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#1 12-11-2005 17:55:28

Donzougue
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[Résolu] Triangle équilatéral dans un plan complexe

Bonjour.

   J'ai un soucis avec un exercice sur les nombres complexe, voici l'énoncé :

"Pour tout complexe z distinct de 1, on appelle A, M et M' les points d'affixes respectives 1, z, z² dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O , u , v).
  Déterminer les points M du plan tels que le triangle AMM' soit équilatéral."

    J'ai essayé d'utiliser les rapports des modules mais je trouve pas grand chose comme ça... Je ne sais pas si je suis parti dans la mauvaise direction ou si c'est juste que je n'y arrive pas... quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci. (si vous voulez en discuter sur msn mon adresse c'est mon pseudo @hotmail.com)

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#2 12-11-2005 18:05:46

Au
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Messages : 22

Re : [Résolu] Triangle équilatéral dans un plan complexe

il y a beaucoup de façons de faire. Peut être que pour toi le mieux est d'écrire l'égalité des distances (car ce qui par exemple caractérise un triangle équilatéral c'est que les 3 côtés ont la même longueur) à l'aide des modules (cela va te donner 3 équations que tu peux facilement résoudre)
module de (z-1)=module(z-z^2)=module(z^2-1)

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#3 12-11-2005 18:31:38

Donzougue
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Re : [Résolu] Triangle équilatéral dans un plan complexe

Heu... en fait j'ai déjà essayé comme ça mais j'ai un problème avec les équations. J'arrive pas à les résoudre. C'est peut-être maladroit de poser z = a + bi ? Parce que comme ça, j'arrive à des trucs du genre :
     a²-2a+1 = a^4+b^4-2a^3-2b²a+a²+4b²a²+4b²a+b² = a^4+b^4+2a²b²-2a²+1 (en utilisant la définition du module à savoir que |z| = racine de (a² + b²) )

  Donc, est-ce moi qui fait une erreure quelque part, ma méthode qui n'est pas bonne ou est-ce qu'il y a une méthode plus simple ?

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#4 12-11-2005 19:01:46

Au
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Messages : 22

Re : [Résolu] Triangle équilatéral dans un plan complexe

il faut simplement bien s'y prendre pour les calculs,

tu as
module (z-z^2)=module (z).module(1-z)
module(z^2-1)=module(z-1).module(z+1)

en remarquant que nécessairement z est different de 1 et de 0 (car sinon tu as au moins deux points confondus dans ton triangle) les équations se simplifient en

module (z)=1
module (z+1)=1
que tu peux résoudre si tu veux en posant z=a+ib...

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#5 12-11-2005 19:21:31

Donzougue
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Re : [Résolu] Triangle équilatéral dans un plan complexe

Je trouve 2 solutions (je crois que c'est tout...) :

    z = -1/2 + [(racine de 3)/2]i et z = -1/2 - [(racine de 3)/2]i

Merci beaucoup en tout cas...

Dernière modification par Donzougue (12-11-2005 19:22:13)

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