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amine123

Invité

Reduction du nombre de coordonnés d'un polynome

Bonjour,

j'ai des difficultés à comprendre ce problème en anglais:

Let [tex]V(Y)[/tex] belong to [tex]\mathbb{R}[Y_1,...,Y_d][/tex].

Prove that one can find an affine change of coordinate [tex]Y=AX+B, (X_1,..,X_d)[/tex] on [tex]\mathbb{R}^d[/tex] and [tex]n(V)\in \mathbb{N}[/tex] such that:

1) for all [tex]j\in \left\{ 1,..,n(V)\right\} \;we \;have\; \partial_{X_j}= constant[/tex]

2)for [tex]j\in \left\{n(V)+1,..,d\right\}[/tex], there existe [tex]f_j\in \mathbb{R}[X_{j+1},...,X_d][/tex] such that

[tex]X_j+f_j(X_{j+1},..,X_d)\in span\left\{\partial_x^{\alpha},|\alpha|\ge 1,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}
[/tex]
Indication:consider the linear mapping [tex]\partial_{y_j}, j=1,..,d[/tex] which send the finite dimentional vector space [tex]F_p=span\left\{\partial_Y^{\alpha}V,|\alpha|\ge p\right\}[/tex] into [tex]F_{p+1}[/tex] and construct the [tex]X_j[/tex]'s coordinate by reverse induction in a Jordan approch.

Pouvez vous s'il vous plait m'aider à le résoudre?Merci

Dernière modification par yoshi (21-06-2016 16:18:12)

amine123

Invité

Re : Reduction du nombre de coordonnés d'un polynome

Exemple:
[tex]V(Y)=V(Y_1,Y_2)=(Y_1^2+2Y_1+1)+(Y_2^2-2Y_2+1)=g(X)[/tex]
avec [tex]g(X)=g(X_1,X_2)=X_1^2+X_2^2[/tex]$ et $X_1=(Y_1+1), X_2=(Y_2-1)

ici [tex]X=Id_{M_2(R)}Y+(1,-1)[/tex] ou encore [tex]Y=Id_{M_2(R)}X+(-1,1)[/tex]

Yassine

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Re : Reduction du nombre de coordonnés d'un polynome

Salut Amine,
Pourrais-tu corriger les quelques typos dans ton énoncé.
Deux coquilles que j'ai relevées :
1- Tu écris : $\forall j\in \left\{n(V)+1,..,d\right\}$, il existe $f_j\in \mathbb{R}[X_{j+1},...,X_d]$ ...
Si $j=d$, la notation $\mathbb{R}[X_{j+1},...,X_d]$ n'a pas de sens.

2- Tu écris $X_j+f_j(X_{j+1},..,X_d)\in span\left\{\partial_x^{\alpha},|\alpha|\ge 1,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}$, j'imagine qu'au lieu de $\partial_x^{\alpha}$, tu voulais écrire $\partial_X^{\alpha}V$ ($X$ majuscule pour signifier qu'on dérive par rapport aux $X_i$ et dérivée appliquée à $V$).

Intuitivement, je pense qu'il faudra raisonner sur les noyaux des endomorphismes $Ker(\partial_{Y_j})$. La fonction $f_j$ recherchée appartient à l'ensemble $\cap_{i=1}^j Ker(\partial_{Y_j})$. Il faudra donc montrer que le sous espace vectoriel $span\left\{\partial_x^{\alpha},|\alpha|\ge 1,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}$ s'écrie comme une somme directe de $span\{\cap_{i=1}^j Ker(\partial_{Y_j})\}$ et d'un sous espace de dimension $1$, du coup, $X_j$ sera choisi comme étant une base de ce dernier sous-EV.

Les quelques points auxquels j'ai pensé qui pourraient aider :
1 - $F_{p+1} \subset F_p$.
2- Il doit exister un $p$ tel que $F_p = \mathbb{R}$. J'ai le sentime que c'est à partir de ce $F_p$ qu'il faudra remonter jusqu'à $F_0$ (reverse induction)
3- $A$ étant la matrice d'un changement de coordonnées, il me semble que $span\left\{\partial_X^{\alpha}V,|\alpha|\ge p,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}$ soit égal à $span\left\{\partial_Y^{\alpha}V,|\alpha|\ge p,\alpha\in\mathbb{N}^d\right\}$

--EDIT--
$\cap_{i=1}^j Ker(\partial_{Y_j})$ à la place de $\cup_{i=1}^j Ker(\partial_{Y_j})$

Dernière modification par Yassine (22-06-2016 19:25:33)

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel