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#26 15-06-2016 18:42:00

jpp
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Messages : 971

Re : La météorite.

salut.



@yassine

on sait que 2 et 5 ne font pas partie des 30 premiers dont la somme 3 + 7 + 11 + 13 +....+ 113 + 127 + 131 = 1844

on sait aussi que les 2 premiers suivant sont 137 & 139  dont la somme fait 276  ;   1844 + 276 = 2120

Alors une question , que viennent faire ici les 496 paires de premiers puisque on est sûr que les nombres

3 , 7 , 11 , 13 ..... , 101 , 103 , 107 , 109  et 113 correspondent aux 28 masses parmi les  30 recherchées . 

Pourquoi ? parce que si on remplace le plus grand des 28 qui est 113 , alors la somme des 30 premiers se trouvera

minorée par 1473 + 127 + 131 + 137 = 1868  ; et m = 2 kg

Si on remplace un plus petit que 113 , c'est encore pire car la somme sera minorée par S > 1870

Il faut donc trouver 2 premiers >113  dont la somme est ou égale à 264  ou à 274

Pour 264 , on sait que 264 = 127 + 137

Pour 274  , il n'y a pas de solutions puisque les premiers qui suivent sont 139 & 149 .   non ???

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#27 15-06-2016 19:10:56

Yassine
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Messages : 976

Re : La météorite.

Salut

@jpp
jpp a écrit :

puisque on est sûr que les nombres
3 , 7 , 11 , 13 ..... , 101 , 103 , 107 , 109  et 113 correspondent aux 28 masses parmi les  30 recherchées .

Pourquoi a-t-on cette certitude ? On peut très bien imaginer qu'en enlevant deux premiers au milieu, on arrive à la bonne somme avec 137 et 139 ?

La première approche est de considérer tous les 30-uplets parmi 32 et vérifier qu'il n'ont pas la bonne masse. Mon approche est duale, je prends toutes les paires et je vérifie qu'elle n'ont pas la masse qu'il faut pour que les 30 restants aient la bonne masse.  Le 496 correspond aux différentes manières qu'il y a de choisir une paire parmi 32 nombres


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#28 16-06-2016 06:08:07

jpp
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Messages : 971

Re : La météorite.

salut.

@yassine

Pas d'accord avec toi.

on sait que 2 et 5 ne font pas partie des 30 premiers dont la somme 3 + 7 + 11 + 13 +....+ 113 + 127 + 131 = 1844

Alors 1844 est le minimum puisqu'on a sommé les 30 plus petits premiers autres que 2 et 5 . il manque 16 kg pour

arriver à la somme de 1870

Maintenant si tu remplaces un nombre comme 101 par le plus petit premier ne faisant pas partie de S  ( 137 par exemple)

137 - 101 = 36  , et 1844 + 36 = 1880 . Et 1880 > 1870. Tu vois bien que ce n'ai pas possible .

Tu ne peux que remplacer 127 ou 131 puisque 113 est déjà trop petit  .  137 - 113 = 24  et  1844 + 24 =  1868  . Il reste 2 kg pour m

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#29 16-06-2016 06:59:08

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 976

Re : La météorite.

@jpp : Oui, en effet. Je suis d'accord.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#30 21-06-2016 04:38:25

freddy
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Messages : 6 141

Re : La météorite.

Salut,

quelques solutions :

[tex]S_1 = \begin{Bmatrix} 3 & 7 & 17 & 79 & 127 & 137 \\ 11 & 13 & 29 & 89 & 97 & 131 \\ 19 & 41 & 53 &    71 &    83 &    103 \\ 23 & 31 & 37 & 59 &    107 & 113 \\ 43    & 47 & 61 & 67 & 73 & 79\end{Bmatrix}[/tex]

[tex]S_2 = \begin{Bmatrix} 3 &    7 &    47 & 97 &    107 & 109 \\ 11 &    37 &    41 &    79 &    89 &    113 \\ 13 &    23 &    31 &    73 &    103 &    127 \\ 17 &    19 &    29 &    67 &    101 &    137 \\ 43 &    53 &    59 &    61 &    71 &    83 \end{Bmatrix}[/tex]

[tex]S_3 = \begin{Bmatrix} 3 &    23 &    37 &    43 &    127 &    137 \\
7 &    29 &    71 &    73 &    89 &    101 \\
11 &    17 &    59 &    83 &    97 &    103 \\
13 &    41 &    47 &    53 &     107 &    109 \\
19 &    31 &    61 &    67 &    79 &    113 \end{Bmatrix}[/tex]

[tex]S_4 = \begin{Bmatrix}3 &    11 &    67 &    79 &    83 &    127 \\
7 &    29 &    61 &    73 &    97 &    103 \\
13 &    37 &    41 &    71 &    101 &    107 \\
17 &    19 &    31 &    53 &    113 & 137 \\
23 &    43 &    47 &    59 &    89 &    109 \end{Bmatrix}[/tex]

[tex]S_5 = \begin{Bmatrix} 3 &    13 &    17 &    97 &    113 &    127 \\
7 &    11 &    19 &    89 &    107 &    137 \\
23 &    29 &    31 &    83 &    101 &    103 \\
37 &    41 &    43 &    67 &    73 &    109 \\
47 &    53 &    59 &    61 &    71 &    79 \end{Bmatrix}[/tex]

Dernière modification par freddy (21-06-2016 04:50:19)


Memento Mori ! ...

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#31 22-06-2016 08:07:47

jpp
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Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : La météorite.

salut.



résolution.

Q1 :

Supposons qu'on puisse obtenir 5 lots de même masse .

On peut conclure immédiatement que:

_ La masse de 2kg (seul premier pair) est à exclure puisque dans ce cas un seul lot aurait une masse impaire.

_ Il y a 5 lots de même masse ; la masse totale confiée aux laboratoires est un multiple de 5. Et  m = 5n

_ le nombre premier 5 , entrant dans la décomposition de m , ne fait pas parti des 30 "premiers"

  et la masse de 5 kg est aussi à exclure puisque  m est composé.

_ Donc le morceau exposé à la mairie du village possède une masse  m = 5n kg  ( n entier positif > 1 )

liste des 23 premiers irréductibles possibles

3 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97  dont la somme est 1053
puis viennent les 7 suivants  101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131

La somme des 30 premiers termes donne déjà S = 1844 ; et à ce stade on s'aperçoit tout de suite que 2 et 5 sont les seuls  nombres

pouvant être retiré de la liste ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 .... 109 , 113  ).

des premiers  > 113 sont donc remplacés par d'autres plus grands ;

puisque  S = 5L , mais on voit déjà que  m < 25

sa masse est l'un de ces 2 nombres :  10  ou 20   et  n =  2  ou 4

La masse de la météorite est 1870 kg.  On sait aussi que la masse des roches analysées est un multiple de 5 .

Soit S cette masse , alors  S = 5L  et  S + m = 1870  --> m = 1870 - 5L  =  5 x (374 - L) = 5n

donc  374 - n = L   est la masse d'un lot de 6 roches confié à chacun des laboratoires.

deux valeurs possibles pour L :  370  ou 372. 

a)  S = 5L =  5 x 372 = 1860  et  m = 10 kg  ;

b)  S = 5L  = 5 X 370 = 1850  et m = 20 kg

Ainsi si S = 1860 ,  1860 - 1844 = 16  ; et là on ne peut remplacer que 2 nombres .

127 + 16 = 143 (non premier)

131 + 16 = 147 (non premier)

127 + 2 = 129 avec 131 + 14 = 145  (129 et 145 non premiers)

127 + 4 = 131 avec 131 + 12 = 143 ( 143 non premier)

127 + 6 = 133 avec  131 + 10 = 141 ( 133 et 141 non premiers)

127 + 8 = 135 avec  131 + 8 = 139  ( 135 est non premier)

127 + 10 = 137 avec 131 + 6 = 137 ( 2 premiers identiques interdits )

127 + 12 = 139 avec 131 + 4 = 135 ( 135 est non premier )

127 + 14 = 141 avec 131 + 2 = 133 ( 141 et 133 non premiers)

Il n'y a donc pas de solution avec S = 1860 , et la masse m est différente de 10.

Si S = 1850  , alors  1850 - 1844 = 6  ; et là on peut remplacer 131 par 137 qui est aussi un nombre premier ; unique solution.

La liste des 30 nombres premiers est la suivante:

3 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 ,101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 137

La masse totale des 5 lots vaut donc 1850 kg.  et le fragment de roche exposé possède une masse de 20 kg.

Q2 :  Comment sommer 6 nombres premiers impairs et obtenir 370 qui est congru à 0 (mod 10)

Dans la liste S ,  6 nombres terminent par 1 , 6 nombres terminent par 9 ,

9 nombres terminent par 3 et  les 9 derniers par 7

Pour obtenir une congruence à 0 (mod 10)  , voici au moins 5 associations possibles.

_ 3 x 3  + 3 x 7  = 0   (mod 10)     --->  3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370

_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) --->   11 + 13 + 29 + 101 + 103 + 113 = 370

_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10)  --->  17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370

_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9  = 0 (mod 10) ---> 31 + 37 + 43 + 79 + 83 + 97 = 370

_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10)  --->  41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370

Au moins une solution et chacun des "premiers" est unique dans le partage.

un autre partage :


_ 3 x 3  + 3 x 7  = 0   (mod 10)     --->  3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370

_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) --->   31 + 13 + 29 + 101 + 83 + 113 = 370

_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10)  --->  17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370

_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9  = 0 (mod 10) ---> 11 + 37 + 43 + 79 + 103 + 97 = 370

_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10)  --->  41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370

et il doit y en avoir bien d'autres...


_ 3 x 3  + 3 x 7  = 0   (mod 10)     --->  3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370

_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) --->   11 + 13 + 29 + 101 + 103 + 113 = 370

_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10)  --->  17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370

_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9  = 0 (mod 10) ---> 31 + 67 + 43 + 79 + 53 + 97 = 370

_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10)  --->  41 + 83 + 59 + 61 + 37 + 89 = 370


_ 3 x 3  + 3 x 7  = 0   (mod 10)     --->  3  + 23  + 37 + 43 + 127 + 137 = 370

_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) --->   31 + 13 + 29 + 101 + 83 + 113 = 370

_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10)  --->  17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370

_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9  = 0 (mod 10) --->  7 + 11 + 73 + 79 + 103 + 97 = 370

_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10)  --->  41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370

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