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alexis.ch

Invité

Limite de fonctions

Bonjour,

J'ai un petit doute sur une limite de fonction.

J'ai f(x) = ln(x²+4)
g(x)= f(x) - x

En déduire la limite de g en +inf

Donc lim de f(x)=+inf et lim de -x=-inf
par somme, on obtient forme indéterminée. Est-ce exact ?

Merci d'avance !

Fred

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Re : Limite de fonctions

Bonjour,

  Oui, on obtient une forme indéterminée. A toi de lever l'indéterminée!
Mais puisque ta question est : "en déduire..." j'imagine que tu as une piste juste avant!

F.

alexis.ch

Invité

Re : Limite de fonctions

En effet, j'avais "montrer que pour tout x>0, ln(x²+4)=2lnx + ln(1+4/x²)"

J'ai réussi à montrer, donc pas de soucis. En revanche pour lever la forme indéterminée je suppose que l'on doit factoriser, mais par quoi ?

Fred

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Re : Limite de fonctions

Moi, je factoriserais par x et j'utiliserais la croissance comparée du logarithme et de x.

alexis.ch

Invité

Re : Limite de fonctions

D'accord mais ln(1+4/x²) n'est-elle pas déjà une forme factorisée ?

Fred

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Re : Limite de fonctions

Vers quoi tend ln(1+4/x²)???
Ce qui pose problème, c'est le reste, 2ln(x)-x...

alexis.ch

Invité

Re : Limite de fonctions

ln(1+4/x²) tend vers 0

Fred

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Re : Limite de fonctions

C'est vrai. Donc il suffit de déterminer la limite de 2ln(x)-x....

alexis.ch

Invité

Re : Limite de fonctions

lim de 2lnx= +inf et lim de -x=-inf
par somme on obtient de nouveau la forme indéterminée.

Fred

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Re : Limite de fonctions

Oui et donc là comme je te l'ai déjà dit on met x en facteur...

alexis.ch

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Re : Limite de fonctions

Donc cela fait x(2ln) + ln[x(1+4x/x^3)] - x(1/x)

Est-ce juste ?

Fred

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Re : Limite de fonctions

Euh!!!! [tex]2\ln x\neq x(2\ln)[/tex]....
On ne peut pas sortir le x du logarithme comme cela!!!
Quelle est la valeur de [tex]\ln[/tex]??? [tex]\ln[/tex] est une fonction. On peut calculer [tex]\ln(2)[/tex] par exemple, mais pas autre chose.

Non, tout simplement [tex]2\ln x=2x\frac{\ln x}{x}[/tex]...

yoshi

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Re : Limite de fonctions

Salut,

[tex]g(x)=2\ln(x)+\ln\left(1+\frac{4}{x^2}\right)-x=2\ln(x)-x+\ln\left(1+\frac{4}{x^2}\right)[/tex]
Fred t'a fait remarquer que le problème était  la limite de [tex]2\ln(x)-x[/tex] et suggéré de mettre x en facteur :
[tex]2\ln(x)-x=x\left(\frac{2\ln(x)}{x}-1\right)[/tex]...

@+

[EDIT]Fred est bien plus rapide que moi... Désolé !

Dernière modification par yoshi (08-02-2016 22:37:52)

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alexis.ch

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Re : Limite de fonctions

D'accord, merci de m'avoir corrigé. Pour la seconde partie de la factorisation, est-elle juste ?

Fred

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Re : Limite de fonctions

Pars plutôt de ce que Yoshi a écrit...

alexis.ch

Invité

Re : Limite de fonctions

Donc  quand x tend vers +inf :

lim de x = +inf
lim de (2lnx/x-1)= -1 puisque lim lnx/x = 0 par produit lim = +inf

Donc sachant que lim ln(1+4/x²)=0 par somme lim de g(x) = + inf

Juste ?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite de fonctions

Re,

[tex]\ln\left(1+\frac{4}{x^2}\right)=\ln\left(x\left(\frac 1 x+\frac{4}{x^3}\right)\right)[/tex]
Pour quoi faire grands dieux ?
Fred t'a mis sur une piste, suis-l donc !
C'est du cours [tex]\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x)}{x}= ???[/tex]

@+

[EDIT] Rebelote... Fred m'a grillé ! Je suis trop lent ce soir,. Rideau pour moi. Demain sera un autre jour !

Dernière modification par yoshi (08-02-2016 22:49:42)

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Fred

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Re : Limite de fonctions

Tu as un problème de signe....

alexis.ch

Invité

Re : Limite de fonctions

lim de ln(x)/x = 0, je l'ai écrit à 21:47

alexis.ch

Invité

Re : Limite de fonctions

En effet,je me suis trompé :

lim (2lnx/x-1)= -1 puisque lim lnx/x = 0, par produit lim = -inf (puisque c'est -1 !)

Donc lim de g(x)= -inf

Fred

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Re : Limite de fonctions

Ok.

alexis.ch

Invité

Re : Limite de fonctions

Bien, merci beaucoup pour votre aide. Bonne soirée !