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MatriceSingulière

Invité

[Algèbre Linéaire Numérique] Plusieurs questions

Bonjour,

Je suis entrain de faire les exercices suivants :

1) Soit [tex]A =  \begin{pmatrix}
2&1&-1 \\
1&1&1 \\
-1&2&1 \\
2&3&1 \\
\end{pmatrix}[/tex] de rang [tex]3[/tex] et [tex] b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}[/tex]. Montrer que [tex]\forall x^0 \in \mathbb{R}^n[/tex] la suite définie par [tex]x^0[/tex] et [tex]x^{p+1}=x^p-\frac{1}{20}(A^T.Ax^p-b)[/tex] converge vers la solution de [tex] A^T.Ab.[/tex]

2) Pourquoi dans la méthode [tex]QR[/tex] finale on transforme la matrice en une matrice de structure Hessenberg, pourquoi ne pas choisir de transformer la matrice en une matrice triangulaire sachant qu'au effectue une factorisation [tex]QR[/tex] des matrices?

3 Pour résoudre l'équation [tex]A.x=b[/tex] quelle méthode choisir et dans quelles circonstancelles ?

4) Comment stocker de manière optimale une matrice symétrique non définie positive ?

5) Quelles sont les différences et points communs entre les transformations de Givens et de Householder ? Pour quelle méthode opter et dans quel cas ?

6) Montrer que si toutes les valeurs propres d'une matrice [tex]A\in M_n(\mathbb{R})[/tex] sont égales alors quel que soit le vecteur initial, la méthode de la Steepest Descent atteint la solution exacte d'un système [tex] Ax=b[/tex] en une seule itération.

7) La factorisation de Gauss avec pivotage  partiel d'une matrice [tex] A[/tex] conduit à l'équation [tex]PA=LU[/tex] avec [tex]P[/tex] une matrice de permutation. Expliquer pourquoi tous les coefficients de [tex]L[/tex] sont tous inférieurs à [tex]1[/tex]  en valeur absolue.

Voilà mes réponses

1) je pensais à la méthode du gradient mais je ne vois pas trop...

2) Car la complexité est moindre.

3) - Si la matrice est symétrique définie positive : factorisation de Cholesky
    - Si la matrice est triangulaire, on peut directement résoudre
    - Sinon factorisation LU

Après je sais qu'il existe des méthodes itératives, mais je ne sais pas dans quel cas il faut mieux les utiliser

4) la factorisation [tex]LDL^T[/tex] avec [tex]L[/tex] triangulaire à diagonale unitaire et [tex]D[/tex] diagonale, on utilise [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex] en mémoire, et la résolution d'un système linéaire consiste à résoudre deux systèmes triangulaires.

5) aucune idée

6) je ne vois pas trop comment faire, j'avais pensé à utiliser la continuité de la norme et la densité des matrices diagonalisables et donc montrer le résultat pour les matrices [tex]a.I[/tex] mais je n'aboutit à rien...

7) dans l'algorithme à l'étape k, on divise [tex]a_{i,k}[/tex] par [tex]a_{k,k}[/tex] et comme juste avant on effectue une permutation entre les lignes de [tex] k[/tex] à [tex]n[/tex] pour sélectionner le plus grand pivot en valeur absolue, on a bien tous les coefficients de [tex]L[/tex] compris entre [tex]-1[/tex] et [tex] 1
[/tex]

Merci de m'aider !

MatriceSingulière

Invité

Re : [Algèbre Linéaire Numérique] Plusieurs questions

Bonsoir,

J'ai réussi la question 6, il était sous-entendu que la matrice étant diagonalisable et inversible...

yoshi

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Re : [Algèbre Linéaire Numérique] Plusieurs questions

Bonjuour,

Personne ne peut répondre à notre ami ?
Personnellement, je suis totalement incompétent : dommage parce que ça a l'air particulièrement intéressant...

@+

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freddy

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Re : [Algèbre Linéaire Numérique] Plusieurs questions

Salut yoshi,

c'est un peu délicat car ce sont des maths pour informatique et je pense que ce n'est que du cours, ou presque. Les termes techniques utilisés, hormis Cholesky et le pivot de Gauss, me semblent très spécifiques
Ensuite, il y a une petite erreur dans l'énoncé du 1). Le vecteur [tex]x^0[/tex] ne peut pas être choisi dans [tex]R^n[/tex], mais plutôt dans [tex]R^3[/tex]. Petite confusion avec la généralisation dans les questions suivantes.
Attendre qu'un spécialiste de ces sujets passe par là :-)

Dernière modification par freddy (24-04-2016 20:14:21)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.