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#1 01-05-2016 16:04:26

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

intégrale généralisée

salut a vous !

je voudrais savoir comment prouver que cette intégrale ne converge que pour p > 1

[tex]\int_1^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^p}dx[/tex]

--------------------------------------------------------------
EDIT by yoshi
C'est très simple à reproduire en LateX, voilà le code  :
\int_1^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^p}dx
merci d'avance
il suffit de le sélectionner, puis de cliquer sur l'icône TEX dans la barre d'outils des messages pour bien indiquer au navigateur qu'il s'agit d'une formule mathématique à interprérer.

Plus amples détails sur l'emploi de ce langage, ici :
Code LateX

@+

Dernière modification par yoshi (01-05-2016 16:13:25)

Hors ligne

#2 01-05-2016 17:53:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : intégrale généralisée

Bonjour, la fonction est continue sur [tex] [1,+\infty[ [/tex], il suffit de regarder ce qu'il se passe en [tex]+\infty[/tex].
On distingue alors deux cas :

1. Si [tex]p\leq 1[/tex], alors ta fonction est plus grande que [tex]\frac 1x[/tex] quand [tex]x[/tex] devient grand. Comme l'intégrale de cette dernière fonction diverge au voisinage de [tex]+\infty[/tex], il en est de même de ta fonction.

2. Si [tex]p>1[/tex], c'est un peu plus subtil. On fixe [tex]\alpha[/tex] dans l'intervalle [tex] ]1,p[ [/tex] et on remarque que, pour [tex]x[/tex] grand, alors [tex]\left| \frac{\ln x}{x^p}\right| \leq \frac 1{x^\alpha}[/tex] (tu peux faire le quotient des deux quantités et chercher sa limite en l'infini pour prouver ce fait). De l'intégrabilité de [tex]1/x^\alpha[/tex] au voisinage de l'infini, tu déduis facilement l'intégrabilité de ta fonction.

Ton intégrale est un cas particulier des intégrales de Bertrand dont une étude détaillée est proposée dans cet exercice.

F.

Hors ligne

#3 02-05-2016 02:18:42

hichem
Membre
Inscription : 14-12-2015
Messages : 107

Re : intégrale généralisée

merci bcp !

Hors ligne

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