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#2 24-05-2016 12:42:41
- Yassine
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Re : forme différentielle
Bonjour,
Je tenterai un explication qui est peut être trop vague. Je resterai dans le cadre de [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Sachant que la définition rigoureuse concerne des variétés différentielles quelconques, qui localement "ressemblent" à [tex]\mathbb{R}^n[/tex]
Si je commence par le cas unidimensionnel. La différentielle d'une fonction [tex]f[/tex] en un point [tex]a[/tex], notée [tex]d_a f[/tex] est l'application affine (de la forme [tex]\alpha + \beta h[/tex]) qui "approxime" le mieux la fonction au voisinage de ce point, c'est à dire en [tex]f(a+h)[/tex] pour [tex]h[/tex] petit. Quand [tex]f[/tex] est dérivable en [tex]a[/tex], c'est la fonction [tex]d_a f(h) = f(a) + f'(a)h[/tex]. On écrit alors que [tex]f(a+h) = d_a f(h) + o(h)[/tex].
Lorsque [tex]a[/tex] varie, la différentielle [tex]d_a f[/tex] varie également. La 1-forme différentielle est donc cette application qui à chaque [tex]a[/tex] fait correspondre [tex]d_a f[/tex], on la note alors [tex]df[/tex].
Lorsqu'on passe en dimension supérieure, le concept reste inchangé. Au lieu d'approximer une courbe par la tangente, on approxime une surface par le plan tangent, etc.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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