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#1 24-05-2016 14:59:06

Blis3
Invité

Probabilités

Bonjour à tous, je bloque sur cet exo de proba notamment pour les toutes premières questions et j'aimerais avoir votre aide:

Voici le lien de l'énoncé (je ne l'ai pas recopié pour raison de lisibilité):

https://www.concours-agro-veto.net/IMG/ … h_info.pdf  (SUJET 1)

Pour la première question, 1a) La loi conditionnelle suit une loi binomiale de paramètre B(i,alpha).
La somme proposée a donc pour valeur :

Somme de i=0 à +oo (notée S dans la suite) iP(X_n=i/U_n=k)=S [i*k!/(i!(k-i)!)*alpha^i(1-alpha)^(k-i) = k! S[(alpha^i(1-alpha)^(k-i))/((i-1)!(k-i)!)

Je trouve ce résultat assez étrange car il me reste des i dans ma somme alors qu'on me demande de l'exprimer qu'en fonction de k...

b) Le en déduire me dérange un peu je ne vois pas comment montrer cette égalité. J'ai écrit que E(X_n)=S[iP(X_n=i)]= S [iP(X_n=i/U_n=k]P(U_n=k) et j'ai remplacé avec la valeur de la somme trouvée en a sauf que je n'obtiens pas du tout l'égalité proposée

c) Je suppose que je dois trouver un lien pour conduire à caractériser E(U_n) comme une suite géométrique. E(U_(n+1))=S de k=0 à +oo de (k+1)P(U_n=k+1)=...=E(U_n)+1 donc erreur évidente

voilà j'aimerais vraiment avoir votre aide car je bloque !!

#2 24-05-2016 16:26:23

Fred
Administrateur
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Messages : 7 035

Re : Probabilités

Bonjour,

  Pour la 1)a), on te demande de calculer l'espérance d'une loi binomiale de paramètres [tex](k,\alpha)[/tex] (attention, je crois que c'est [tex]k[/tex] et non [tex]i[/tex]...). Cela fait partie des résultats du cours que tu dois savoir.
Cela devrait t'aider pour 1)b)...

F.

Hors ligne

#3 24-05-2016 16:47:57

Blis3
Invité

Re : Probabilités

bonjour,

L'espérance d'une loi binomiale est ici ka (je note a pour alpha).

Il n'y a donc pas besoin de faire d'autres calculs pour calculer cette somme ?

ensuite, j'ai écrit que :

E(X_n)=S (de i=0 à +oo) ce iP(X_n=i) = S(iP(X_n=i/U_n=k)P(U_n=k)=S(ikaP(U_n=k)=kaS(iP(U_n=k) j'ai un problème d'indices ici le i m'embête et la somme va de i à +oo alors que j'aimerais mieux qu'elle aille de k à +oo...

#4 24-05-2016 23:04:57

Fred
Administrateur
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Messages : 7 035

Re : Probabilités

Blis3 a écrit :

bonjour,

L'espérance d'une loi binomiale est ici ka (je note a pour alpha).

Il n'y a donc pas besoin de faire d'autres calculs pour calculer cette somme ?

Ben non, c'est en fait une question de cours!

ensuite, j'ai écrit que :

E(X_n)=S (de i=0 à +oo) ce iP(X_n=i) = S(iP(X_n=i/U_n=k)P(U_n=k)=S(ikaP(U_n=k)=kaS(iP(U_n=k) j'ai un problème d'indices ici le i m'embête et la somme va de i à +oo alors que j'aimerais mieux qu'elle aille de k à +oo...

Alors j'ai un peu de mal à te suivre parce que écrit sans Latex, ce n'est pas terrible.
Si j'ai bien compris, tu as écrit :
[tex]E(S_n)=\sum_{i=0}^{+\infty}i P(X_n=i)=\sum_{i=0}^{+\infty}i P(X_n=i|U_n=k)P(U_n=k)[/tex].

Alors là, je vais te dire, qu'est-ce que k????
Tu dois utiliser la formule des probabilités totales et faire la somme sur k :
[tex] P(X_n=i)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X_n=i|U_n=k)P(U_n=k) [/tex]

Tu obtiens deux sommes, l'une sur i, l'autre sur k. Tu permutes les deux sommes, et tu vas pouvoir utiliser le résultat de la première question.

Hors ligne

#5 25-05-2016 11:34:28

Blis3
Invité

Re : Probabilités

je ne comprends pas où est ce que j'obtiens 2 sommes, j'en ai qu'une, juste celle sur les probas totales pourtant ?

#6 25-05-2016 14:42:03

Fred
Administrateur
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Re : Probabilités

Si tu remplaces P(Xn=i) dans l'expression de E(Xn) on obtient bien 2 sommes non ?

Hors ligne

#7 25-05-2016 15:12:20

Blis3
Invité

Re : Probabilités

ok ça marche je trouve bien en développant les calculs que E(X_n)=aE(U_n)
pour la suite, est ce que ce que j'avais écrit dans le message du début est correct ?

#8 25-05-2016 20:18:10

Fred
Administrateur
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Re : Probabilités

Je n'ai pas compris. Exprime U(n+1) en fonction de U(n) et X(n).

Hors ligne

#9 26-05-2016 12:09:07

Blis3
Invité

Re : Probabilités

c'est dès le début que je bloque. J'écrirais d'abord que E(U_n+1)=S de kP(U_n+1=k)
U_(n+1)=U_n + X_n ? ah je ne comprends rien à cette question :/

#10 26-05-2016 12:16:15

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Probabilités

Blis3 a écrit :

c'est dès le début que je bloque. J'écrirais d'abord que E(U_n+1)=S de kP(U_n+1=k)
U_(n+1)=U_n + X_n ? ah je ne comprends rien à cette question :/

Pars de cette dernière égalité et prends l'espérance.

Hors ligne

#11 26-05-2016 12:30:37

Blis3
Invité

Re : Probabilités

Par linéarité de l'espérance, E(U_(n+1))=E(U_n)+E(X_n) du coup...

#12 27-05-2016 10:36:44

Blis3
Invité

Re : Probabilités

ok et pour la suite j'ai réussi merci !

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