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Julie045

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Etude fonction Première S

Bonjour , voici mon problème , j'ai cet exercice a faire mais je ne suis pas sure de moi :

Soit f la fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par f(x)=x³-x² et C sa courbe représentative dans un repère (O;I;J).

1) Etudier le signe de f sur [tex]\mathbb{R} [/tex]
2) Etudier le sens de variation de f sur [tex]\mathbb{R}[/tex]
3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 2.
4) Soit g la fonction définie sur  par g(x)=x³-x²-8x+12:
   
    a. Etudier le sens de variation de g sur [tex]\mathbb{R} [/tex]
    b. En utilisant le minimum de g sur [0;+[tex]\infty[/tex][, démontrer que g est positive sur [0;+[tex]\infty[/tex][
    c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapport à sa tangente T sur [0;+[tex]\infty[/tex][

Voici ce que j'ai fait:

1) f(x)=x³-x² = x(x²-x)

[tex]\Delta[/tex]=1²-4*1*0 = 1

x₁=[tex]\frac{-1-1}{2}[/tex]=-1

x₂=[tex]\frac{-1+1}{2}[/tex]=0

J'ai donc un tableau de signe avec ces valeurs et f est négative  pour ]-[tex]\infty[/tex];0[ et ]0;1[ et positive pour ]1;+[tex]\infty[/tex][ , la fonction s’annule en 0 et en 1

2) J'ai dérivé la fonction f :
f'(x)=3x²-2x = x(3x-2)
donc x=0 ou 3x-2=0 donc x=0 ou [tex]\frac{2}{3}[/tex]

J'ai encore fait un tableau pour le signe de f'(x) et j'en ai déduit les variations de f qui est croissante pour ]-[tex]\infty[/tex];0[ avec f(0)=0 , décroissante pour ]0;[tex]\frac{2}{3}[/tex][ avec f([tex]\frac{2}{3}[/tex])= -[tex]\frac{4}{27}[/tex] et enfin croissante sur][tex]\frac{2}{3}[/tex];+[tex]\infty[/tex][

3) y=f'(a)(x-a)+f(a)

ici f'(a)=f'(2)=2(6-2)=8  et f(a)=f(2)=2(2²-2)=4

Y=8(x-2)+4= 8x-16+4 = 8x-12

4) a. g(x)= x³-x²-8x+12
        g'(x)=3x²-2x-8
       
        [tex]\Delta[/tex]= (-2)²-4*3*(-8) =100

        x₁=[tex]\frac{2-10}{6}[/tex]=-[tex]\frac{4}{3}[/tex]

        x₂=[tex]\frac{2+10}{6}[/tex]=2

   Encore une fois avec un tableau de signe de g'(x) j'ai déduis les variations de g(x) qui est croissante sur ]-[tex]\infty[/tex];-[tex]\frac{4}{3}[/tex][ avec f(-[tex]\frac{4}{3}[/tex])=[tex]\frac{500}{27}[/tex] , décroissante sur ]-[tex]\frac{4}{3}[/tex];2[ avec f(2)=0 et enfin croissante sur ]2;+[tex]\infty[/tex][

Voila , pourriez vous me dire si cela vous parais juste et aussi m'expliquer la question c. car je ne comprends pas , par avance Merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : Etude fonction Première S

Salut,

Bienvenue chez nous
Quelques remarques...
1. [tex]f(x)=x^3-x^2=x(x^2-x)[/tex]
Ce n'est pas faux, juste maladroit et incomplet.
[tex]f(x)=x^3-x^2=x^2(x-1)[/tex]
Et là on voit qu'il n'y a que deux racines 0 et 1 et je n'ai pas besoin de discriminant.
Et pour le signe c'est celui de x-1 puisque x^2 et toujours >0.

x     -oo      0        1        +oo
------|-----------------------------------
f(x) |    -      0   -   0    +

Tu as écrit :
[tex]x_1=\frac{-1-1}{2}=-1[/tex]
[tex]x_2=\frac{-1+1}{2}=0[/tex]
Tu as trouvé -1  parce que tu as une erreur de signe b = -1  et -b = 1  : [tex]\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
Et tu aurais dû écrire en réalité :
[tex]x_1=\frac{1-1}{2}=0[/tex]
[tex]x_2=\frac{1+1}{2}=1[/tex]

2. Le signe d'un polynôme du 2nd degré est signe de a à l'extérieur des racines, de -a entre les racines.
donc

x      -oo       0      2/3       +oo
-------|-----------------------------------
f'(x)  |     +    0   -   0    +   
-------|-----------------------------------
f(x)  |       /   0   \           / +oo
       |     /           \       /
         -oo             -4/27

3. ok

4. c) [tex]f(x) =x^3-x^2[/tex]
   [tex] t(x) = 8x-12[/tex] pour la tangente
   et donc on voit que
g(x) = f(x)-t(x)
Autrement dit pour [tex]x = \alpha[/tex], une abscisse donnée
[tex]f(\alpha)[/tex]  est l'ordonnée du point de Cf  d'abscisse [tex]\alpha[/tex]
[tex]t(\alpha)[/tex] est l'ordonnée du point de la tangente à la courbe d'abscisse [tex]\alpha[/tex]
et donc [tex]g(\alpha)[/tex] est la différence d'ordonnées entre les 2 points d'abscisse [tex]\alpha[/tex]
ok ??
Si g(x) est >0 cela signifie que f(x)-t(x) >0 donc que f(x)>t(x)
donc sur [tex][0\;;\;+\infty[[/tex] la courbe représentative de f est toujours au dessus de la tangente : pour une même asbscisse, ordonnée du point de Cf > ordonnée du point de la tangente.
N-B  point de détail, ce ne devrait pas être > mais >=.

Demain, je ne serai disponible que ponctuellement dans l'après-midi...

@+

Dernière modification par yoshi (24-05-2016 16:08:53)

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