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#1 11-07-2016 13:25:36

freddy
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Peut - on battre le hasard ?

Hello tutti,

je sais que ce sujet va remonter une nouvelle fois la boîte à coucous de Dzl, mais je pense qu'on ne doit pas s'autocensurer en raison d'un intervenant qui s'occupe comme il peut, chaque jour que Dieu fait, entre 11 heures et 23 heures 30, sur des forums de maths qui lui laissent encore un libre accès.
En outre, c'est un petit défi que je lui lance : trouvera t-il la réponse ? ... que d'autres trouveront sûrement sans aller chercher le Pr Hartong ou la résolution du pari du Chevalier de Méré.

ÉNONCÉ

Un homme joue contre une machine 100 fois la partie suivante.

La machine écrit sur une bande de papier trois nombres entiers positifs pas nécessairement distincts [tex]x_1 \le x_2 \le x_3[/tex] tirés au hasard et dont la somme [tex]x_1+x_2+x_3=2016[/tex].

L'homme écrit sur un autre bande de papier trois nombres entiers positifs [tex]y_1 \le y_2 \le y_3[/tex], dont la somme est aussi égale à 2016, mais s'en remet à une stratégie construite de telle façon qu'elle optimise ses chances de gain défini comme ci-après*. L'homme fait en sorte de ne jamais afficher le même triplet d'entiers.

Un arbitre compare les trois suites de nombre comme suit : [tex]x_1[/tex] à [tex]y_1[/tex], [tex]x_2[/tex] à [tex]y_2[/tex] et [tex]x_3[/tex] à [tex]y_3[/tex].

*Est déclarée gagnante la liste dont deux de ses nombres sont strictement supérieurs à ceux de l'autre liste. A défaut, la partie est déclarée nulle.

Démontrer que l'espérance mathématique du nombre de parties gagnées par l'homme est au moins égale à 75.

P. S : merci à Ph. F.

Dernière modification par freddy (11-07-2016 13:46:18)


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#2 11-07-2016 15:16:19

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

ça semble intéressant comme problème.
Juste pour préciser : $x$ positif, c'est $x > 0$ ou $x \geq 0$ ?
Je ne sais pas d'ailleurs s'il y a une convention largement établie régissant l'emploi de positif, strictement positif et positif ou nul ?


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#3 11-07-2016 16:00:08

freddy
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Re,

c'est strictement positif. On peut dire aussi : un entier [tex]x[/tex] non nul. Le sujet a été écrit par un X-65, ses notations restent celles de son "temps" si je puis dire.


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#4 15-07-2016 14:54:00

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Toujours pas de progrès sur ce problème.
Je suis parti sur une piste que me semble très compliquée et je ne suis pas sûr de voir le bout !
@freddy : petite demande d'indication : est-ce que la solution est genre deux lignes où est-ce un développement un peu plus long ?


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#5 15-07-2016 17:52:41

freddy
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Re : Peut - on battre le hasard ?

@yassine,

non, c'est un problème genre "velu", donc pas deux lignes simples. Faut bien cogiter, et éviter de se prendre les pieds dans le tapis. En général, quand tu as trouvé, tu fais la roue ^-^ !!!
Sur une échelle de 1 (facile) à 5 (conjectures encore en attente de résolution), il est de force 4 = très difficile, mais pas inaccessible pour une tête bien faite :-)


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#6 19-07-2016 21:01:18

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Bon, j'ai écrit un programme python pour faire un test. Je n'arrive pas à trouver l'espérance indiquée.
Le programme construite la liste des triplets éligibles, puis simule à chaque fois un tirage de 100 triplets, avec remise pour l'ordinateur (j'invoque 100 fois la fonction random.choice(population)) et sans remise pour le joueur (j'invoque random.sample(population,100) qui me garanti une liste de 100 éléments uniques).
Avec 500 000 simulations, je trouve une espérance d'environ 50.

Je me suis peut-être planté dans mon programme (je suis preneur d'un regard critique). Sinon, il resterait deux explication, la convergence est très lente (il faudrait faire plus de simulation) ou l'énoncé est faux.
Ci-après le programme


import random as r

def get_triples():
  triples = []
  for i in range(1, int(2016/3) + 1):
    for j in range (i, int(0.5*(2016-i))+1):
      elt = (i,j,2016-i-j)
      triples.append(elt)
  return triples

def cmp_triple(a,b):
  return (a[0]>b[0] and a[1]>b[1]) or (a[0]>b[0] and a[2]>b[2]) or (a[1]>b[1] and a[2]>b[2])

def count_wins(la,lb):
  return sum([(1 if cmp_triple(la[i],lb[i]) else 0) for i in range(len(la))])
 
def calcul_esperance(longeur_liste, nb_essais):
  gain_total_joueur = 0
  population = get_triples()
  for trial in range(nb_essais):
    choix_ordi = [r.choice(population) for i in range(longeur_liste)]
    choix_joueur = r.sample(population, longeur_liste)
    gain_joueur = count_wins(choix_joueur, choix_ordi)
    gain_total_joueur = gain_total_joueur + gain_joueur
  esperance_gain = gain_total_joueur/nb_essais
  print('Esperance = ', esperance_gain)

calcul_esperance(100, 500000)
 


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#7 20-07-2016 06:34:55

freddy
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Salut,

comme je ne sais lire le code Python, quelle est la règle de construction de tes triplets ?


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#8 20-07-2016 07:18:46

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Re,
je dois choisir $0<x_1 \le x_2 \le x_3$ tq $\sum x_i = 2016$.
Pour $x_1$, j'ai la contrainte $3x_1 \le 2016$, soit $1 \le x_1 \le \frac{1}{3}2016$ Tous les choix respectant cette contrainte sont possibles.
Ensuite, pour $x_1$ choisi, j'ai la contrainte $x_1 + 2x_2 \le 2016$, soit $x_1 \le x_2 \le \frac{1}{2}(2016-x_1)$, là aussi, tous les choix sont possibles. Après, je n'ai plus de degé de liberté pour $x_3$.
J'ai donc écrit une double boucle sur $x_1$ et $x_2$.


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#9 20-07-2016 19:57:31

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

J'ai relancé avec 3 millions de simulations. Espérance scotchée à 50 !
Je ne pense pas que ce soit un problème de convergence (c'est loin de 75).

Freddy, as-tu la solution du truc ?


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#10 21-07-2016 09:54:56

freddy
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Salut,

pourquoi tu démarres à [tex]x_1 \le 672[/tex] ? peso, j'aurais commencé par[tex] x_1 \le 2016-2[/tex], puis [tex]x_2 \le 2016-x_1-1[/tex] et [tex]x_3 = 2016-x_1-x_2[/tex] .
Qu'en penses tu ? Il se peut que je t'ai mal lu aussi ...

PS : non, je n'ai pas (encore) la réponse. L'aurais-je que de toutes les façons, je laisserai un peu chercher tout le monde :-) Faut que ça reste ludique, non ?!?!


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#11 21-07-2016 10:42:59

yoshi
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Salut,


freddy a écrit :

Salut,

pourquoi tu démarres à [tex]x_1 \leq 672[/tex] ? peso, j'aurais commencé par[tex] x_1 \le 2016-2[/tex], puis [tex]x_2 \le 2016-x_1-1[/tex] et [tex]x_3 = 2016-x_1-x_2[/tex] .
Qu'en penses tu ? Il se peut que je t'ai mal lu aussi ...

Pour ma part, j'ai bien pioché son script. et surtout sa génération de triplets : elle est sans faille.
Voilà, en remplaçant 2016 par 24, l'ensemble des triplets générés :
(1, 1, 22), (1, 2, 21), (1, 3, 20), (1, 4, 19), (1, 5, 18), (1, 6, 17), (1, 7, 16), (1, 8, 15), (1, 9, 14), (1, 10, 13), (1, 11, 12), (2, 2, 20), (2, 3, 19), (2, 4, 18), (2, 5, 17), (2, 6, 16), (2, 7, 15), (2, 8, 14), (2, 9, 13), (2, 10, 12), (2, 11, 11), (3, 3, 18), (3, 4, 17), (3, 5, 16), (3, 6, 15), (3, 7, 14), (3, 8, 13), (3, 9, 12), (3, 10, 11), (4, 4, 16), (4, 5, 15), (4, 6, 14), (4, 7, 13), (4, 8, 12), (4, 9, 11), (4, 10, 10), (5, 5, 14), (5, 6, 13), (5, 7, 12), (5, 8, 11), (5, 9, 10), (6, 6, 12), (6, 7, 11), (6, 8, 10), (6, 9, 9), (7, 7, 10), (7, 8, 9), (8, 8, 8)

En vois-tu qui manquent ?
Pour 2016, il génère 338688 triplets, tu comprends que je ne te les affiche pas...

@+


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#12 21-07-2016 10:46:46

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Re,
je démarre avec $x_1 \le 672$ parce que $0 < x_1 \le x_2 \le x_2 \implies x_1+x_2+x_3 \ge 3x_1$, donc si $x_1+x_2+x_3=2016$, alors forcément $3x_1 \le 2016$ et donc $x_1 \le 672$.
Je ne demandais pas que tu publies la solution, je voulais m'assurer qu'il y a bien une solution et que tu l'as vérifiée !
Mes tentatives de résolution "théorique" sont sans succès pour le moment et ma simulation informatique ne semble pas confirmer le résultat recherché.


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#13 21-07-2016 10:54:34

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Merci pour la vérification, yoshi.

P.S. Je me faisais une petite réflexion sur le langage courant : "En vois-tu qui manquent ?" (je sais que c'est une expression courante), si l'interlocuteur "en voit", c'est qu'il ne manquent pas ! et ceux qui manquent, forcément il ne les voient pas, et pour cause !


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#14 21-07-2016 11:28:49

freddy
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Yassine a écrit :

Re,
je démarre avec $x_1 \le 672$ parce que $0 < x_1 \le x_2 \le x_2 \implies x_1+x_2+x_3 \ge 3x_1$, donc si $x_1+x_2+x_3=2016$, alors forcément $3x_1 \le 2016$ et donc $x_1 \le 672$.
Je ne demandais pas que tu publies la solution, je voulais m'assurer qu'il y a bien une solution et que tu l'as vérifiée !
Mes tentatives de résolution "théorique" sont sans succès pour le moment et ma simulation informatique ne semble pas confirmer le résultat recherché.

Re,

oui, oui, bien sûr  ! Pour moi, c'est l'ordre final qui compte, pas l'initial. Comme on dit, on fabrique les triplets puis on les ordonne pour comparer le triplet aléatoire qui sera lui même ordonné au final. D'où ma question.

Pour la solution, je sais que le pb est soluble, sinon, je ne l'aurais pas posté. Si ça t'intéresse, je peux t'en soumettre d'autres pour lesquels j'ai trouvé la solution il y a quelques années.


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#15 21-07-2016 11:39:20

yoshi
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Salut,

"En vois-tu qui manquent ?"

fil me semblait "évident" que freddy était invité à faire - manuellement - sa propre liste des triplets (sinon que pourrait-il bien voir ?) et donc de comparer un par un chacun des siens avec ceux que ton script produit et que j'ai listés ci-dessus.
S'il y en a qui manquent à l'appel, il les verra.
Dans le cas contraire, il ne verra rien et répondra : non !

J'ai essayé de faire plus rapide que ton générateur sur un autre principe...
Sur un autre principe, j'ai fait plus lent.
Sur le même principe, par contre j'ai affiné : sur ma bécane je passe de 0,125 s à 0,09 s. En valeur relative, c'est bien ; en valeur absolue pas de quoi fouetter un chat (j'aurais d'ailleurs des ennuis avec la SPA !) :

def g_triples():
  return [(i,j,2016-i-j) for i in range(1, 673) for j in range (i, (2016-i)//2+1)]

J'ai ainsi comparé (informatiquement) ta liste à la mienne :

>>> T=get_triples()
>>> T1=g_triples()
>>> print (list(set(T)-set(T1)))
[]
@+

Et bien m'en a pris, parce qu'au premier jet, j'en avais 3 de moins. Il m'a fallu un certain temps pour trouver que j'avais écrit 773 (je crois) au lieu de 673...
J'ai procédé par différence des ensembles, parce que, au départ aussi, je passais en revue chacun des 338688 triplets de T pour vérifier qu'ils étaient bien dans T1 et les afficher dans le cas contraire : prohibitif en durée. Là, c'est instantané.

J'ai donc vu que, si erreur il y avait, elle ne situait pas à ce niveau.
Après, j'ai vérifié la syntaxe de choice et sample  : tout était ok !
J'ai remplacé choice par sample (pour éviter la boucle : résultats encore conformes à ce que tu annonces.
Pourtant, si erreur il y a, elle vient bien de quelque part:
de là ou de ta def de comparaison, mais dans ce cas ça m'échappe...

@+


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#16 21-07-2016 11:42:12

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

freddy a écrit :

Salut,

pourquoi tu démarres à [tex]x_1 \le 672[/tex] ? peso, j'aurais commencé par[tex] x_1 \le 2016-2[/tex], puis [tex]x_2 \le 2016-x_1-1[/tex] et [tex]x_3 = 2016-x_1-x_2[/tex] .
Qu'en penses tu ? Il se peut que je t'ai mal lu aussi ...

Ta méthode ne construit pas des triplets ordonnés ($x_1 \le x_2 \le x_3$)

Avec la méthode que je propose, on peut même calculer le nombre théoriquement, sans simulation : $\displaystyle \sum_{i=1}^{672} \sum_{j=i}^{^\left\lfloor \frac{2016-i}{2} \right\rfloor} 1 = \sum_{i=1}^{672} \left\lfloor \frac{2016-i}{2} \right\rfloor - i + 1$

J'avais fait le calcul (ou découpe la somme en deux, indices pairs et impairs pour calculer la partie entière). Je trouve bien le nombre indiqué par yoshi.


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#17 21-07-2016 16:38:27

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Re,

yoshi a écrit :

J'ai remplacé choice par sample (pour éviter la boucle : résultats encore conformes à ce que tu annonces.

Non, il faut laisser choice (avec la boucle) pour le choix de l'ordinateur. la boucle de choice peut éventuellement sélectionner le même triplet dans les 100 qu'on tire (ce qui est requis par l'énoncé) et sample garanti (selon la doc python) un sampling sans remise (les 100 triplets seront tous distincts).

Dans le cas où le joueur et l'ordinateur ont la même stratégie, un simple argument de symétrie permet d'affirmer que l'espérance de nombre de parties gagnées par l'un ou l'autre des joueurs est inférieure à 50 (il faut enlever les parties nulles).


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#18 21-07-2016 17:25:54

yoshi
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Salut,

Le remplacement ne change rien : j'ai une espérance qui tourne toujours à [tex]50 \pm \epsilon[/tex].
J'ai testé autrement.
J'ai tiré au hasard un des triplets.
Puis j'ai testé combien j'avais de triplets gagnants en les comparants un par un avec le triplet tiré au sort...
Et je compte le nb de gains.
Soit avec
100 tirages d'1 triplet :
succes : 16003010
[tex]succes/338688 \approx 47.25[/tex]

1000 tirages d'1 triplet :
succes = 172559296
[tex]succes/3386880 \approx 50.95[/tex]
2e essai de 1000 tirages :
succes =166933792
[tex]succes/3386880 \approx 49.29[/tex]49.288

Je ne sais pas trop ce qu'est ce que j'obtiens : des % de succès ?
Ça vous inspire quoi ?

@+


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#19 22-07-2016 07:30:47

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Bonjour yoshi,

yoshi a écrit :

Salut,
Le remplacement ne change rien : j'ai une espérance qui tourne toujours à [tex]50 \pm \epsilon[/tex].

Justement, c'est toute l'interrogation que j'aie. Si le joueur et l'ordinateur ont la même stratégie, par symétrie, leurs chances de gain sont égales, et donc l'espérance inférieur à 50. L'idée de l'exercice étant que si le joueur booste sa stratégie en sélectionnant des triplets distincts, il améliore ses chances. Chose que la simulation Python ne capture pas.


yoshi a écrit :

Je ne sais pas trop ce qu'est ce que j'obtiens : des % de succès ?
Ça vous inspire quoi ?
@+

Si on note $G(a)$ le nombre de triplets "inférieurs" à $a$, alors tu mesure $\mathbb{E}[G(a)]$ lorsque $a$ est tiré au hasard parmi les triplets.
En fait, la variance de ce nombre est très grande. Par exemple, $G[(1,1,2014)]=0$, alors que $G[672, 672,672)]$ doit être très grand (et peut-être maximal ?).

Ce qui aurait été intéressant, c'est d'étudier la distribution de cette variable, mais c'est impossible de manière exhaustive (tester $0.5*(3386880 \times 3386879)$ cas !). J'avais commencé à le faire par carottage (sous Excel, et je saisissais le rang du triplet que je voulais analyser). Je n'en ai pas conclu grand chose et j'ai abandonné cette piste.


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#20 23-07-2016 15:44:49

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Bonjour à tous,
J'ai eu une idée hier. Je la soumet à votre critique.
Je pars d'abord du constat que par symétrie, si le joueur à la même stratégie que l'ordinateur, l'espérance des partie gagnées sera inférieure à 50.
Maintenant, je répète les parties jouées contre l'ordi, disons 1000 fois (une fois consistant à choisir 100 triplets pour chaque joueur, soit au total 100 000 triplets). On va supposer que le joueur "réalise" l'espérance et gagne donc 75000 comparaison de triplets (ce n'est pas très important que ce soit 75000 ou 74982 ou 75010).
L'idée est que, si le joueur s'astreint à ce que les 100 triplets qu'il tire soient uniques, rien n'oblige à ce que, pour la deuxième partie, il choisisse des triplets déjà sorti. Si bien que si je regarde ça non plus comme un choix de 100 triplets pour les 1000 parties, je peux voir ça comme un choix de 200 triplets sur 500 partie. La différence étant que cette fois-ci, les 200 triplets n'ont pas à être uniques. On se "rapproche" donc du cas où les triplets sont choisis avec remise (stratégie de l'ordi). Je dis bien qu'on se rapproche, ce n'est pas strictement équivalent. Mais le côté "améliorateur" lié à l'unicité des triplets se dilue. Et on devrait donc se rapprocher de l'égalité des chances entre joueur et ordi.
On peut répéter le procédé en considérant 500 triplets sur 200 parties, ce qui dilue encore plus la stratégie d'unicité, et pourtant, si on compte les partie gagnées, on est toujours à 75000 !!!
Il y a décidément un truc que je ne vois pas avec cet exercice !


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#21 24-07-2016 09:45:56

Dlzlogic
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Bonjour,
Si j'avais envie de jouer,
je prendrais x1=1 ; x2 = 1007 ; x2=1008
au coup suivant x1= 2 ; x2 = 1007 ; x2=1007 
au coup suivant x1= 3 ; x2 = 1006 ; x2=1007 
au coup suivant x1= 4 ; x2 = 1006 ; x2=1006
etc.
au 100è coup x1= 100 ; x2 = 958 ; x2=958

Je pense que c'est la maximum de chance d'être supérieur à la machine.   
Mais, il y a forcément un homme qui va dire à la machine comment faire.
A quelle étape intervient le hasard ?

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#22 24-07-2016 10:41:06

freddy
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Salut,

pas bien compris le raisonnement de yassine, mais en même temps, peu de temps pour cogiter en ce moment.
Le jeu dit que l'homme trouve une stratégie pour un jeu qui se déroule en 100 parties.
Donc trouver cette stratégie et en calculer sa proba.

Je reprends l'idée de ci-dessus. Quelle est la proba que le premier triplet soit battu par la machine, ainsi que le second, le troisième ... C'est un peu ça que j'ai en tête aussi, c'est peut être ce que yassine et yoshi ont calculé.
A suivre !


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#23 24-07-2016 19:26:57

Yassine
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Je pense que je n'ai pas bien compris l'énoncé.
Est-ce que l'homme tire au hasard un triplet avec la contrainte de ne pas tirer deux fois le même triplet sur un lot de 100
ou est-ce que l'homme choisit 100 triplets distincts de manière à maximiser le nombre de parties gagnées ?


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#24 24-07-2016 19:41:17

freddy
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Re : Peut - on battre le hasard ?

Re,

option 2 : la machine tire au sort, l'homme décide.


Memento Mori ! ...

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#25 24-07-2016 19:56:47

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 976

Re : Peut - on battre le hasard ?

Saperlipopette !!
Depuis un moment, je tourne en rond parce que je supposais que le gars devait tirer également au hasard, avec comme seule contrainte/stratégie le fait que ça doit être un tirage sans remise.
Bon, je recommence.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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