique au second joueur, c'est un nombre réel, et on lui demande de déterminer si un autre nombre réel (absolument sans rapport, et qui ne lui est pas donné) est plus grand ou plus petit. C'est absurde !

Votre mission, si vous l'acceptez, c'est de trouver une procédure (recourant éventuellement au hasard) qui donne un léger avantage au second joueur.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#2 15-07-2016 19:26:29

yoshi
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Re : Un jeu débile

Salut,

Débile ?
Non, non ! J'aime beaucoup ton problème, je le trouve très intrigant.

Pour l'instant, aucune piste ! Peut-être la nuit me portera-t-elle conseil ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#3 16-07-2016 18:41:38

Boody
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Re : Un jeu débile

Bonjour,

Pareil je ne vois pas du tout comment peut faire le joueur 2.

Alors je vais plutôt essayer de trouver la stratégie de choix des nombres du joueur 1 pour essayer de contrer, sans la connaitre, la stratégie du joueur 2.

Je choisit au hasard un réel X
je choisit au hasard le deuxième nombre Y tel que Y =  X + 1 ou Y = X - 1
Ici je prend arbitrairement un delta de 1 mais je pourrai également le choisir au hasard à chaque fois.

Puis je continue le jeu tel que décrit : tirage pile ou face et communication du plus grand ou plus petit réel.
Là je vois encore moins comment peut faire le joueur 2 (ce qui ne veut pas dire qu'il n'y a pas une solution :).

Le truc qui me gène dans mon raisonnement c'est que je ferai la même chose si le jeu était basé sur des nombres entiers, je ne vois pas si le fait de jouer avec des nombre réels change la donne et introduit une espèce de biais qui donnerait un avantage au joueur 2.

Pour l'instant j'en reste donc à la réponse naïve (et fausse) :)
A suivre

Dernière modification par Boody (16-07-2016 18:43:27)


“il n’existe que 10 sortes de personnes, celles qui comprennent le binaire et les autres.”
Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît... (just in case : ) )

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#4 17-07-2016 07:47:47

freddy
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Re : Un jeu débile

Salut,

y aurait-il un lien avec la loi de Benford ?


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#5 17-07-2016 10:36:22

Yassine
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Re : Un jeu débile

@freddy : Nope


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#6 18-07-2016 13:34:54

freddy
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Re : Un jeu débile

Salut,

s'agit-il d'un jeu répétitif ?


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#7 18-07-2016 14:10:52

Yassine
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Re : Un jeu débile

Non, la probabilité de gagner est strictement supérieur à 1/2 à chaque tour.
Il va de soi qui si on veut effectivement gagner plus de parties qu'on en perd, il faut jouer plusieurs fois (je n'ose prononcer le mot...)


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#8 18-07-2016 14:28:21

freddy
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Re : Un jeu débile

Re,

donc pas de phénomène d'apprentissage type bayésien !


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#9 18-07-2016 14:34:41

yoshi
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Re : Un jeu débile

Bonjour,

Hmmmm...
Le joueur peut-il s'adresser au tireur, ou attend-t-il "bêtement" qu'on lui donne un nombre ? et que c'est après que ça se passe...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#10 18-07-2016 14:46:15

Yassine
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Re : Un jeu débile

@freddy : Non, pas d'apprentissage. Chaque tour est strictement indépendant des autres. Il ne s'agit pas d'optimiser le nombre de parties gagnées après plusieurs parties, il s'agit de trouver une stratégie qui donne en théorie une probabilité strictement plus grande que 1/2 de gagner.

@yoshi : La seule communication a lieu lorsque le tireur communique au joueur le nombre réel et c'est la seule information donnée (en plus des règles du jeu bien sûr). Après, le joueur déploie sa stratégie (il entre en transe, appelle Mme Tessier, fait appel aux shamanes, etc.) et dis si l'autre nombre est plus grand ou plus petit que celui qu'on lui a communiqué.


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#11 18-07-2016 17:35:20

yoshi
Modo Ferox
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Re : Un jeu débile

Ave,

Bigre ! Non d'un chat (j'vais bien finir par lui offrir ma langue)...
La seule communication  se résume donc à ça :
- [tex]x \;(\in \mathbb{R})[/tex]
- ... Pile (ou Face) !

Diable, diable ! Ça fait vraiment peu...

@+


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#12 18-07-2016 18:32:43

Yassine
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Re : Un jeu débile

Re,
Non, il ne connait pas le résultat du tirage, mais juste le fait que la décision de donner le min ou le max des deux nombres a été tirée à pile ou face.


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#13 18-07-2016 19:36:35

yoshi
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Re : Un jeu débile

B'soir,

Non, il ne connait pas le résultat du tirage

Oui, oui, c'est bien clair.
Le 1er annonce un nombre et le 2nd répond par : c'est le plus petit des deux (ou le plus grand) ou en fonction de ton énoncé ou Pile (ou Face) s'il est avare de paroles...
Je ne crois pas avoir écrit autre chose...

Quand j'aurai la solution, j'essaierai de faire une simulation parce que a priori cela paraît tellement invraisemblable d'augmenter ses chances de réussite au delà de 1/2.

Pour le moment, c'est le brouillard complet...

Quoi que... Hypothèses loufoques

Si je tire moi aussi à Pile ou Face derrière, il y a 4 issues
(P,P), (P,F), (F,P), (F,F) 2 fois sur 4 je retrouve le tirage d'origine
et si je retire 1 deuxième fois à P ou F j'en ai 8 toutes équiprobables... et 4 fois sur 8  le tirage d'origine.Là je fatigue alors je n'ai peut-être pas bien vu...
Bon tout ça ne m'avance guère. Je verrai demain, si je peux ruser quand même avec un nombre impair de tirages, plusieurs pièces simultanément... ou des dés

Si vraiment, ça ne mène à rien, j'ignore combien de temps de "brainstorming", il va me falloir pour avoir une autre idée loufoque.

@+


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#14 18-07-2016 20:07:15

Yassine
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Re : Un jeu débile

@yoshi

Ce n'est pas exactement ça mais c'est une stratégie cousine !
Il faut continuer à "loufoquer"


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#15 19-07-2016 03:45:21

freddy
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Re : Un jeu débile

Salut,

une idée que je soumets à la communauté. Je fais l'hypothèse (de bon sens ?) que nous choisissons un nombre suivant un hasard qui obéirait au complémentaire à l'unité de la loi exponentielle. L'idée implicite est que plus le nombre est grand, plus faible est la probabilité que le joueur n° 1 le choisisse pour des raisons que les psycho-sociologues pourraient expliciter. Il est bien évident qu'il est nécessaire que le joueur n° 1 ne prenne pas connaissance de mon hypothèse, sans quoi la stratégie du joueur n°2 tombe à l'eau.

Je postule que l'espérance mathématique, qui est égale à l'inverse de la valeur du paramètre [tex]\lambda[/tex], est de l'ordre de 15. En jouant plusieurs fois, on peut mieux affiner cette valeur. Je retiens 15 pour des raisons pédagogiques, c'est un nombre qu'il faudrait chercher à affiner par introspection individuelle.

Connaissant le réel [tex]x[/tex] donné par le joueur n° 1, le joueur n° 2 calcule la probabilité "subjective" de son choix implicite, savoir [tex]\Pr(X \le x)=e^{-\frac{x}{15}}[/tex] et en déduit la proba que le second réel [tex]y[/tex] lui soit supérieur par [tex]1-\Pr(X \le x)[/tex].

La stratégie consiste alors à indiquer que [tex]y[/tex] est supérieur à [tex]x[/tex] ssi [tex]1-\Pr(X \le x) \lt 0{,}5[/tex], sinon, c'est [tex]y[/tex] qui est inférieur à [tex]x[/tex].

Exemple : si "1" dit 8, la "proba" de son choix est de l'ordre de 59 % et donc "2" dit que le second réel est plus grand.
S'il dit 18, sa "proba" de choix est de l'ordre de 30 % et "2" dit alors que le second réel est plus petit.

Votre avis, merci !

PS = une autre piste serait de réfléchir à l'adaptation d'une loi de Weibull.


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#16 19-07-2016 08:28:59

Terces
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Re : Un jeu débile

Salut,

Proposition 1 :

Je choisis un nombres réel, si le nombre que le joueur me sort est plus petit je dis que il a tiré pile et sinon face.


La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

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#17 19-07-2016 08:40:56

Yassine
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Re : Un jeu débile

@Terces

Tu choisis comment ton réel ?
Pourquoi est-ce que la probabilité d'avoir raison est > 1/2 ?

Tiède ;-)


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#18 19-07-2016 14:20:21

Yassine
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Re : Un jeu débile

@freddy :
Correction d'une petite coquille d'abord : $P(X \leq x)=\left[1-e^{-\lambda x})\right]1_{\{x \geq 0\}}$
Remarque de forme : tu réponds à un autre exercice. Dans l'énoncé, il est bien précisé que les deux nombre ne sont pas forcément tirés au hasard (imagine la gars avec son année de naissance et celle de son fils en tête. Les candidat défilent devant lui. Il lance une pièce et communique son année ou celle de son fils selon le résultat. Le candidat doit dire si on lui a communiqué le plus petit des deux nombres).

Une tentative de formalisation du problème pour qu'on puisse vérifier formellement les réponses des uns et des autres.
On se donne donc un espace probabilié $(\Omega,\mathcal{A}, \mathbb{P})$ et trois variables aléatoires $X$,$Y$: $\Omega \to \mathbb{R}$ et $C$: $\Omega \to \{0,1\}$. On suppose que
$\displaystyle \mathbb{P}\left[C^{-1}(\{0\})\right] = \mathbb{P}\left[C^{-1}(\{1\})\right] = \frac{1}{2}$.
On donne également une v.a. $D$ définie par $D = \min(X,Y)1_{\{C=0\}} + \max(X,Y)1_{\{C=1\}}$.

On demande de trouver une fonction $f$: $\mathbb{R} \times \Omega \to \{0,1\}$ telle que
$\mathbb{P}\big( \{\omega \in \Omega \ |\ f ( D(\omega),\omega) = C(\omega) \} \big) > \frac{1}{2}$.


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#19 19-07-2016 15:21:58

freddy
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Re : Un jeu débile

Yassine,

ma proba est le complémentaire à l'unité de celle de la loi exponentielle, donc pas d'erreur de forme !

Ensuite, je n'ai pas dit que le gus choisissait au hasard, j'ai simplement exprimé une idée qui me trottait dans la tête et qui me susurrait qu'on choisit spontanément plus facilement un nombre peu éloigné de zéro que très éloigné de zéro. Et de ça, j'en suis très convaincu (cf. loi de Benford). D'où la stratégie que je propose, après traduction de mon idée. (pour info, j'ai été (dé)formée en particulier par un bayésien pur et dur ... il en reste des traces !)

Tu fournis un contre exemple, OK, je continue à chercher :-)
Mais je trouvais mon idée assez intéressante, n'est il pas ? ;-)


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#20 19-07-2016 16:43:00

Yassine
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Re : Un jeu débile

Il doit y avoir un truc que je ne vois pas. Si pas d'erreur de forme, tu dis : $\Pr(X \le x)=e^{-\frac{x}{15}}$.

Donc, si je met $x=0$, ça donne $\Pr(X \le 0)=1$, soit la variable $X$ est négative ou nulle avec certitude
Si je prends $x=15$, ça donne $\Pr(X \le 15)=\frac{1}{e}$, plus petit que 1 alors que le nombre auquel je compare est strictement positif !
Mieux encore, si je prends $x = -15$, ça donne $\Pr(X \le -15)=e > 1$ !!

Je n'ai pas dis que ton idée n'est pas intéressante. J'ai juste dis que tu supposes une hypothèse qui n'est pas garantie. Ta réponse ne sera valable que sous cette hypothèse. Je pourrais très bien remplacer l'animateur du jeu pas un ordinateur qui n'aura aucun état d'âme.

Pour donner un contre-exemple, il me faudrait plus de détail sur ta solution. Tu dis dons ton exemple : "si "1" dit 8, la "proba" de son choix est de l'ordre de 59 %". Est-ce tu entends par là que la probabilité que l'autre nombre soit supérieur à 8 est de l'ordre de 59% ?
Dans ce cas, est-ce que l'argument n'est pas circulaire : Je suppose une certaine distribution (subjective) des choix de l'animateur, ensuite, j'utilise cette connaissance de la distribution pour déterminer si le deuxième nombre est effectivement supérieur avec une probabilité de plus de 0.5 ?
Où intervient le fait que la décision de l'animateur est prise après un lancer effectif ?

Est-ce que tu peux t'insérer dans ma formalisation pour décrire ta stratégie et montrer formellement que la proba que tu trouves est bien > 1/2 ?


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#21 19-07-2016 17:00:55

freddy
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Re : Un jeu débile

Re,

je ne te demande pas de me fournir un contre exemple, je dis "tu m'as fourni un contre exemple !" donc je relance la machine à réfléchir !
Suis au bureau, pas trop de temps. RDV ce soir, si en état !


Memento Mori ! ...

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#22 19-07-2016 17:37:18

Yassine
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Re : Un jeu débile

Sorry, j'avais pas tout compris !


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#23 19-07-2016 21:10:50

Zorblub
Invité

Re : Un jeu débile

Terces a écrit :

Salut,

Proposition 1 :

Je choisis un nombres réel a, si le nombre que le joueur me sort est plus petit je dis que il a tiré pile et sinon face.

On choisit a n'importe comment.  Du moment qu'il est strictement positif.

Il y a 3 cas

CAS I:
Si les 2 nombres sont inférieurs à a, il y a une chance sur 2 qu'il ait tiré pile et que je donne la bonne réponse

CAS II:
Si les 2 nombres sont supérieurs à a, il y a une chance sur 2 qu'il ait tiré face et que je donne la bonne réponse

CAS III:
Si un seul nombre est inférieur à a, je donnerai toujours la bonne réponse.

Conclusion: La probabilité excède 50% s'il est possible que mon nombre a soit entre les deux qu'il choisira.

#24 19-07-2016 22:39:37

Terces
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Re : Un jeu débile

Zorblub a écrit :
Terces a écrit :

Salut,

Proposition 1 :

Je choisis un nombres réel a, si le nombre que le joueur me sort est plus petit je dis que il a tiré pile et sinon face.

On choisit a n'importe comment.  Du moment qu'il est strictement positif.

Il y a 3 cas

CAS I:
Si les 2 nombres sont inférieurs à a, il y a une chance sur 2 qu'il ait tiré pile et que je donne la bonne réponse

CAS II:
Si les 2 nombres sont supérieurs à a, il y a une chance sur 2 qu'il ait tiré face et que je donne la bonne réponse

CAS III:
Si un seul nombre est inférieur à a, je donnerai toujours la bonne réponse.

Conclusion: La probabilité excède 50% s'il est possible que mon nombre a soit entre les deux qu'il choisira.

Oui, mais a peut être négatif. Dans l'énoncé on voit qu'on peut prendre des nombres négatifs... ca ne change rien au raisonnement je penses car on joue sur des différences.

Dernière modification par Terces (19-07-2016 22:44:47)


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#25 20-07-2016 06:38:04

freddy
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Re : Un jeu débile

Re,

et surtout, dans tous les cas, il a une chance [tex]\gt 0{,}50[/tex] ...


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