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#1 10-07-2016 18:55:51

Lily04
Invité

Résolution d'équation

Bonjour, pourriez vous m'aider à résoudre cette équation ? il s'agit de trouver les valeurs de m

5mx² + 6mx + 2x² -5m -8 =0

Merci

#2 10-07-2016 20:04:12

Ostap Bender
Membre
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Re : Résolution d'équation

Bonsoir Lily.

Quelle est l'inconnue de ton équation ?

Ostap Bender

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#3 10-07-2016 20:16:49

Lily04
Invité

Re : Résolution d'équation

Bonsoir,
la question initiale est :
Soit la fonction f : x → (mx²-2x+m)/(x²+5x+4) (m ∈ R ).
Existe-t-il des valeurs de m pour lesquelles f possède un et un seul extremum ?
Si oui, quelles sont ces valeurs ?

J'ai donc fait la dérivée de la fonction. Puis je l'égalise à 0 ce qui revient à égaliser le numérateur à 0. Afin de vérifier où la fonction f est croissante dans son domaine ⇔ ∀ x ∈ dom f : f ’(x) ≥ 0

#4 10-07-2016 20:36:07

Ostap Bender
Membre
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Re : Résolution d'équation

Qu'il n'y ait pas de malentendu.

Tu peux me rappeler la dérivée de [tex]x\longmapsto\dfrac{mx^2-2x+m}{x^2+5x+4}[/tex] ?

Ostap Bender

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#5 10-07-2016 21:23:55

Dlzlogic
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Re : Résolution d'équation

Bonsoir,
A mon avis l'énoncé de l'exercice est clair et bien formulé.
D'abord, il y a le terme "extrémum". A quoi fait-il allusion ?
Vous avez calculé la dérivée de la fonction f, c'est pas une mauvaise idée. Ce serait une bonne idée si vous disiez pourquoi. Je précise ma question : que représente la dérivée d'une fonction ?
Ma vieille définition : c'est la limite de (f(x)-f(x0))/(x-x0), quand x tend vers x0. Et quelle est votre définition, à vous ?
Bon calcul.

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#6 11-07-2016 10:13:22

yoshi
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Re : Résolution d'équation

Bonjour,

J'ai une sainte horreur que quelqu'un intervienne après un "primo-intervenant"
- sans savoir ce que ledit primo-intervenant a derrière la tête,
- pour faire de la paraphrase ou risquer de conduire le demandeur sur une autre piste (et donc de l'embrouiller).
J'appelle ça le syndrome de la mouche du coche !

En l'occurrence, Ostap Bender n'a pas dévoilé le fond de sa pensée lorsque je lis cette question :

Tu peux me rappeler la dérivée de [tex]x\longmapsto\dfrac{mx^2-2x+m}{x^2+5x+4}[/tex] ?

Hier soir, j'ai posté une réponse détaillée, puis je me suis aperçu qu'Ostap Bender avait pris les choses en main et ne voulant pas lui "brouiller l'écoute", j'ai supprimé ma réponse en lui laissant le champ libre...
Moi, à la place de Lily04, je te ferai savoir, Dlz, que ta réponse ne m'aide pas beaucoup...

A l'avenir, abstiens-toi, merci.

     Yoshi
- Modérateur -


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#7 12-07-2016 17:06:34

yoshi
Modo Ferox
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Re : Résolution d'équation

Bonjour,

Il semble que Lily04 ait oublié la question posée ou qu'elle soit empêchée...

@+

[EDIT]
Bin, un doute m'a pris, j'ai tenté une recherche et j'ai trouvé : de l'aide a été demandée ailleurs, le même jour, on lui a presque fait le boulot, sauf que personne n'a eu l'idée de poser les questions de Ostap Bender, donc  les réponses demandent à être précisées :
ce n'est pas la même chose de chercher à résoudre en fonction de m
[tex](5m+2)x^2+6mx-5m-8 =0[/tex] ex abrupto
et de chercher pour quelle(s) valeur(s) de m [tex]f(x)=\frac{mx^2-2x+m}{x^2+5x+4}[/tex] n'a qu'un extremum...
Certes,
[tex]f'(x)=\frac{(5m+2)x^2+6mx-5m-8}{(x^2+5x+4)^2}[/tex]
et si [tex](5m+2)x^2+6mx-5m-8 = 0[/tex] il y a extremum...

Et pourtant ne pas avoir connaissance de cela, empêche de répondre de façon appropriée...

Laissons encore 24 h à la miss pour venir chercher sa réponse et on fera le boulot, pour la postérité...

[EDIT2] Ayé, j'ai peut-être trouvé le pourquoi du dernier questionnement d'Ostap (je m'interrogeais toujours !) ; il y avait de quoi (sauf si c'était là un morceau de question suivante)...
J'avais zappé cette phrase :

Lily04 a écrit :

Puis je l'égalise à 0 ce qui revient à égaliser le numérateur à 0. Afin de vérifier où la fonction f est croissante dans son domaine ⇔ ∀ x ∈ dom f : f ’(x) ≥ 0

Dernière modification par yoshi (12-07-2016 17:27:27)


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#8 13-07-2016 05:18:02

freddy
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Re : Résolution d'équation

Salut yoshi,

je crois qu'on a eu droit à une question genre "dépose rapide".

Pourtant, le sujet, que l'auteur ne semble pas maîtriser (cf. la remarque relative à la croissance de la fonction), est techniquement compliqué : trouver les valeurs de [tex]m[/tex] pour lesquelles [tex]f'[/tex] n'admet qu'un seul zéro, ce qui renvoie à la recherche d'une valeur précise du discriminant, fonction de [tex]m[/tex], de l'équation du second degré du numérateur de la dérivée.

J'ai tenté de travailler avec [tex]\frac{mx^2-2x+m}{x^2+5x+4}=m+\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x+4}[/tex], [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] à identifier, mais ça ne simplifie pas le sujet.


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#9 13-07-2016 09:34:36

yoshi
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Re : Résolution d'équation

B'jour,

je crois qu'on a eu droit à une question genre "dépose rapide".

J'aime beaucoup la formule ^_^

Ainsi que je l'ai dit plus haut, j'avais fait le job dans le plus pur classicisme de ce que j'avais appris à faire en 1ere : discuter l'existence et les signes des racines selon les valeurs de m (ou formulation approchante, je ne sais plus trop : ça date d'à peu près 5 décades...).
J'ai repris ensuite sachant qu'il s'agissait du numérateur d'une dérivée : j'ai voulu m'assurer que cette dérivée était juste..
Elle l'était.
Pour répondre correctement, il fallait aussi connaître [tex]Df =\mathbb{R}- \{-4,-1\}[/tex].
Donc je me suis penché sur :
[tex](5m+2)x^2+6mx -(5m+8)=0[/tex]
J'ai calculé le discriminant réduit :
[tex]\Delta' = (-3m)^2+(5m+2)(5m+8) = 34m^2+50m+16[/tex]
dont j'ai cherché les racines..
Il y en avait une dite "évidente" : -1  (34-50+16=0)
Le produit des racines étant :[tex] \frac{16}{34}=\frac{8}{17}[/tex], la 2e solution est donc [tex]-\frac{8}{17}[/tex]

Il en résultait donc que
1. Pour [tex]-\frac{8}{17}< m <-1[/tex], [tex]\Delta' < 0[/tex], l'équation n'a pas de solutions
2. Pour [tex]m = -\frac{8}{17}[/tex] et m = -1, [tex]\Delta' = 0[/tex], l'équation a aurait une racine double.
    a) Si m=-1, l'équation s'écrit [tex]-3x^2-6x-3 = 0\;\Leftrightarrow\;x^2+2x+1=0[/tex] et la solution de l'équation est x = -1.
        Mais, x=-1 est justement une valeur hors domaine de définition : c'est là que l'information non donnée au début, prenait toute son
        importance...
    b) Si [tex]m = -\frac{8}{17}[/tex], on a  [tex]\left(-\frac{40}{17}+2\right)x^2-\frac{48}{17}x-\left(-\frac{40}{17}+8\right)=0[/tex]
        Soit [tex]-\frac{6}{17}x^2-\frac{48}{17}x-\frac{96}{17}=0\;\Leftrightarrow\;x^2+8x+16=0[/tex] qui donne x = -4, solution à    rejeter également, pour la même
        raison que précédemment...
3. Pour [tex]m \in\; ]-\infty\;;\;-4[\;\cup\;]-1\;;\;+\infty[[/tex], [tex]\Delta' > 0[/tex], l'équation a deux solutions...
   Or, cela signifie que la dérivée s'annule deux fois et qu'il y a donc 2 extrema et pas un seul...

En foi de quoi, la réponse à la vraie question est : on ne  peut trouver aucune valeur de m pour laquelle la courbe [tex]C_f[/tex] ait un seul extremum...

Et ça m'ennuie...

Je vais donc revoir cela d'un peu plus près, une rreur de calcul étant toujours possible.

@+


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#10 13-07-2016 10:18:29

freddy
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Re : Résolution d'équation

S'lut,

je pense que tu peux le finir, dans le bien de tous ceux qui viendront lire !


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#11 13-07-2016 10:30:58

yoshi
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Re : Résolution d'équation

Re,

C'est - en principe - fait...
Il y avait eu une publication intempestive qui faisait croire que je m'étais arrêté en chemin.

@+


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#12 13-07-2016 11:48:35

tibo
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Re : Résolution d'équation

Salut,

Je l'ai entièrement refait pour le fun.
Aucune erreur dans les calculs de Yoshi a priori.

Il manque un cas

Mais, il manque le cas où $\displaystyle m=-\frac{2}{5}$
Dans ce cas le numérateur de la dérivée est une fonction affine qui s'annule en un unique point, et en changeant de signe.
Donc un unique extremum.

C'est un piège classique... quand on a l'habitude.

Dernière modification par tibo (13-07-2016 12:39:12)


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#13 13-07-2016 12:14:44

yoshi
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Re : Résolution d'équation

Salut,

@tibo clap ! clap ! Pas pensé à ça... D'ailleurs, je ne me souviens pas avoir rencontré ce cas. Et quand bien même, pourquoi cela m'a-t-il échappé ?
Maintenant, je ne suis plus ennuyé par la conclusion...

Merci

@+


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#14 13-07-2016 12:39:19

tibo
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Re : Résolution d'équation

Je me pose la question quand même...
Dans les cas où m=-1 et m=-8/17, la fonction f se simplifie et devient une fonction homographique.
Ca ne change rien au fait qu'il n'existe pas d'extremum.
Mais ne faudrait-il pas dissocier ces cas dés le début de l'étude?

[edit]
Par exemple pour m=-1
$\displaystyle f(x)=\frac{-x^2-2x-1}{x^2+5x+4}=-\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x+4)}=-\frac{x+1}{x+4}$
Dans le cas de cet exercice, ça ne change pas grand chose, mais pour une étude complète de f ça change pas mal de chose...


PS : @freddy : signe "-" ajouté

Dernière modification par tibo (13-07-2016 13:14:38)


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#15 13-07-2016 13:00:52

freddy
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Re : Résolution d'équation

Re,

ben si, une fonction homographique n'admet pas d'extrémum, par construction, non ?

PS : @tibo, tu as "oublié le signe "-"  dans le dernier terme !

Dernière modification par freddy (13-07-2016 13:02:03)


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#16 13-07-2016 13:12:49

tibo
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Re : Résolution d'équation

En effet, ça ne change rien à l'exercice : f n'admet pas d'extremum dans ces cas.

Mais dans le cas d'une étude complète de la fonction f, aucun des calculs fait précédemment me semble pertinent. Notamment, l'ensemble de définition n'est plus bon, et tous les calculs de discriminent servent à rien...

En fait, je pinaille un peu, mais surtout parce que je ne sais pas trop si on a le droit de simplifier f comme ça.
A-t-on vraiment $\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x+4}$ si m=-1?

Dernière modification par tibo (13-07-2016 13:13:25)


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#17 13-07-2016 13:14:15

freddy
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Re : Résolution d'équation

Re,

ben oui, c'est sûr puisque [tex]x +1 \ne 0[/tex] donc tu peux simplifier haut et bas par un terme non nul !


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#18 13-07-2016 13:40:48

yoshi
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Re : Résolution d'équation

Ave,

@tibo : qu'est-ce tu entends par "début" de l'étude ?
Parce que [tex]-1[/tex] et [tex]-\frac{8}{17}[/tex] n'apparaissent qu'après calcul de la dérivée et du discriminant de son numérateur en fonction de m ?
Si c'est avant, tu le sortirais d'où le [tex]-\frac{8}{17}[/tex] ?
En outre !

tibo a écrit :

Dans les cas où m=-1 et m=-8/17, la fonction f se simplifie et devient une fonction homographique.

Nan, pas f mais f'.
[tex]f(x)=\frac{mx^2-2x+m}{x^2+5x+4}[/tex] et  [tex]f'(x)=\frac{(5m+2)x^2+6mx-(5m+8)}{x^2+5x+4}[/tex]

Pour m=-1, d'accord c'st simple à voir...
[tex]f(x)= \frac{-x^2-2x-1}{x^2+5x+4} = -\frac{(x+1)^2}{(x+1)(x+4)}=-\frac{x+1}{x+4}[/tex]

Et je me réponds en fait...
Il faut partir à l'envers et chercher pour quelle(s) valeur de m,  -1 ou -4 sont solutions de [tex]mx^2-2x+m=0[/tex] auquel cas  f'(x) se simplifie et f devient une simple fonction homographique  et n'a pas d'extremum.
Après, d'accord on voit le cas m= -2/5... 1 réponse.
Et la question que je me pose, à ce stade, moi est : peut-on faire l'économie du calcul de la dérivée et du discriminant du numérateur ?
Autrement dit, as-tu la certitude absolue, avant de calculer la dérivée que le discriminant de son numérateur sera nul pour -1 et -8/17, valeurs déjà trouvées ? Si oui, pourquoi ? Est-ce un cas particulier ou est-ce toujours vrai ?

@+


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#19 13-07-2016 14:39:09

tibo
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Re : Résolution d'équation

Excellentes questions...

Une image aidera peut-être...
206040bib1.png


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#20 13-07-2016 15:06:09

yoshi
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Re : Résolution d'équation

Salut,

Joli travail ! Geogebra ?
Mais, non, ça ne répond pas à mes questions. De plus, tu es bien placé pour savoir qu'un dessin n'est pas une preuve admise....
J'ai du mal.

@+


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#21 13-07-2016 16:30:49

tibo
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Re : Résolution d'équation

Re,

Yep c'est du geogebra.

Je n'ai aucune idée de la réponse à tes questions. Mon dessin se voulait juste de visualiser un peu ce que l'on manipule depuis le début. Mais en effet ça n'aide pas beaucoup.
J'essaierai d'y réfléchir...


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#22 14-07-2016 07:58:56

freddy
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Re : Résolution d'équation

Salut yoshi,

Pour répondre à ta question, on remarque que [tex]\frac{mx^2-2x+m}{x^2+5x+4}=m+\frac{2}{3}\times \frac{m+1}{x+1}-\frac{1}{3}\times\frac{17m+8}{x+4}[/tex].

La dérivée est immédiate [tex] \forall x \notin \{-4,-1\},\; f'(x)=-\frac{2}{3}\times \frac{m+1}{(x+1)^2}+\frac{1}{3}\times\frac{17m+8}{(x+4)^2}[/tex], et on engage la discussion sur [tex]m[/tex].


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#23 15-07-2016 09:41:52

freddy
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Re : Résolution d'équation

Re,

pour trouver la pertinente remarque de tibo, il eût fallu mener explicitement tous les calculs des zéros de la dérivée à leur terme.

En effet, on a [tex]x_{1,2} = \frac{-3m \pm \sqrt{2} \sqrt{17m^2+25m+8}}{5m+2}[/tex]

de sorte qu'il y avait deux cas à étudier :
1) les conséquences de l'hypothèse [tex]5m+2=0[/tex] => voir tibo
2) poser [tex]5m+2 \ne 0[/tex], et chercher la racine double du discriminant => voir yoshi

PS : je me demandais depuis le début pourquoi le 1) ne sautait pas aux yeux exercés, je viens de trouver. Ça ressemble bien à un exo de type TC

Dernière modification par freddy (15-07-2016 09:44:53)


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#24 15-07-2016 10:29:29

yoshi
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Re : Résolution d'équation

Salut freddy,

Bravo...

Je pense donc que l'exercice a été conçu (chapeau !) volontairement pour que les racines doubles de m du discriminant du numérateur de la dérivée  donnent des solutions pour x figurant parmi les valeurs exclues...
Mais il faut que je réfléchisse davantage à cette question-ci : y avait-il un raisonnement qui permettait de se passer de tout le bazar que j'ai fait ?.

C'était quand même un exercice "vicelard"...^_^
Qu'est-ce que c'est TC ? Term C qui précéda TS ?

@+


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#25 15-07-2016 10:41:38

freddy
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Re : Résolution d'équation

Re,

oui, oui, Term C, années 72 et suivantes, genre exo bac à 4 points sur 20 !


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