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#1 14-06-2016 21:58:34

Fabien
Invité

Ordre maximal d'un élément de groupe

Bonsoir ,
Quelqu'un peut m'aider pour resoudre cette exercice s'il vous plait?
Soit G un groupe  et x un élément de G d'ordre maximal d'element de G. Montrer  que l'ordre de tout élément de G divise l'ordre de x?

#2 14-06-2016 23:05:00

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Ordre maximal d'un élément de groupe

Bonjour,

  Est-ce que cette discussion te permet d'avancer?

F.

Hors ligne

#3 17-06-2016 00:14:58

Fabien
Invité

Re : Ordre maximal d'un élément de groupe

Franchement je n'ai pas bien compris ,pouvez vous m'expliquer encore plus?

#4 17-06-2016 08:15:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Ordre maximal d'un élément de groupe

D'abord, je vais supposer que ton groupe est abélien.

On va avoir besoin des deux résultats suivants, dont une preuve est dans l'exercice que je te signalais.

Lemme 1 : Si $a$ est d'ordre $u$ et $b$ est d'ordre $v$, avec $u$ et $v$ premiers entre eux, alors $ab$ est d'ordre $uv$.

Lemme 2 : S'il existe dans un groupe un élément d'ordre $m$, alors pour tout diviseur $d$ de $m$, il existe un élément d'ordre d.

Notons ensuite $m$ l'ordre maximal des éléments de $G$ et $x$ un élément d'ordre $m$. Supposons par l'absurde qu'il existe $y\in G$ tel que l'ordre de $y$, que nous noterons $q$, ne divise pas $m$. Puisque $q$ ne divise pas $m$, il existe un nombre premier $p$ tel que, dans la décomposition en facteurs premiers de $m$ et de $q$, l'exposant de $p$ soit plus élevé pour $q$ que pour $m$. Autrement dit, on peut écrire $m=p^\alpha m'$, $q=p^\beta q'$ avec $\beta>\alpha$ et $pgcd(q',p)=1$. D'après le lemme 2, il existe un élément $a$ d'ordre $m'$ et il existe un élément $b$ d'ordre $p^\beta$. Puisque $m$ et $p^\beta$ restent premiers entre eux, $ab$ est d'élément $p^\beta m'>p^\alpha m'=m$. Ceci contredit la définition de $m$.

F.

Hors ligne

#5 21-06-2016 03:48:29

Fabien
Invité

Re : Ordre maximal d'un élément de groupe

Merci infiniment pour toute cette explication .

#6 08-07-2016 12:47:43

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 203

Re : Ordre maximal d'un élément de groupe

Fabien a écrit :

Bonsoir ,
Quelqu'un peut m'aider pour resoudre cette exercice s'il vous plait?
Soit G un groupe  et x un élément de G d'ordre maximal d'element de G. Montrer  que l'ordre de tout élément de G divise l'ordre de x?

bonjour
ce résultat est faux en général : prendre par exemple le groupe des 6 permutations de {a,b,c} où il existe des éléments d'ordre 1,2,3 mais pas 4,5,6.

Dans le cas des groupes commutatifs, Fred a indiqué une démo.

Dernière modification par leon1789 (08-07-2016 12:51:30)

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