tan(x) - x

dike · 21-06-2016 16:38:33

Bonjour,

Je n'ai décidément plus les idées très fraiches pour la trigonométrie.

Aussi, quelqu'un pourrait-il svp m'indiquer comment extraire x de :

a = tan(x) - x

"a" étant connu.

Merci d'avance et à bientôt :)

dike

Dlzlogic · 21-06-2016 18:42:37

Bonjour,
Sauf cas particulier, et il semble que ce n'en est pas un, on considère généralement que ce type d'équation ne peut pas être résolu par des méthodes analytiques.
Vous pouvez tout de même essayer de remplacer tg par sin/cos et voir si vous arrivez à la mettre sous la forme a sin x + b cos x = c
mais j'y crois pas trop.
La méthode classique de résolution est la méthode de Newton.

freddy · 21-06-2016 19:31:06

Salut,

aucun moyen analytique, par définition de la fonction tangente.
Il faut commencer par tracer la courbe de y=tan(x) et celle de y=x sur le même graphique pour "intuiter" la solution en fonction des valeurs possibles du paramètre "a" (ce qu'on appelle une discussion). Par exemple, si a=0, alors x = ?

Dlzlogic · 21-06-2016 19:50:06

Pour avoir une valeur approchée de départ, on peut aussi utiliser le début du DL de tg x = x + x^3 /3 + ...
alors a ~ x + x^3/3 - x
x ~ 3 . a ^1/3

leon1789 · 21-06-2016 20:03:30

Ave !

Utiliser le DL de $tan(x)= x + x^3 /3 +...$ fonctionne seulement si x est proche de 0... (ne pas oublier les hypothèses des formules !!)

Plus généralement (mais pas sûr à 100%), pour une solution approchée de départ, prendre x =arctan(a) car tan(x) domine souvent x, si on peut dire.

Exemple :

10 = tan(x)-x donne par exemple x = 1.483937275

et arctan(10.) = 1.471127674

alors que 3 * 10^(1/3.) = 6.463304070 est loin de toute solution.

Dernière modification par leon1789 (21-06-2016 23:11:53)

leon1789 · 21-06-2016 20:32:01

dike a écrit :

Aussi, quelqu'un pourrait-il svp m'indiquer comment extraire x de :
a = tan(x) - x
"a" étant connu.

Il y a toujours une infinité de solutions, donc il faut également indiquer dans quel intervalle pour la chercher. Par exemple entre -pi/2 et pi/2 ?

Dlzlogic · 21-06-2016 21:54:21

Bon, je crois que le problème est mal posé.
Soit il s'agit d'un exercice, alors on ne peut pas connaitre la bonne réponse, puisqu'elle dépend d'un énoncé complet, soit il s'agit d'une question générale, alors la méthode à employer est la méthode Newton, cette méthode nécessite une valeur de départ, il n'y a ni technique meilleure, ni technique moins bonne.
Trois techniques ont été décrites, la méthode graphique, la méthode du DL, la méthode de l'inversion de la tangente. Il y a une autre technique qui n'a pas été évoquée, celle de la fléchette.
Le fait qu'il y ait une infinité de solutions est un problème annexe. Le seul vrai problème est de savoir ce qu'on cherche et comment le calculer.

leon1789 · 22-06-2016 04:56:57

Toujours autant d'affirmations qui partent dans tous les sens (à mes yeux)... Juste en passant, la méthode de Newton ne convergence pas toujours, il y a des hypothèses pour cela ! Avant de parler de cette méthode (qui n'intéresse peut-être pas dike), se demander si ces hypothèses sont vérifiées ici...

Bref, la seule chose à retenir est que dike doit, en effet, préciser ce qu'il entend par "extraire x" .

Yassine · 22-06-2016 09:15:16

Je connais une méthode analytique pour résoudre le problème ;-)

▼Tadaaa

dike · 22-06-2016 10:20:06

Merci à tous pour la richesse de vos informations. Pour répondre à l'une de vos questions, x est compris dans l'intervalle -pi/2 à pi/2.

Quant au reste, ceci est destiné à être informatisé, aussi, je compte résoudre mon cas en faisant mon propre algorithme de recherche dichotomique sur x en tolérant naturellement une légère erreur, à définir laquelle est acceptable.

C'est probablement le chemin le plus simple vers la solution.

Cordialement :)

freddy · 22-06-2016 11:34:10

Re,

dans ce cas, programme la méthode de la sécante de Newton - Raphson, ou celle de la demi sécante (voir wiki ou autre sur les conditions et la vitesse de convergence). Et surtout, vérifie que le conditions d'application soient bien remplies.

Dernier point : pourquoi les gars nous posent - ils toujours des questions "incomplètes" ? ... en oubliant parfois une information essentielle ... Je ne comprendrai jamais !

leon1789 · 22-06-2016 11:34:25

ok !
Comme x est compris entre -pi/2 et pi/2, on sait qu'il n'y a qu'une et une solution à votre équation.
De plus, comme vous parlez d'algorithme de recherche dichotomique, cela signifie entre autre que vous voulez une solution approchée (avec une légère erreur, majorée par exemple).
Tout cela vient en complément à votre premier message, et c'est important.

L'algorithme dichotomique est effectivement très simple et rapide (convergence exponentielle), mais la méthode de Newton (avec un germe bien choisi) est beaucoup plus rapide encore (convergence doublement exponentielle dans votre cas, sauf si a=0 car la solution est de "multiplicité" 3, mais si a=0 alors la solution est évidente...).

Comme germe pour la méthode de Newton dans l'intervalle $]-\pi/2, \pi/2[$, il est clair que $x_0 = \arctan(a)$ est un bon choix :
on peut montrer que la solution x cherchée se trouve dans l'intervalle $]x_0-0.6 , x_0+0.6[$
Cet intervalle $]\arctan(a)-0.6 , \arctan(a)+0.6[$ peut même servir comme intervalle initial à la méthode par dichotomie !

EDIT : arf, grillé par Freddy pour 15 secondes !

Dernière modification par leon1789 (22-06-2016 11:37:57)

freddy · 22-06-2016 11:35:39

Yassine a écrit :

Je connais une méthode analytique pour résoudre le problème ;-)
▼Tadaaa
Je décrète que la fonction $man(x)=tan(x)-x$ est tout aussi importante que $cos(x)$ ou $exp(x)$. Elle est bijective de $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \mapsto \mathbb{R}$, $C^{\infty}$ et analytique . Je défends son droit à sortir de l'anonymat. Du coup, sa réciproque $superman(x)=man^{-1}(x)$ gagne également ses lettres de noblesse. Dès lors, la solution du problème s'exprime "analytiquement" comme $x=superman(a)$ !!
Bref, vous l'aurez compris, cette notion de solution "analytique" est très floue. Même $\sqrt{2}$ requiert des méthodes numériques pour en donner une valeur approchée. L'analyse est d'ailleurs définie comme "La science de l'approximation".

Très marrant :-)))

dike · 22-06-2016 12:04:28

Super, je ne connaissais pas la méthode de Newton :-) c'est très intéressant !!

leon1789 · 22-06-2016 21:04:56

En étudiant un peu le comportement de la méthode de Newton dans votre problème, il vaut mieux prendre le germe
$x_0 = 1 \qquad$ si $0 \leq a \leq \tan(1)$,
$x_0 = -1 \qquad$ si $0 \geq a \geq -\tan(1)$,
$x_0 = \arctan(a)\qquad$ si $|a| \geq \tan(1)$.

Dernière modification par leon1789 (22-06-2016 21:32:04)

dike · 06-07-2016 15:06:14

Yassine a écrit :

L'analyse est d'ailleurs définie comme "La science de l'approximation".

Yassine, si tu vois mon message, pourrais-tu stp me dire où trouver plus d'information sur ce "versant" de l'analyse ("science de l'approximation"). Ca a l'air très intéressant :)

Yassine · 06-07-2016 15:36:07

Bonjour Dike,
Je n'ai pas de références spéciales sur ce sujet. J'ai repris une définition de mon prof de prépa.
L'analyse s'intéresse essentiellement à la limite de suites ou de fonctions, et on essaie d'obtenir le plus d'informations sur cette limite (notion d'équivalent, d'asymptotes, développement limité, ...)
Les méthodes variationnelles et la théorie des perturbations sont également des outils puissants de résolution approchée des équations différentielles, très utilisés en physique.
Il existe également tout un tas de travaux sur la discrétisation des équations différentielles (schémas de discrétisation, stabilité et convergence, etc).

dike · 14-07-2016 17:31:55

Yassine a écrit :

Les méthodes variationnelles et la théorie des perturbations sont également des outils puissants de résolution approchée des équations différentielles, très utilisés en physique.

Merci bien, Yassine, et pourrais-tu stp encore m'indiquer un bon livre - si possible en français - pour les méthodes variationnelles ? Si j'ai bien compris, il concernera du coup nécessairement la théorie des perturbations, ou alors faudra-t-il que tu me conseilles deux ouvrages...

A+

Dike :)

Yassine · 14-07-2016 18:41:55

Bonjour Dike,
Tu peux regarder ce poly en ligne
Et celui-ci sur la théorie des perturbations, malheureusement en anglais (ne je sais pas s'il y a une traduction en français).

dike · 15-07-2016 14:06:55

Super ! Je vais tâcher d'examiner cela ces vacances ; merci bien Yassine. Si j'ai bien compris, tu es un (ou une ?) connaisseur en matière d'élasticité. C'est un sujet que je creuse actuellement :)

Dernière modification par dike (15-07-2016 14:07:19)

dike · 08-08-2016 13:44:18

leon1789 a écrit :

En étudiant un peu le comportement de la méthode de Newton dans votre problème, il vaut mieux prendre le germe
$x_0 = 1 \qquad$ si $0 \leq a \leq \tan(1)$,
$x_0 = -1 \qquad$ si $0 \geq a \geq -\tan(1)$,
$x_0 = \arctan(a)\qquad$ si $|a| \geq \tan(1)$.

Bonjour après cette courte pause estivale.

leon1789 est-il dans les parages ? Je demande ça car j'essaye de comprendre par quel cheminement on aboutit à ces germes de départ.

A+ & cordialement,

dike

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